高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題函數(shù)化

高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題函數(shù)化

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)：定義域為正整數(shù)集N*（或它的

有限子集口，2,3,n｝）的函數(shù)，數(shù)列的通項公式

就是相應(yīng)的函數(shù)解析式，因此，用函數(shù)的觀點去考察數(shù)

列問題也是一種有效的途徑。

1.數(shù)列與函數(shù)的明顯關(guān)系

設(shè)等差數(shù)列&｝的公差為d,則由它的通項公式

*=翁+@-㈤可知,當(dāng)a*。時,即是n的一次

函數(shù)；由前n項和的公式*22U21可

知當(dāng)dwO時，E是n的二次函數(shù)。

設(shè)等比數(shù)列同｝的公比為q,則由它的通項公式：

前n項和的公式：

芯=^￡2=?+&

]—qq-11-q

可知，當(dāng)"0且”1時，久，S.是與n的指數(shù)函數(shù)相關(guān)的函

數(shù)。數(shù)列和函數(shù)的這種顯見關(guān)系為我們數(shù)列問題函數(shù)化

解題提供了可行性。

2.數(shù)列問題函數(shù)化

（1）利用一次函數(shù)

例1.已知｛怎｝是遞增數(shù)列且對于任意的正整數(shù)n,

%=/+%恒成立，求實數(shù);I的取值范圍。

解：由數(shù)列卜｝遞增得到：即+「%>。對于一切甩eN?恒成

立，即2耳+1+4>0恒成立,所以兄>一伽+1）對一切小￡川?恒成

立，設(shè)〃加Q+1）,則只需求出/⑺的最大值即可,顯

然了⑺有最大值八1）二一3,所以幾的取值范圍是：A>-3O

（2）利用二次函數(shù)

例2.已知等差數(shù)列同｝的前n項和且

S,=4Sgge獷且pwg),求邑

解：設(shè)&=/(%)="+物(當(dāng)時),因為〃p)=/g)=』

”-p+q

所以/⑺的圖象對稱軸方程是丁

M=P+q

因為點(0,f(0))與點(P+0，/3+/)關(guān)于直線丁對

稱

所以〃P+[)="0)=0

即4=。

當(dāng)"0時，4為常數(shù)列,可知“o

即4=0,所以%=0

(3)利用函數(shù)理論

s--…+工

例3.已知*?+1?+22?o

(1)求證數(shù)列圖｝是遞增數(shù)列；

(2)對于大于1的一切自然數(shù)，不等式

11…J_J_2

^+i+^+2++宙＞也%"一+?恒成立，求實數(shù)a的取值

范圍。

證明：(1)因為凡+「S*

…+3

+2甩+32(?+1)/1修+1%+22n/

111

=-----1-----------

2?+12總+2%+1

2〃+12總+2

所以數(shù)列｛SJ是遞增數(shù)列。

111

(2)設(shè)/⑻=R+f++譏則由(1)的結(jié)論可知,

*/⑺是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)，要使不等式

^+i+^+2++宙々恒成立，只要求出了⑺的

最小值即可

因為心2且六獷

所以了㈤的最小值為：

/⑵=5+

1,，八2

>12°Sa+3

所以由12

1,^+1

/r1<a

解得

1

所以實數(shù)a的取值范圍是：I

例4.已知數(shù)列?｝滿足：

2怎+1=-%3+%*56獷)且℃(0,1)。

(1)證明劭6(0,1)；

(2)試比較明與小的大小；

(3)是否存在正實數(shù)C,使a「c對一切%WN?恒成

立？若存在，求出C的取值范圍，若不存在，說明理

由。

證明：(1)由已知條件得到：

13工3

4+1=_2%+*

它是關(guān)于斯的三次函數(shù)

12

3

人=--x+-x

令八,22

333

rti口?^f'W=--X2+-=--(X2-1)

則了⑶的導(dǎo)函數(shù)222

則當(dāng)x［0,1］時，/'(x)>0

所以/⑶在［0,1］上是遞增函數(shù)

若%60,1),則

又〃0)=0,〃1)=1

所以必有。<%+1<1

因此由七e(0,1)及數(shù)學(xué)歸納法易證對一切附eN?都有

斯e(0,1)(證明過程略)。

(2)因為由(1)知"(0，1)

所以…”-#+I&

=--1a?3上+一1%

22

12

=一丑/_1)>0

所以即+i>4

(3)因為劭€(0,1)且c>o

0<2

所以

<^>an-c>0且白點4-c<2(ax-c)

=不等式c<等對一切心獷恒成立，又由(2)的結(jié)論可

知，數(shù)列?｝是遞增數(shù)列，所以只要n"I可即可滿足條

c』0,40<心<2

件，故存在正實數(shù)I3人使得不等式一對一

切附wN?恒成立。

(4)數(shù)列應(yīng)用題化歸到函數(shù)問題

例5.在一次人才招聘會上，A、B兩家公司分別開出它

們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資為1500元，以

后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾

第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年的

基礎(chǔ)上遞增5隊設(shè)某人年初被A,B兩家公司同時錄

用，試問：該人在A公司工作比在B公司工作的月工資

最多時可高出多少元(精確到1元)？

解：由題意可知，此人在A、B兩公司工作的第n年月

工資數(shù)分別為

a?=1500+230(?-1)=230?+1270

4=2000x1.05s-1

其中》wN，

設(shè)了⑴=即-4=230?-2000x1,05*-1+1270

所以問題轉(zhuǎn)化為研究了⑺最大值

因為當(dāng)心2時

/(?)-/(?-1)

=[230?-2000x105x-1]-[230(?-1)-2000x

=230-100xl05*-2

初衣―,得：

1.05"-2<2.3

?<-^^+2=19.1

即1g105

所以當(dāng)419時丁/㈤單調(diào)遞增，而當(dāng)此20時，/㈤單調(diào)

遞減，因而當(dāng)忍=19時，/㈤有最大值〃19)=心-1=827

(可用計算器計算出)。由此人在A公司工作比在B公

司工作的月工資最多時可高出827元。

3.數(shù)列含于函數(shù)中的問題

例6.已知〃x)=("l)2,g⑶=4(*1),數(shù)列｛%｝滿足

即=2,(a*+i—即)

g(aD+/(%)=0,數(shù)列｛2｝滿足4=3/(%)-g&+i),試求｛2｝最

大項和最小項。

解：由題意知：

(a*+i-%)?4(々-1)+(%-1>=0

所以a*=1或4aa-羽-1=0

又即=2,故/=1舍去

由4ali+i-T=0

n4(%+「l)=34-1)

3

所以數(shù)列&-1)是公比為I的等比數(shù)列

所以用

+1

又這=3(%-1)2—4(%+】-1)

B=3%)2_0⑴]

它是關(guān)于伊⑺的二次函數(shù)，圖象的對稱軸方程為松）=