高中數(shù)學(xué)課堂講義-直線與直線垂直

高中數(shù)學(xué)課堂講義一直線與直線垂直

目錄

1.教學(xué)大綱....................................................................1

2.知識點異面直線所成的角...................................................1

3.練習(xí)........................................................................2

4.探究點一異面直線所成的角................................................3

5.探究點二直線與直線垂直的證明............................................4

6.課堂作業(yè)....................................................................6

7.課時作業(yè)（二十九）直線與直線垂直...........................................7

1.教學(xué)大綱

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1.能從教材實例中了解異面直線所成的角的

從直線與直線位

水概念.（數(shù)學(xué)抽象）

置關(guān)系定義和基本事

平一2.能從實際問題中了解異面直線互相垂直、

實出發(fā)，借助長方體，

異面直線所成角的范圍.（數(shù)學(xué)抽象）

通過直觀感知，了解

能借助具體的幾何體，會求異面直線所成的

空間中直線與直線的水

角，會借助異面直線所成角證明空間中兩直線垂

垂直關(guān)系.平二

直.（邏輯推理）

2.知識點異面直線所成的角

1.定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點。分別作直線〃〃a,

b'//h,把直線嶼上所成的角叫做異面直線a與匕所成的角（或夾角）.

2.空間兩條直線所成角a的取值范圍：0°WaW90°.

3.垂直：如果兩條異面直線所成的角是直笛，那么兩條異面直線互相垂直,

記作aLb.

［點撥］研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直

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線.這是研究空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問

題.

3.練習(xí)

1.判斷正誤(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這

條直線垂直.()

(2)異面直線所成的角的大小與點。的位置有關(guān)，即點。位置不同時，這一

角的大小也不同.()

(3)若408=110°,則分別和邊OA,OB平行的兩條異面直線所成的角為

110°.()

(4)與一條直線都垂直的兩條直線平行.()

(5)分別與兩條異面直線平行的兩條直線是異面直線.()

答案：(1)V(2)X(3)X(4)X(5)X

2.在長方體ABCD-A而G出中，AB=BC=3，AAi=y[2,則異面直線

AG與BBi所成的角為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C[如圖，連接AiG,因為所以N4AG為o.

異面直線AG與BBi所成的角.因為tan=人屋之聞。

_________/

(、八)2_|_(、舟24B

幺“一g—》一=小,所以N4ACi=60°,故選C.]

3.在正方體ABCD-48GQ1各個面的對角線中與AQi所成的角為60°的

有()

A.4條B.6條

C.8條D.10條

C[由圖可知△AS。和△A3C均是等邊三角形，所以AB\,CDi，

AC與A。成60°角.根據(jù)平行關(guān)系，可知BD,CiD,A\B,4G也與AOi成

60°角，故滿足題意的面對角線共有8條，故選C.]

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4.已知正方體ABCO-AiBG。中E,尸分別是邊AAi,AB的中點，則異

面直線EE,CG所成的角為.

解析：連接43(圖略)，因為E/〃AB,CG//BB1，所以NABBi即為異

面直線ERCG所成的角，所成的角為45°.

答案：45°

課堂探究/素養(yǎng)提升F聚焦兵題剖析?突

4.探究點一異面直線所成的角

例H4如圖所示，點A是平面3c。外一點，AD=BC=2,

E,E分別是AB,CO的中點，且EF=@,求異面直線AO與

8C所成的角.

解析：如圖，設(shè)G是AC的中點，連接EG,

FG.

,:E,F分別是AB,CD的中點,

:.EG〃BC且EG=gBC=]

FG//AD,且FG=|AD=l.

二.NEGR為異面直線AO與BC所成的角.

又EF=y[i,由勾股定理逆定理可得/改7尸=90°,

即異面直線AO與BC所成的角為90。.

方法技巧

1.求異面直線所成的角的步驟

(1)通過作平行線(或利用已知的平行關(guān)系)得到相交直線;

(2)將這個角放入某一個三角形中；

(3)在這個三角形中，計算這個角的大小.

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2.作異面直線所成的角的方法

作異面直線所成的角，可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：

（1）直接平移法（可利用圖中已有的平行線）；

（2）中位線平移法；

（3）補形平移法（在已知圖形中，補作一個適當(dāng)?shù)膸缀误w，以便找到平行線）.

[對點訓(xùn)練]

如圖所示，在直三棱柱ABC-431cl中，若N84C=90°,AB=AC=AAi，

則異面直線BAi與AG所成的角等于（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

C[延長C4到。，使得AO=AC,連接3D,4。（圖略），則四邊形AO4G

為平行四邊形，ND4B就是異面直線B4與AG所成的角或其補角.易知△AiOB

為等邊三角形，所以ND4]=60°.]

