上海初三數(shù)學(xué)自招教學(xué)案6：解不等式

第四講：解不等式

知識(shí)梳理：

1.基本公式

(1)關(guān)于X的不等式公〉。的解：

①當(dāng)〃>0時(shí)，X>^_;②當(dāng)4<0時(shí)，x<);③當(dāng)4=0時(shí)：

aa

(i)當(dāng)hNO,解集為空集；(ii)當(dāng)人<0時(shí)，解集為R。

(2)一元二次不等式：ad+Z?x+c>0或〃d+&r+c<0(〃聲0)

①若△〉0:

(i)當(dāng)a>0時(shí)，ax2+ftx+c>0的解在方程ax2+bx+c=0的兩根之外，即x>%大或xvx小；

0^+6；+。<0的解在方程〃月+云+^二。的兩根之間，即x<x<x；

小大

(ii)當(dāng)。<0時(shí)，ax2+bx+c>0的解在方程ax2+fex+c=0的兩根之間，B|Jx<x<x；ax2+bx+c<0

小大

的解在方程ax2+bx+c=Q的兩根之外，即x>x大或x<x小。

->b

②若△=()：當(dāng)a>0時(shí)，+6x+c>0的解為XX-一；加+bx+c<0的解為空集。

2a

③若△<()：(i)當(dāng)〃>0時(shí)，of+bx+c>0的解為一切實(shí)數(shù)；ox?+/?尤+￡<0的解為空集。

(ii)當(dāng)。<0時(shí)，奴?+么+?！?的解為空集；云+。<0的解為一切實(shí)數(shù)。

判別式△=b2-4acA>0A=0A<0

*\

y=+bx+c

（a〉0）的圖像

0

y=cue+/7x+c有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

b

x=x=~—沒有實(shí)根

Xt,X2(X1<x2)

a>o）的根122a

ax2+Ax+c>0卜

｛尢卜<再或｝R

（a〉0）的解集2aJ

2

辦+bx+c<0,（a>0）的解集（+*j<X<x2}00

(3)基本不等式：

①、若a,b￡R,貝,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)等號(hào)成立;

第1頁

②、若a,bwR-,則a+bN2源，當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)等號(hào)成立;

③、若a,b6R",a+b=S,ab=PM

（D如果P是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)，S的值最小;

⑵如果S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，P的值最大

④、兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)

⑤、

］（a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕時(shí)取等號(hào)）.

ab

2.基本結(jié)論

（1）不等式的基本原理：

?a-b>0<=>a>b

@a-b<0<^>a<b

@a-b=O<=>a=b

（2）不等式的基本性質(zhì)：

①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等式的方向不變。即：若

a>b>則a+6>8+加；

若a</?,則。+團(tuán)<Z?+機(jī)。

②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變。即：若

a>b,且加>0,則am>b/n；

若a<b,且，〃>0,貝！Jam<bma

③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式的方向改變。即：若

a>b,且相<0,貝ij<bm；

若a<b,且陽v0,則。機(jī)>匕機(jī)。

例題精講:

例1：若加wl,解關(guān)于x的不等式7nx-2>x+

第2頁

例2：解不等式：2(3無2-5)<1lx

例3：解關(guān)于x的不等式：42<+ar-a2<0

例4：解不等式組-x<￡—2<x

例5：若不等式0</+奴+544只有一解，求實(shí)數(shù)a的值。

例6：已知關(guān)于x的方程f+(,"+2)x+m+5=0的兩根均為正數(shù)，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍。

第3頁

2

例7：若x<2,求x-l+^的取值范圍

x-2

x2+7x+10

例8：求y=“十'"十一(%>_1)的最小值

X4-1

1Q

例如已知x>0,y>0,且上+乙=1，求x+y的最小值

xy

例10：已知為正實(shí)數(shù)，且求xji+y2的最大值

同步練習(xí)：

練習(xí)1：解不等式：已知關(guān)于x的不等式（2〃-力x+>0的解為y"）,解關(guān)于x的不等式內(nèi)>6。

7

第4頁

練習(xí)2：解不等式—Ze?+3x+5>0

練習(xí)3：解關(guān)于x的不等式：ax1-(?+1)1<0

[2/—x—6<0

練習(xí)4：解關(guān)于犬的不等式組:1[廠-(2+ci)x+2a>0

練習(xí)5：若關(guān)于尢的不等式￡-3-l)x-的解集中只有一個(gè)整數(shù)0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍。

練習(xí)6：(3〃+5〃-1)2+p+3b+l『0,解關(guān)于x的不等式：ax-b>6

4

練習(xí)7：已知x>3,求元+1+——的最小值

x-3

第5頁

練習(xí)8：若x>2,求----------的取值范圍.

