高中數(shù)學(xué) 向量（上）

第十三講向量

?本講概述

向量問題一般在聯(lián)賽一試中以填空題的形式出現(xiàn)，其難度略高于高考，題目小巧靈活.對(duì)參加聯(lián)賽的

同學(xué)來說，這是一道必拿分的問題.此外，利用向量方法來證明平幾問題也是一種重要的方法，最典型的

是，2001年聯(lián)賽二試第一道的平幾問題（見例8）,當(dāng)年很少有同學(xué)做出.但是，用向量方法來處理，問題

就顯得簡(jiǎn)單多了.

首先我們給出向量方面的一些基礎(chǔ)知識(shí)：

1.向量的有關(guān)概念

⑴向量

既有大小又有方向的量叫做向量.始點(diǎn)為A終點(diǎn)為8的向量記做通.在不計(jì)始點(diǎn)終點(diǎn)的情況下，也

可以記做a（或小寫的黑體字母a）.

⑵向量的模

向量A月的大小，即線段他的長(zhǎng)度叫做向量的模，記作|印方|.

⑶相等的向量

若兩個(gè)向量具有相同的模和方向（始點(diǎn)與終點(diǎn)不必相同），則它們相等.

⑷特殊的向量

模為1的向量叫做單位向量；模為o的向量叫做零向量，零向量記為0,是惟一的方向不確定的向量;

設(shè)尸是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，O是坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則向量。戶叫做產(chǎn)的位置向量.

2.向量的運(yùn)算

⑴向量的加減法

向量的加法可以按平行四邊形法則進(jìn)行，也可以按三角形法則進(jìn)行.向量的減法一般按三角形法則進(jìn)

實(shí)數(shù)m與向量a的乘積，〃。是一個(gè)向量，它的模為|"?。|=|"小|"|.當(dāng)加＞0時(shí)，〃口與a同向；當(dāng)切=0

時(shí)，ma的方向不確定；當(dāng)時(shí)，，與。反向.特別地，如果aH。，則-La就是和。同方向的單位向

\a\

量，（-l）a=-a叫做。的反向量.-a與a互為反向量.

⑶向量的數(shù)量積

兩個(gè)向量￡、萬的數(shù)量積（或者稱為點(diǎn)積或內(nèi)積）定義為￡4=|￡|?⑻泣,耳，其中表示向量

￡和向量B之間正方向的夾角.向量的數(shù)量積和物理中力做的功與力、位移的關(guān)系是一致的.特別的，

―2-?一一

a=a-a=\a\.

⑷向量的向量積

兩個(gè)向量3、5的向量積（或者稱為叉積或外積）定義為日*5=|￡|?歷|6出（￡石）仄，其中［是一個(gè)同時(shí)

垂直于￡和區(qū)的單位向量，且E、￡、B之間遵循右手法則）.向量的向量積的模（|￡x5|）的幾何意義為以

￡、B為鄰邊的平行四邊形的面積.

⑸向量的混合積

三個(gè)向量￡、E、2的混合積定義為（￡x到4.向量的混合積的幾何意義為其運(yùn)算結(jié)果是以￡、B、c

為相鄰的棱形成的平行六面體的體積.

3.平面向量的坐標(biāo)表示

設(shè)在基底,I，e?)下，對(duì)在卜］,?2)所確定的平面上，向量a可以分解為a=x-q+y-e?.此時(shí)，向量a即

坐標(biāo)(X,)，)確定的點(diǎn)P的位置向量。戶，從而可以用坐標(biāo)(x,y)表示向量入特別的，如果(3,公)是正交基

底，即4.與最是垂直的，那么它們可以構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.空間向量也有對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)表示，我們將在學(xué)

習(xí)空間解析幾何初步的時(shí)候進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)該類向量.

4.平面向量的坐標(biāo)表示下的數(shù)量積

如果向量￡的坐標(biāo)表示為(X1,yj，向量B的坐標(biāo)表示為(々。2)，則￡/=(',%>(%,%)=中2+乂%.

5.向量運(yùn)算的基本性質(zhì)

⑴加法滿足交換律、結(jié)合律，即有a+B=B+”，a+伍+c)=(a+B)+c；

⑵數(shù)乘滿足分配律，A^a+bj=Aa+Ab,(A+//)a=Aa+pa,；

⑶數(shù)量積滿足交換律和分配律，ah=b-a,(Aa)-b=2(a-b),(b+c)-a=b-a+c-a；

(4)夕卜積滿足以下規(guī)律，axb=-bxa,axa=0,ax(h+c)=axh+axc,ax(hxc)=(a-c)b—(a-b)c.

思考:(a+b)-(c+d)=a-c+a-d+b-c+b-d是否成立？(eB)?c=a-(5-c)是否成立？

6.幾個(gè)重要結(jié)論

⑴不共線的四點(diǎn)A、B、C、。組成平行四邊形的充要條件是4月=而或A月=-8.

⑵兩個(gè)向量入B共線(或稱線形相關(guān))的充要條件是存在不全為零的兩個(gè)實(shí)數(shù)加、”，使根￡+川=0,

若兩個(gè)向量a、B不共線，S.ma+nb=6,則〃z=〃=0.

⑶兩個(gè)向量￡、B共線的充要條件是￡-坂=±|￡|?防I(或￡xB=6).

⑷兩個(gè)向量”、〃垂直的充要條件是“?〃=().