5.探究點二直線與直線垂直的證明

例國"如圖，在正方體ABCD-AIiGOi中，例為底面AiBiGDi的中心.求

證：AO\LBD.

證明：如圖所示，連接AD\,AB],AOi，

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,：ABCD-A\B\C\D\是正方體,

：.BB\統(tǒng)DD\.

：.四邊形BB\D\D是平行四邊形，

：.B\D\//BD.

二直線A0\與BiDi所成的角即為直線AOi與8。所成的角.

易證ABi=ADi.又0\為底面征HGDi的中心,

0\為B\D\的中點,：.AO\YB\D\,

：.AO\±BD.

方法技巧

證明空間的兩條直線垂直的方法

(1)定義法：利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直.

(2)平面幾何圖形性質(zhì)法：利用勾股定理、菱形的對角線相互垂直、等腰三

角形(等邊三角形)底邊的中線和底邊垂直等.

［對點訓(xùn)練］

如圖，在長方體A8CO-4BGQ1中，AiA=AB,E,尸分別是和4。的

中點.

求證：CDiLEF.

證明：取CDi的中點G,連接EG,DG.

是的中點，

J.EG//BC,EG=^BC.

OF是AD的中點,

且AD〃BC,AD=BC,

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J.DF//BC,DF=gBC.

J.EG//DF,EG=DF.

，四邊形EFDG是平行四邊形.

J.EF//DG.

又二四邊形A8B1A1、四邊形CQDiG都是正方形，且G為

的中點，

；.DG工CDi,：.CD\VEF.

6.課堂作業(yè)

1.如圖，在正方體ABCO-A山CiOi中，直線8。與4G的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面但不垂直D.異面且垂直

D[因為正方體的對面平行，所以直線8。與4G異面，連接AC（圖略），

則AC〃AiG，AC±BD,所以直線8。與4cl垂直，所以直線8。與4cl異面

且垂直.故選D.]

2.在正方體ABC。-48Goi中，與直線AAi垂直的棱有（）

A.2條B.4條

C.6條D.8條

D[在正方體AG中，與AAi垂直的棱為43，BiCi，C\D\,D\A\,AB,

BC,CD,DA,共8條.故選D.]

3.如圖，在四棱錐P-4BCO中，PALAB,底面ABC。是平行四邊形，則

必與C0所成的角是.

解析:*/四邊形ABCD是平行四邊形,

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：.AB//CD.

.?.N①8是以與CO所成的角.

又：出：.ZB\B=90°.

答案：90°

4.如圖，已知正方體A8CD-A1BGO1.

（1）求AiG與BiC所成角的大??；

（2）若E,尸分別為棱AB,AO的中點，求證：AiCilEF.

解析：（1）如圖，連接AC,ABx.

由幾何體ABCO-A山IGOI是正方體，知四邊形A4CC為平行四邊形，所

以AC〃4G，

從而AC與所成的角即為4G與所成的角.

由ABi=AC=BC,可知N3C4=60°.

故4G與SC所成的角為60°.

（2）如圖，連接8D

易知四邊形A4CC為平行四邊形，所以AC〃4G，

因為EF為△A3。的中位線，所以EF〃BD.

又ACLBO,所以￡7/LAC,所以ACiLEF.

7.課時作業(yè)（二十九）直線與直線垂直

（本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂?。?/p>

[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.在直三棱柱ABC-A山Ci中，AB1AC,在三棱柱所有的棱中，和AC垂

直且異面的直線有（）

A.1條B.2條

C.3條D.4條

B[和AC垂直且異面的直線有和38，故選B.]

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2.在正方體ABC。-4BiCi￡>i中，M,N分別為棱A。，的中點，則異

面直線MN與AC所成的角大小為（）

A.30°B.60°

C.75°D.90°

B［如圖，連接ADi.

由M,N分別為棱AO,的中點，得MN〃AOI.，NDIAC即為異面直線

MN與AC所成的角.連接DiC,則△ADC為等邊三角形，可得，NO|AC=60°,

即異面直線MN與AC所成的角為ND】AC=60°.故選B.］

3.如圖，在正四棱柱ABCD-43GD1中，AB=l,若異面直

QAA.

