全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題 葡萄酒質(zhì)量的評價分析

葡萄酒質(zhì)量的評價分析摘要本文主要討論了葡萄酒和葡萄的理化指標與葡萄酒質(zhì)量的關(guān)系。通過品酒員對樣品酒的外觀，香氣，口感的評分數(shù)據(jù)與所釀葡萄酒的理化指標和對釀酒葡萄的化學(xué)分析來確定葡萄酒質(zhì)量好壞以及它們之間的關(guān)系。根據(jù)附錄中所給的兩組品酒員分別對紅葡萄酒和白葡萄酒進行品嘗后的評分數(shù)據(jù)和各種理化指標進行了嚴謹?shù)姆治鲋?，繼而運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)軟件結(jié)合數(shù)學(xué)模型進行大量的擬合數(shù)據(jù)分析。在葡萄酒品嘗評分表中，由于品酒員對葡萄酒的要求、口感及其他各方面的主觀條件存在一定的差異，因此，我們對品酒員給出的評分數(shù)據(jù)進行了客觀的分析，降低品酒員主觀造成的誤差，客觀的反映了樣品酒之間的真實差異，同時將釀酒葡萄進行了等級劃分。并通過所給的理化指標數(shù)據(jù)和芳香物質(zhì)含量更加準確的描述了釀酒葡萄、葡萄酒、葡萄酒質(zhì)量之間的聯(lián)系。對于問題一，題目中要求我們判斷兩組品酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信。由于題中數(shù)據(jù)量很大，且雜亂無章，很難直接看出，因此我們將數(shù)據(jù)在統(tǒng)計圖中進行表示，觀察了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定情況，為了更好的表達數(shù)據(jù)的穩(wěn)定情況，我們采用了求每組數(shù)據(jù)方差的方法，通過比較，得出兩組品酒員的評價結(jié)果存在顯著性差異，且第二組品酒員所給的評分更為可信。對于問題二，題目要求根據(jù)釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質(zhì)量對這些釀酒葡萄進行分級，由問題一所得結(jié)果可知，第二組評分更為可信，故直接采用第二組數(shù)據(jù)進行分析。將該數(shù)據(jù)進行數(shù)學(xué)期望處理，得到了十位評委對每種樣品酒的平均打分，我們根據(jù)帕克評分系統(tǒng)的標準[1]將樣品酒進行了分級。對于問題三，我們使用了EXCEL中擬合數(shù)據(jù)分析的功能來探究釀酒葡萄與葡萄酒的各項理化指標之間的聯(lián)系。經(jīng)過對得到的散點圖不斷的嘗試各種函數(shù)圖像，最終我們找到了最適合它們之間關(guān)系的也就是散點落在函數(shù)圖象外最少的數(shù)學(xué)函數(shù)圖像，從而得到該圖像的數(shù)學(xué)表達式。由于圖表中顯示釀酒葡萄與葡萄酒對應(yīng)的各項指標存在多項式函數(shù)關(guān)系，所以我們得出結(jié)論，釀酒葡萄與葡萄酒各項理化指標存在著多項式函數(shù)的聯(lián)系。對于問題四，題中要求通過分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標來確定其對葡萄酒質(zhì)量的影響，并且論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質(zhì)量。我們巧妙地運用了問題三中得出的關(guān)系和問題一的結(jié)論，結(jié)合題中所給附件二，附件三得出了釀酒葡萄和葡萄酒的某些項理化指標對葡萄酒質(zhì)量的影響并能用這些理化指標判斷葡萄酒質(zhì)量的結(jié)論。關(guān)鍵詞：葡萄酒理性指標顯著性差異數(shù)據(jù)擬合一、問題重述葡萄酒作為體現(xiàn)時尚品位的元素，同雪茄、咖啡、名茶一樣備受追捧。有些世界限量級的頂級名酒被一些商業(yè)會所搜羅，并通過舉行品酒會，以體現(xiàn)會所實力。作為吸引會員的一項主要活動，為此各種品酒活動就這樣誕生了。物質(zhì)社會的今天，確定葡萄酒質(zhì)量時一般將通過聘請一批有資質(zhì)的評酒員進行品評。每個評酒員在對葡萄酒進行品嘗后對其分類指標打分，然后求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質(zhì)量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質(zhì)量有直接的關(guān)系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測的理化指標會在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質(zhì)量。