7.用向量法解決平面幾何問題

向量既反映數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)位置關(guān)系，從而能數(shù)形相輔地用代數(shù)方法研究幾何問題，即把幾何代數(shù)

化.由于可以通過建立坐標(biāo)系研究向量，所以解析幾何方法從本質(zhì)上是一種特殊的向量方法.作為處理幾

何問題的一種工具，向量方法兼有兒何的直觀性、表述的簡(jiǎn)潔性和方法的一般性.

⑴使用向量的第一步，是要在圖中選定基底.一旦確定了基礎(chǔ)向量，在整個(gè)問題的解決過程以此為依據(jù)而

進(jìn)行計(jì)算.

⑵在確定點(diǎn)的位置時(shí)，經(jīng)常用向量的線形關(guān)系(這是向量的重要性質(zhì)，貫穿在整個(gè)向量法中)來解決.

⑶在處理垂直關(guān)系、長(zhǎng)度關(guān)系以及交角等問題時(shí)，一般用向量的數(shù)量積來解決.

8.向量形式的三角形四心性質(zhì)以及判定定理

G是A4BC的重心oGA+GB+GC=6；

，是A48C的垂心。HAHB=HBHC=HCHA；

O是AABC的外心<=>0A=OB=0C：；

/是A48C的內(nèi)心m-晅國(guó)-.匕曰(馬-衛(wèi)］.

［\AB\\AC\)\BC\)(|CA|\CB\)

補(bǔ)充性質(zhì)定理：

重心：對(duì)任意點(diǎn)P,PG=^(PA+PB+PC);

垂心：對(duì)非直角三角形情形有tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=6；

外心：sm2AOA+sin2BOB+sm2COC=6;

內(nèi)心：sinA-OA+sinB-OB+sinC-OC=6或a?OA+b-OB+c-OC=0.

歐拉定理的引理：若O是AABC的外心，H是AABC的垂心則+0月+OC.

歐拉定理：若O是AABC的外心，，是AABC的垂心，G是AABC的重心則歷=1兩

3

?例題精講

【例1】點(diǎn)。為A4BC的外心，連B0延長(zhǎng)交外接圓于點(diǎn)D.

⑴用茄、無表示皮;

⑵若高AF、CG交于點(diǎn)H,試用而、08>6?表示西.

⑶證明歐拉定理：三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線（歐

拉線），且重心到垂心的距離是重心

到外心距離的2倍

【例2】用向量的方法證明三角形的三條高交于一點(diǎn).

已知：&4BC中，AD.BE、CF分別為邊BC、CA、AB上的高.

求證：AD.BE、C尸交于一點(diǎn).

【例3】設(shè)。是A4BC的外接圓圓心，力是邊AB的中點(diǎn)，E是A4C￡>的中線的交

點(diǎn)，證明：如果AB=AC,則0E_LCD

【例4】求所有的正實(shí)數(shù)對(duì)m8滿足的關(guān)系，使得存在直角ACDE及

其斜邊QE上的點(diǎn)A、B,滿足笳二痛二屈且AC=mBC=h.

【例5】證明：cos(a-p)-cosacos/?4-sinsin0(余弦的和角公式).

【例6】證明：如果三角形的重心與其邊界的重心重合，則它是等邊三角

形.（美國(guó)紐約數(shù)學(xué)競(jìng)賽）

BC

D

【例7】設(shè)尸是正三角形AA8C所在平面上一點(diǎn)，求證：PA<PB+PC.

【例8】（92年聯(lián)賽）設(shè)A444是圓0的內(nèi)接四邊形，乜,〃2，“3，”4依次是三角形

A424A4，“44，544，的44的垂心，求證：4,心，&，七四點(diǎn)共圓，并求其圓心。

【例9】（2001年聯(lián)賽）如圖，/ABC中，0為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H,直線ED和AB交于點(diǎn)

M,FD和AC交于點(diǎn)N。求證：（1）0B±DF,0C1DE；（2）OH±MN0

A

M

【例10】在矩形4BC。的外接圓弧AB上取一個(gè)不同于頂點(diǎn)A、B的點(diǎn)M,點(diǎn)P、Q、

R、S是M分別在直線A。、AB、BC與CO上的投影.證明，直線PQ和RS

是互相垂直的，并且它們與矩形的某條對(duì)角線交于同一點(diǎn).

?大顯身手

1.證明：。是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C上平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),

(ABAC

動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+A,2>0,則點(diǎn)P位于

[\AB\\AC\)

N84C的平分線上.

2.在AABC內(nèi)，設(shè)。及E是8C的三等分點(diǎn)，

尸、G分別是AC、43的中點(diǎn).線段EG與。尸交于求證:

EH患并求該比值?

HG

3.若。是AA8C的外心，”是AA8C的垂心，A48C需要滿足什么條件，才能使乜4=。4.

4.AABC中，A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是〃、b、c,求證;

⑴cosA=U^——(余弦定理).

2bc

(2)上=，(正弦定理).

sinBsinC

5.G是AA3c所在平面內(nèi)一點(diǎn)，GA+GB+GC=6,求證：G是A48C的重心.

6.設(shè)O點(diǎn)在AA3C內(nèi)部，且有方+2礪+3覺=6,則A43C的面積與AA0C的面積的比為

()

35

A.2B.-C.3D.-