2%-4

2Q

練習(xí)9：若犬>0,y>0且_+2=1，求x+y的最小值

y2

練習(xí)10：%y,zcR*,九一2y+3z=0,—的最小值

xz

參考答案

第6頁

例1：答案：原不等式<=>(m-1)2+3機(jī)

(1)當(dāng)相>1時(shí)，x>；

m-1

......3m+2

(z2)當(dāng)機(jī)<1時(shí)，x<o

m-1

25

例2：答案：〈二

32

O62-H-10<0

解析：解：原不等式X’

=(2x—5)(3x+2)<0

所以原不等式的解為-：2<》<5，

32

例3：解析：原不等式=(6x+o)(7…)<0令—1一>著=0,

則。=0

(1)若4>0,則-f<f,原不等式的解為—f<x<f；

6767

(2)若a<0,則原不等式的解為f<x<—f；

6776

(3)若4=0,原不等式變?yōu)?2f<0,所以原不等式的解集為空集。

例4：答案：l<x<2

解析：原不等式組變?yōu)?：：二吃邙信聯(lián)?)0儲(chǔ)對(duì)i>3<x<2

所以原不等式組的解為1<x<2。

例5：答案：實(shí)數(shù)a=±2

解析：若￡+辦+140有唯一解，則A=a2-4=0,解得a=±2

(1)若。=2,則不等式f+2x+5>0恒成立，所以原不等式組只有一解；

(2)若。=-2,則不等式x2-2x+5>0恒成立，所以原不等式組只有一解;

綜上(1)(2)所述，實(shí)數(shù)。=±2。

例6：答案：-5<根〈一4

解析：依題意得，

第7頁

A=(m+2)2-4(/?7+5)>0/n2-16>0m<-4或加>4

<-(〃2+2)>0<=>J/n<-2<777<-2—5<G—4

+5>0m>-5m>-5

所以滿足題中條件的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為-5<m<-4

22

例7：答案：x-l+——=x-2+——+1<-2V2+1

x—2x—2

解析：基本不等式運(yùn)用

例8：答案：9

.>v,、1,-,x2+7x+10(x+l)~+5(x+l)+44.?

解析r：方法一：當(dāng)了>-1時(shí)，----------=-——-——-——--=x+l+——+5>9,

%+1X+1X+1

當(dāng)且僅當(dāng)X+1=」一即X=1時(shí)取等號(hào).

X+1

(r-l)2+7(r-l)+10r2+5r+44

方法二：設(shè)/=x+lQ>0),則x=原式=-------------------=----------=/+—+5N9

ttt

當(dāng)且僅當(dāng)r=&即r=2,x=1時(shí)取等號(hào).

t

例9：答案：16

解析：(x+y)(，+2)=l+蘭+2+9=10+絲16,當(dāng)且僅當(dāng)豈=)即y=3左，

xyyxyxyx

代入J_+2=1可得x=4,y=12時(shí)取等號(hào).所以x+y的最小值為16.

例10：答案：——

4

解析：由于％>0,xJl+y=J.(l+y2),乂x+萬=]=>y2=2-

22

所以7^(1+/)=-2(3_2丁)=&.2x2(3—2x?)?U(|2X+3-2XY|=3AT

2\2).丁

3

練習(xí)1：答案：x<L

5

卜-。<0

解析：由題意得，10即24<6且34=58，即10“<5/?=34,所以a<。，即不等式奴>b的

[la-b~y

第8頁

解為x<*=2,所以關(guān)于x的不等式以的解為"3。

a55

練習(xí)2：答案：-l<x<5

2

解析：整理，得2d—3x—5<0

因?yàn)锳ug+dOndg〉。，5

X-

方程2犬—3x—5=O的解是X=-

!22

5

故原不等式的解集為Jx-1<X<U

r

2—

練習(xí)3：解析：原不等式<=>(ax-1)(x-1)<0

(1)當(dāng)a=O時(shí)，原不等式變?yōu)椤獂+l<0,即x>l；

(2)當(dāng)awO時(shí)令

1-4=0,得a=[

a

①若4<0時(shí)，原不等式的解為或X>1；

a

②若0<。<1時(shí)，原不等式解為1；

a

③若。=1時(shí)，原不等式的解集為空集；

④若?！?時(shí)，原不等式的解為_1<工<1

a

3

練習(xí)4：答案：所以當(dāng)2時(shí)，原不等式組的解為:<x<2；

2

33

當(dāng)-；<x<2時(shí)，原不等式組的解為->工<。；

22

3

當(dāng)時(shí)，原不等式的解為空集。

2

解析：不等式2d-x-6<0<=>(x-2)(2x+3)<0<=>一<x<2

2

第9頁

不等式x2-(2+a)x+2a>0<=>(x-2)(x-a)>()

(1)當(dāng)aN2時(shí)，不等式的解為x<2,或x>a；

(2)當(dāng)a<2時(shí)，不等式的解為a<a或x>2

所以當(dāng)2時(shí)，原不等式組的解為-;<x<2；

2

33

當(dāng)一二<x<2時(shí)，原不等式組的解為—：<x<a；

22

3

當(dāng)時(shí)，原不等式的解為空集。

2

練習(xí)5：答案：0<a<1

解析：解：原不等式=a+i)a—。)<0

當(dāng)a=-l時(shí)，原不等式的解集為空集；

當(dāng)a<—1時(shí)，原不等式的解為a<x<—1,其解集中沒有整數(shù)0；

當(dāng)。>一1時(shí)，原不等式的解為-l<x<a,要使其解集中只有一個(gè)整數(shù)0；

則實(shí)數(shù)a滿足的條件是0<aW1。

練習(xí)6：答案：%>3

f3a+5?！?=0fa=2

解析：由已知條件得，｛,八，解得《