附件一給出了某一年份一些葡萄酒的評價結(jié)果，附件二和附件三分別給出了該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分數(shù)據(jù)。請嘗試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：1.分析附件一中兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信？2.根據(jù)釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質(zhì)量對這些釀酒葡萄進行分級。3.分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯(lián)系。4．分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標對葡萄酒質(zhì)量的影響，并論證能否用葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質(zhì)量？附件一：葡萄酒品嘗評分表（含4個表格）附件二：葡萄和葡萄酒的理化指標（含2個表格）附件三：葡萄和葡萄酒的芳香物質(zhì)（含4個表格）二、問題分析本題要解決的是有關(guān)葡萄酒的質(zhì)量評價的分析問題，題中共設(shè)有4個小題。經(jīng)初步分析得：（1）問題1的分析問題1屬于比較性問題，題目中要求考慮兩組品酒員的評價結(jié)果有無顯著差異，并說出其中哪一結(jié)果更可信，由于附表給出數(shù)據(jù)無規(guī)律，且數(shù)據(jù)量大，而親身品嘗紅酒將會浪費大量的人力物力財力，無法得到太多有特征的數(shù)據(jù)。為了更好地考慮兩組到底有無差異，必須對附表1中各種葡萄酒樣品的外觀，香氣，口感的數(shù)據(jù)做統(tǒng)一的整理與分析。借助EXCEL表格，整理出兩組評委打分的對比情況，整體評價兩組數(shù)據(jù)。（2）問題2的分析題目中要我們根據(jù)附表2中釀酒葡萄的理化指標和葡萄酒的質(zhì)量對這些釀酒葡萄進行分析，并將釀酒葡萄分類。根據(jù)第一題可知，附件一中的第二組數(shù)據(jù)較為可信，因此結(jié)合數(shù)據(jù)特點，我們可以對該組數(shù)據(jù)進行相關(guān)性分析。（3）問題3的分析題目中要求分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯(lián)系。根據(jù)附件二的兩份資料對比后，側(cè)入點即為從每一項葡萄和葡萄酒指標的關(guān)系入手，從而得到整體的釀酒葡萄和葡萄酒的各項理化指標聯(lián)系。（4）問題4的分析此問題是對問題三的進一步理解，通過解答上面的問題三，我們已經(jīng)知道，釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間存在著密切的聯(lián)系，一般情況下我們可以通過檢測釀酒葡萄中的各項理化指標的含量比值來對此種葡萄所釀葡萄酒中的各項理化指標做出大致的判斷。而現(xiàn)在我們要分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標對葡萄酒質(zhì)量的影響，并且判斷能否用葡萄和葡萄酒的理化指標來評價葡萄酒的質(zhì)量。在解答此問題的思路上，我們利用問題一所得出的對第二組評酒員肯定的結(jié)論，對第二組評酒員所評紅葡萄酒的品嘗評分表進行分析，結(jié)合附件二和附件三，對本題進行了解答。三、問題假設(shè)（一）對于問題1的假設(shè)1假設(shè)題目中所給數(shù)據(jù)準確無誤。2假設(shè)兩組中評委所品嘗的這兩組樣品酒是同一種酒。3假設(shè)27種樣品酒的酒齡相同。4假設(shè)品酒過程種環(huán)境溫度未發(fā)生改變。（二）對于問題2的假設(shè)1假設(shè)題中所給數(shù)據(jù)準確無誤。2假設(shè)評委品酒的環(huán)境均相同，且品酒師味覺沒有問題。3假設(shè)釀酒葡萄均未變質(zhì)。（三）對于問題3的假設(shè)1假設(shè)題中所給數(shù)據(jù)準確無誤。2假設(shè)問題中僅考慮題目中所給的幾個指標。（四）對于問題4的假設(shè)1假設(shè)該模型不考慮人為活動，自然因素等的影響。2假設(shè)所測理化指標在一定時間內(nèi)是穩(wěn)定不變的。3假設(shè)葡萄酒質(zhì)量好壞由品酒師所給評分判斷。