線48與Ad所成角的余弦值為球.則然的值為（）

1Uf\D

5

A.3B.2

3

C.2D.2

A［連接BG，4ci（圖略）.CADi〃3Ci,，異面直線48與A￡h所成角為

NAiBCi.令A(yù)A\=t,貝ijAiB=BC\=y[P+~i.,A\C\=y[2,cosZAiBCi=

（V?TT）2+（^77）2—22件9

2

2（產(chǎn)+1）=2（?+1）=77；.r=9,t=3即AA\=

C.AAI

3..?.存=3.]

4.如圖，點尸，Q分別是正方體ABCO-AIBGOI的面對角線AD”8。的

中點，則異面直線P。和所成的角為（）

A.30°B.45°

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C.60°D.90°

C［連接AC,DC

；ABCO-A山iGDi是正方體，Q是8。的中點，

二。是AC的中點，又P是AA的中點，

：.PQ//CD\.

又BG〃AA，二/4。。為異面直線尸。和BC所成的角或其補角.

VAACD,為等邊三角形，

：.ZADiC=60°.

即異面直線P。和3G所成的角為60。.]

5.（多選）如圖，在四面體A3CO中，截面PQMN是正方形，則在下列說法

中，正確的為（）

A.ACLBD

B.AC〃截面PQMN

C.AC=BD

D.異面直線PM與8。所成的角為45°

ABD「.,截面PQMN是正方形，

S.PQ//MN,QM//PN,

?「MNU平面DAC,Pg平面DAC,

〃平面DAC.

又P0U平面BAC,平面84cA平面DAC=AC.

：.PQ//AC//MN.

「PQU平面PQMN,A8平面PQMN.

：.AC〃截面PQMN,故B正確.

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同理可證，PN//BD//MQ.

'：PN±NM,：.AC±BD,故A正確.

又?.?NPMQ=45°.

...異面直線PM與8D所成的角為45°,

故D正確.AC與BD長度不確定,故選ABD.]

6.如圖，正方體ABCO-ABiG。的棱長為1，M為8G的中點，連接48,

OiM,則異面直線A1和所成角的余弦值為.

解析：連接CD\,CM（圖略）.由4￡>i=BC,可得四邊形

為平行四邊形，則48〃CQi.

.?.NCOiM為異面直線43和AM所成角.由題意得，DiM=MC=^,

51c5

力一4_VTb

CDI=V2.在△CMDI中，由余弦定理可得,cosNCDiM=

2X乎X啦-5

...異面直線A山和。所成角的余弦值為華.

答案：千

7.如圖，空間四邊形ABCO的對角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,

CO的中點，并且異面直線AC與B。所成的角為90°,則MN等于

解析：如圖，取AO的中點P,連接PM,PN,則

AC〃PM，NMPN即異面直線AC與B。所成的角.

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=90°.又?.?PNugAC=4,PM=gBD=3,：.MN=5.

答案：5

8.如圖，若正四棱柱ABCD-AiBGU的底面邊長為2,高為￡

4,則異面直線85與44i所成角的正弦值為,異面直「

線BDi與AD所成角的正弦值是.

解析：因為AAi//DDi，所以NODI即為異面直線BD\?.

與A41所成的角.連接BO,在中,

_2^2=近

sinZDDiB=

2#—3

18c即為異面直線BD\與A￡＞所成的角（或其補角）.

連接DC，在△OiB。中，?.,正四棱柱ABC。-48clz）1的底面邊長為2,高

為4,

:.DiB=2#,BC=2,DiC=24,DiB2=BC2+DiC2.

：.ZD{CB=90°.

故異面直線BDi與AO所成角的正弦值是嚕.

答案：半等

9.如圖，正方體ABCD-A18QD1，求證：ACLB\D.

證明：如圖，連接8。交AC于O,取的中點為E,連接0E.

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：0為8。的中點，

?.OE//DB}.

：.OE與AC所成的角即為與AC所成的角.

連接AE,CE.

?.?易證AE=CE,又。是AC的中點,

：.AC±OE.：.AC±B}D.

10.如圖，在棱長為。的正方體ABCD-AiBiGQi中，。是底面ABC。的中

心，E,尸分別為CG,A。的中點，求異面直線OE和F01所成角的余弦值.

因為O為底面A8CO的中心，R為A。的中點，M為。?的中點,

所以O(shè)F"MD\,且。尸=MDi,

所以四邊形OEQiM是平行四邊形，

所以O(shè)M〃FD\,且0M=FD\,

所以NM0E是異面直線OE和尸。所成的角或其補角.

連接OC,ME.

因為OM=F7)i尸十刃￡)?=+屋=坐a,

ME=y)MC^+C\Er=圖=乎a,

OE=y/OC2+CE2=4惇J+固=半