第4講函數(shù)的表示法（教案）-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第4講函數(shù)的表示法

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握作函數(shù)圖像的兩種基本方法，學(xué)會(huì)用函數(shù)的圖象解決相關(guān)問題

2.掌握常見函數(shù)解析式的求法，并能夠熟練的應(yīng)用

二、知識(shí)點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的三種表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法和圖象法三種.

1、解析法

圓的面積S是半徑x的函數(shù)，可用式子5=衣2(彳＞0)來表示，這種常把常量和表示自變量的字

母用一系列的運(yùn)算符號(hào)連接起來得到的式子叫做解析式

若在函數(shù)y=/(x)(xeA)中，/(x)是用代數(shù)式表達(dá)的，則這種表達(dá)函數(shù)的方法叫做解析法。

2、圖像法

用圖像表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法叫做圖像法

函數(shù)圖像的特征：函數(shù)圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等

3、列表法：

通過列出自變量與對應(yīng)函數(shù)值的表格來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。

例如：初中學(xué)習(xí)過的平方表、平方根表、三角函數(shù)表。我們生活中也經(jīng)常遇到列表法，如銀

行里的利息表，列車時(shí)刻表，公共汽車上的票價(jià)表等等都是用列表法來表示函數(shù)關(guān)系的.

函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)比較

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)聯(lián)系

解1、簡明、全面地概括不夠形象、直觀、具體，而解析法、圖象法、

析了變量間的關(guān)系.且并不是所有的函數(shù)都能用列表法各有優(yōu)缺

法2、通過解析式可以求解析式來表示點(diǎn)，面對實(shí)際情境

出任意一個(gè)自變量所時(shí)，我們要根據(jù)不

對應(yīng)的函數(shù)值同的需要選擇恰

列不需要計(jì)算機(jī)就可以只能表示出自變量取較少的當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞?/p>

表直接看出與自變量的有限值時(shí)的對應(yīng)關(guān)系數(shù)

法值對應(yīng)的函數(shù)值

圖能形象直觀地表示出只能近似地求出自變量所對

象函數(shù)的變化情況應(yīng)的函數(shù)值，而且有時(shí)誤差

法較大

例1、某種筆記本每個(gè)5元，買xe{1,2,3,4}個(gè)筆記本的錢數(shù)記為y(元)，試寫出以x

為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖像.

解：這個(gè)函數(shù)的定義域集合是U,2,3,4},函數(shù)的解析式為y=5x,xe{1,2,3,4}.它的圖

象由4個(gè)孤立點(diǎn)A(1,5)B(2,10)C(3,15)D(4,20)組成,如圖所示.

例2、國內(nèi)投寄信函(外埠)，每封信函不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g

付郵資160分，依次類推，每封xg(0<xV100)的信函應(yīng)付郵資為(單位：分)，試寫出以x

為自變量的函數(shù)y的解析式，并畫出這個(gè)函數(shù)的圖像.

解：這個(gè)函數(shù)的定義域集合是0<x<100,函數(shù)的解析式為丁

8O,x

G(0,20],?o*----

160,xe(20,40],

y=〈240,xe(40,60],320----------'

240)-----------,

320,xe(60,80],

KO-----------

400,XG(80,100],

這個(gè)函贅的圖象是5條線段(不包括左端點(diǎn))，都平行于x.

軸，如圖所示，'?―mj

這一種函數(shù)我們把它稱為分段函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)圖像的變換

1、作函數(shù)圖象的基本步驟：列表、描點(diǎn)、連線;

2、變換作圖法：

(1)平移：“上加下減(y),左加右減(x)”

⑵對稱：/(%)關(guān)于,軸對稱〉y=/(%)關(guān)力軸對稱=/(-%),

俐3-%)

翻折：?*柿部偏篝/尸心)

(3)

y=/(%)保留)，軸右邊的圖像，再把

y軸右邊的圖像對稱到y(tǒng)軸左邊=

例3、作出函數(shù)y=/,｝；=。+1)2,丁=犬-1的圖像

例4、作出函數(shù)、=—匚，y=」_,丁=二1廣=——的圖像

X+1—X+1X+1-X+1

例5^作出函數(shù)y=,一2工-31及y=/-2兇-3的圖像

例6、作出函數(shù)丁=x+，的圖象

x

列表描點(diǎn)：

知識(shí)點(diǎn)三:求函數(shù)的解析式的方法

由具體的實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系求解析式，一般是通過研究自變量、函數(shù)及其他量之間的

等量關(guān)系，將函數(shù)用自變量和其他量的關(guān)系表示出來，但不要忘記確定自變量的取值范圍.