四、量與符號說明：1至27號樣品酒的觀測值：期望Var：方差：觀測值之和：十位評委給的每個樣品酒的平均分X：釀酒葡萄的各項指標Y：葡萄酒的各項指標注：在此沒有設(shè)定的符號在下文中會具體說明。五、模型的建立與求解（一）問題1的建立與求解根據(jù)數(shù)據(jù)分析，紅白葡萄酒的兩組評分存在平行的關(guān)系，以下以紅葡萄酒為例。利用EXCEL軟件對所給數(shù)據(jù)進行求和，平均的計算，并繪制出折線統(tǒng)計圖，如下：圖1：色澤平均分折線圖圖2：果皮顏色平均分折線圖。圖3：口感濃度評分之和統(tǒng)計圖。圖4：單寧含量平均值統(tǒng)計圖。由于在現(xiàn)實中考慮到經(jīng)濟成本的原因不能進行實質(zhì)性的品酒嘗試，不能得到詳細的歷史數(shù)據(jù)，所以只能根據(jù)附表所給數(shù)據(jù)比較而得。這里主要采取了利用期望求方差的方法，及對比法，定量分析法，來解決問題。針對樣品酒的不斷變化可以根據(jù)外觀，香氣，口感數(shù)據(jù)進行了方差的求解，方差公式：得到紅葡萄酒樣品1到27號兩組評分的方差值，其中包括最具代表性的外觀色調(diào)方差值和口感濃度方差值，如下表：表1：第一組和第二組評分的各項方差值。E(2)外觀澄清度外觀色調(diào)香氣純正度香氣濃度香氣質(zhì)量第一組1224.0745145.6291938.1853592.22215367.41第二組1223.1484119.8511745.2963233.29613924.3[E(X)]2外觀澄清度外觀色調(diào)香氣純正度香氣濃度香氣質(zhì)量第一組1166.0965004.2521887.423520.44415192.84第二組1219.823992.3681723.7873198.53113854.16Var(X)第一組57.978141.37750.76571.778174.57第二組3.328127.48321.50934.76570.14E(X2)口感純正度口感濃度口感持久性口感質(zhì)量第一組1704.4443351.4813987.66624091.78第二組1578.853047.1853390.40722736.89[E(X)]2口感純正度口感濃度口感持久性口感質(zhì)量第一組1671.9013295.613520.44423830.21第二組1573.4443045.4053385.51622633.53Var(X)第一組32.54355.871467.222261.57第二組5.4061.784.891103.36得到結(jié)論如下：據(jù)分析，兩組評分有顯著差異。普遍為，據(jù)折線圖顯示第二組評分較高，而方差表顯示第二組評分較為穩(wěn)定。首先從色澤評分來看，第二組方差較小，即評分趨向穩(wěn)定，此狀態(tài)在圖1中也可觀察到。而第一組評分波動較大，資料顯示紅葡萄酒的外觀色澤度與釀酒葡萄果皮顏色濃度成正比[1]。所以由圖2可知，除12號樣品酒以外，各號樣品酒果皮顏色濃度值趨于其平均值，因此可知1至27號樣品酒的外觀色澤評分應(yīng)趨于穩(wěn)定，也就是第二組數(shù)據(jù)之所以色澤濃度方差較小的直接原因。其次根據(jù)網(wǎng)上資料可知，葡萄酒中單寧的含量在5000至30000為最佳[2]，從圖4可知，每一個樣品中的單寧含量均符合最佳葡萄酒標準，也就可以判斷樣品葡萄酒均為佳釀，所以口感濃度得分應(yīng)為最高組得分，由圖3觀察到，在口感濃度上第二組評分比第一組高，所以據(jù)以上分析可知，第二組評分比較可靠。綜上所述，第二組評分較為可信。（二）問題2的建立與求解根據(jù)第一題可知，第二組的評分為標準化評分，故，將第二組評分作為指標總表。要想對釀酒葡萄進行分級，僅僅靠普通的肉眼觀察法是行不通的，因此我們采用了累計求和與求平均數(shù)的方式來計算，使其更具可觀性和更強的表達力。如若將釀酒葡萄進行等級分類，則可將其相對應(yīng)的葡萄酒進行等級評定，從而評定釀酒葡萄的等級。此為累計求和及平均數(shù)公式。將數(shù)據(jù)帶入公式后可求得相關(guān)數(shù)據(jù)。下表為第二組每個評酒員對1至27號樣品酒的打分情況，及十位評酒員對每個樣品酒打出的平均分。見下表：表2：十位評酒員對27種樣品酒的打分情況及其對某一樣品酒打出的平均分。品酒員品酒號12345678910平均分16871805253767173706768.12757676716874837373717438269807863757277747674.647579737260777373607071.256668777576737272746872.166567756158667067676766.376865686547705774726765.38717078516269735968596698183857669808377757378.2106773826263666672657268.8116461676250666451676461.6126768755863736772697168.3137464686570677076696568.8147171786467767480737272.6156260735459717170686965.7167165787064736675686969.9177273757475777976766874.5186765805562646274606565.4197265826164817680747172.6208075806670847983717075.8218072757262776370737872.2227779756268697371697371.6237977808367798071817477.1246669727373687276767071.5256868846260666973666668.2266867836473747778637372277164727169718273736971.5通過帕克的評分系統(tǒng)[3]我們將分數(shù)段進行以下六個等級的分類：96-100分：頂級佳釀90-95分：優(yōu)秀80-89分：優(yōu)良70-79分：普通60-69分：次品50-59分：劣品據(jù)表可知：頂級佳釀葡萄酒有：無優(yōu)秀等級的葡萄酒有：無優(yōu)良等級的葡萄酒有：無普通等級的葡萄酒有：2號，3號，4號，5號，9號，14號，17號，19號，20號，21,號，22號，23號，24號，26號，27號次品等級的葡萄酒有：1號，6號，7號，8號，10號，11號，12號，13號，15號，16號，18號，25號劣品等級葡萄酒有：無因此，根據(jù)第二組的標準理化指標可得釀酒葡萄的等級可分為兩級：普通等級和次品等級。其中屬于普通等級的釀酒葡萄編號有：2號，3號，4號，5號，9號，14號，17號，19號，20號，21,號，22號，23號，24號，26號，27號。屬于劣品等級的釀酒葡萄編號有：1號，6號，7號，8號，10號，11號，12號，13號，15號，16號，18號，25號。（三）對問題3的模型建立與求解利用EXCEL軟件進行數(shù)據(jù)擬合，可得到直觀的關(guān)系圖示和多項式關(guān)系模型。首先，建立統(tǒng)計回歸模型，包括各項理性指標的數(shù)值，用X表示釀酒葡萄的各項指標數(shù)值,Y表示葡萄酒的各項指標數(shù)值，并利用EXCEL進行數(shù)據(jù)擬合，將釀酒葡萄和葡萄酒的同一理化指標分別進行比較，包括DPPH自由基，總酚，單寧，葡萄總黃酮，白藜蘆醇，色澤。繪圖之前將其中有多次測量的數(shù)據(jù)進行期望求解，包括DPPH自由基，總酚，單寧，葡萄總黃酮，色澤。其次將相同指標下的27組數(shù)據(jù)進行EXCEL的數(shù)據(jù)擬合，也就是利用軟件建立回歸模型，由紅葡萄的附表數(shù)據(jù)中整理得到了如下統(tǒng)計圖：圖5：花色苷擬合數(shù)據(jù)圖圖6：總酚擬合數(shù)據(jù)圖圖7：色澤擬合數(shù)據(jù)圖圖8：單寧擬合數(shù)據(jù)圖圖9：酒總黃酮擬合數(shù)據(jù)圖圖中X為紅葡萄的各項理化指標數(shù)值，Y為紅葡萄酒的各項理化指標數(shù)值。通過EXCEL的擬合繪圖，添加了趨勢函數(shù)圖象，并顯示了與其對應(yīng)的X,Y數(shù)學(xué)公式，在不斷的調(diào)換各類函數(shù)后，得到了如上圖所示的最適合其散點分布的函數(shù)圖象，統(tǒng)計圖標題下方的公式即為擬合后得到的準確的X,Y函數(shù)公式。據(jù)圖所知紅葡萄中，葡萄酒的理化指標與釀酒葡萄中的花色苷，總酚，色澤，單寧，酒總黃酮存在擬合關(guān)系，其中，釀酒葡萄的花色苷指標與葡萄酒中花色苷指標存在指數(shù)關(guān)系，詳見圖5，多項式為：。釀酒葡萄的總酚，色澤，單寧，酒總黃酮指標與葡萄酒中的總酚，果皮顏色，單寧，酒總黃酮的指標存在多項式關(guān)系，多項式詳見圖6至圖9的標題下方。不具有擬合關(guān)系的是釀酒葡萄和葡萄酒的DPPH半抑制體積指標和白藜蘆醇指標，其所擬合出的統(tǒng)計圖均為散點圖，詳見附圖1，附圖2。然后對白葡萄的研究顯示其有所差異，通過對各項同類指標的擬合數(shù)據(jù)顯示如下圖：圖12：DPPH擬合數(shù)據(jù)圖圖13：單寧擬合數(shù)據(jù)圖圖14：總酚擬合數(shù)據(jù)圖圖中X為白葡萄的各項理化指標數(shù)值，Y為白葡萄酒的各項理化指標數(shù)值。