求函數(shù)解析式的常用方法有：代入法、配湊法、換元法、待定系數(shù)法、解方程組法或消元法、

分段函數(shù)求解析式等。

代入法

例7、已知=求/(2x-l)的解析式.

變式訓(xùn)練

已知/(X)=2X2-3X+4,求/(3x-2)的解析式.

配湊法

原函數(shù)的表達(dá)式為/(f)=g(x),f是關(guān)于x的式子，要求f(x)的解析式，這時(shí)要把g(x)通

過變形、整理，使其變?yōu)橹缓衒與常數(shù)的式子，然后將f換成X,即可得到f(x)的解析式，

這種方法叫做配湊法.

例8、f(x+l)=x2-2x,求/1(x)的解析式.

變式訓(xùn)練

已知/(x+1)=x?-3x+2,求/(x)；

換元法

解題時(shí)，把某個(gè)式子看做一個(gè)整體，用一個(gè)新的變量去代替它，從而使問題簡化，這種

方法叫做換元法.

例9、已知函數(shù)/(?+l)=x+2&,求函數(shù)“X)的解析式.

變式訓(xùn)練

已知/(±W)=E，則“X)的解析式為.

1+X1+X

待定系數(shù)法

有些問題中，常用字母來表示需要確定的系數(shù)，然后根據(jù)一些條件或要求確定這些系數(shù),

從而使問題得以解決，這種方法叫做待定系數(shù)法.

例10、如果/(/(x))=2x-1,那么一次函數(shù)/*)=.

變式訓(xùn)練

1、已知/(x)是一次函數(shù)，且/V(x))=4x-1,求/(x).

2、已知/(x)是二次函數(shù)，且滿足/(0)=l,/(x+l)—/(x)=2x,求/(x).

解方程組法或消元法

在已知式子中，含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù)，而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系，這時(shí)就要依

據(jù)兩個(gè)變量的關(guān)系，建立一個(gè)新的關(guān)于兩個(gè)變量的式子，由兩個(gè)式子建立方程組，通過解方程

組消去一個(gè)變量，得到目標(biāo)變量的解析式，這種方法叫做解方程組法或消元法.

例11、已知/(x)+2/(-x)=/+2x,求/(x)的解析式.

變式訓(xùn)練

已知/(幻+2/山=無*工0),求f(x).

賦值法

在某些求函數(shù)解析式問題中，通過對自變量賦予特殊值，使其展現(xiàn)出其內(nèi)在聯(lián)系或減少變量個(gè)

數(shù)，從而解決問題的方法叫做賦值法

例12、設(shè)/(x)是R上的函數(shù)，且滿足/(())=1,并且對任意實(shí)數(shù),都有

f(x-y)=f(x)-y(2x-y+\),求/(x)的解析式.

三、課堂練習(xí)

1、下列各圖中，能作為y=/(x)的圖象的是()

2、已知函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出:

123

/(%)131

123

g(x)321

則f(g⑴)=，滿足/(g(x))>g(/(x))的x的值是.

3、一個(gè)面積為100°療的等腰梯形，上底長為xcm，下底長為上底長的3倍，把它的高>表示

成x的式子為()

B

A-y=50x(x>0)y=100x(x>0)。、=4(》>0)=122(%>0)

XX

4、某商場新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求出售出彩電數(shù)量x(臺(tái))與新進(jìn)彩電銷

售總額y(元)之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來。

5、求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知/(%)=*2+2羽求/(2x+l)；(代入法)

(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+l)-2f(x-l)=2x+17,求函數(shù)f(x)的解析式。(待定系數(shù)法)

(3)已知f(2x+D=3x-2,求函數(shù)f(x)的解析式。(配湊法)

(4)已知/(五-l)=x+2,求/'(x)；(換元法)

(5)已知/(x)-2/(1)=3x+2,求/(x).(消去法)

四、課后作業(yè)

1、函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移a(a>0)個(gè)單位，再向上平移b(b>0)個(gè)單位，所得圖象的函

數(shù)解析式是()

A.y=f(x—a)+bB.y=f(x+a)—bC.y=f(x—a)—bD.y=f(x+a)+b

2、一種產(chǎn)品的成本原來是a元，在今后m年內(nèi)，計(jì)劃使成本平均每年比上一年降低p%,成

本y是經(jīng)過年數(shù)x的函數(shù)(OVxVm),其關(guān)系式為()

A.y=a(l+p%)x(O<x<m)B.y=a(l—p%)x(O<x<m)

C.y=a(p%)x(0VxVm)D.y=a一(p%