通過擬合繪圖，添加趨勢函數(shù)圖象，并顯示了與其對應(yīng)的X,Y數(shù)學(xué)公式，在不斷的調(diào)換各類函數(shù)后，得到了如上圖所示的最合適其散點分布的函數(shù)圖象，統(tǒng)計圖標題下方的公式即為擬合后得到的準確的X,Y函數(shù)公式。由上圖可知，白葡萄中，葡萄酒的理化指標與釀酒葡萄中的總酚，單寧，DPPH半抑制體積存在擬合關(guān)系，釀酒葡萄的總酚，單寧，DPPH半抑制體積與葡萄酒中的它們存在多項式關(guān)系，多項式詳見圖12至圖14標題下方的多項式。而不具有擬合關(guān)系的是釀酒葡萄和葡萄酒的色澤指標和白藜蘆醇指標，其所擬合出的統(tǒng)計圖均為散點圖，即附圖3，附圖4。因此，綜合上述白葡萄與紅葡萄的各類擬合數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，可得知，釀酒葡萄和葡萄酒理化指標間的關(guān)系為數(shù)學(xué)函數(shù)中的多項式關(guān)系，且由擬合所得到的多項式看來，它們的指標之間的關(guān)系與六次多項式尤為密切。這個結(jié)論也不出乎我們所料，在得到數(shù)據(jù)進行初步判斷的期間，我們將數(shù)據(jù)按一定的順序排列后進行了初步的比較，發(fā)現(xiàn)兩者同一項理化指標下的數(shù)值有著平行的或增或減的函數(shù)關(guān)系，因此我們進行精確的數(shù)據(jù)擬合，由圖中所得結(jié)論也驗證了我們的猜想。（四）對問題4的模型建立與求解為了分析釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標對葡萄酒質(zhì)量的影響，我們基于前三道題的結(jié)論，大膽猜想釀酒葡萄和葡萄酒的理化指標與葡萄酒質(zhì)量可能存在正相關(guān)的關(guān)系。由問題一結(jié)論得到第二組評委所打分數(shù)的數(shù)據(jù)較為可信，因此我們將這組數(shù)據(jù)作為衡量葡萄酒質(zhì)量好壞的標準。下面我們以紅葡萄酒和紅葡萄為例。我們計算出了27組數(shù)據(jù)，即第二組評酒員對紅葡萄酒評分的總和，如下表：表3：樣品酒總分表樣品酒序號123456789該酒得分681740746712721663653660782樣品酒序號101112131415161718該酒得分688616683688726657699745654樣品酒序號192021222324252627該酒得分726758722716771715682720715由表中數(shù)據(jù)我們得到了樣品酒的總得分，由此排列出27種樣品酒的得分順序，也就是這些樣品酒質(zhì)量的排列順序，我們從中挑選了得分最高的9號樣品酒，得分最低的11號樣品酒和居于中間位置的1號和6號樣品酒為例進行研究。首先，我們將上述四種不同的樣品酒的各項理化指標在EXCEL繪圖的同一坐標系下用折線統(tǒng)計圖繪制出來，發(fā)現(xiàn)在葡萄酒的理化指標中除了花色苷指標以外，其他理化指標的走勢大致相同，詳見附圖5。所以，在葡萄酒質(zhì)量的評估過程中起到主導(dǎo)作用的是花色苷指標。以下將會進一步分析。同理，附圖6給出了四種釀酒葡萄的各項理化指標與葡萄酒質(zhì)量的關(guān)系圖。結(jié)合這兩個具有代表性的統(tǒng)計圖，我們大致可以推測出葡萄酒的質(zhì)量與花色苷的含量并不能呈現(xiàn)為我們所猜測的正比關(guān)系。與之不同的是在一定范圍內(nèi)，酒的質(zhì)量隨著花色苷含量的增加不斷提高。然而這并不是簡單的正相關(guān)關(guān)系，在出現(xiàn)峰值之后會出現(xiàn)負相關(guān)的變化，也就是說，在這個范圍以外，酒的質(zhì)量隨著花色苷的增加卻不斷降低。因此，酒的質(zhì)量是隨著花色苷含量的變化不斷變化的。要通過各種嚴謹復(fù)雜的分析方能找出其中真正的規(guī)律與要點。其次，將這四種樣品酒中所含的各種芳香物質(zhì)，即附件三中的數(shù)據(jù)利用EXCEL繪制成折線統(tǒng)計圖，我們從中發(fā)現(xiàn)乙醇、辛酸乙酯、乙酸乙酯、甘油、苯乙醇等的含量與酒的質(zhì)量關(guān)系較為密切。據(jù)以下整理后的表4，表5繪制成附圖7，附圖8。更能看出其中奧秘。表4：主要影響紅酒質(zhì)量的酒內(nèi)芳香物質(zhì)含量表紅葡萄酒乙醇辛酸乙酯乙酸乙酯甘油苯乙醇酒樣品955.47765.94519.8760.61810.645酒樣品189.65772.23512.11351.93617.865酒樣品676.97581.4459.56330.042酒樣品1153.3040.1245.02635.89812.038表5：主要影響紅酒質(zhì)量的葡萄芳香物質(zhì)含量表紅葡萄乙醇辛酸乙酯乙酸乙酯甘油苯乙醇酒樣品934.7770.127