人教高中數(shù)學A必修1教師用書

據(jù)央視新聞報道，中國于2016年年中至2017年上半年間，組織實施載人航天工程空間實驗室任務．中國發(fā)射了“神舟”十一號飛船，搭乘2名航天員，與天宮二號對接，在飛船進入預定軌道的過程中包含了一些可以用函數(shù)描述的變化規(guī)律，如上升過程中飛船離地面的距離隨時間的變化而變化，飛船外的溫度和氣壓隨飛船與地面的距離的變化而變化，等等．而高中的函數(shù)是用集合來刻畫的，集合語言是一種抽象的數(shù)學語言，學習集合語言最好的方法就是使用，非洲大草原上生存著幾千種動物，它們常常面臨著生與死的考驗，為了生存，它們過著“群居”的生活，這種“物以類聚”就產(chǎn)生某種動物集合．讓我們一起走進“集合”世界，探索集合的奧秘.1．1集合1.1.1集合的含義與表示Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))一位漁民非常喜歡數(shù)學，但他怎么也想不明白集合的意義．于是，他請教數(shù)學家：“尊敬的先生，請你告訴我，集合是什么？”集合是不加定義的概念，數(shù)學家很難回答那位漁民．有一天，他來到漁民的船上，看到漁民撒下漁網(wǎng)，輕輕一拉，許多魚在網(wǎng)中跳動．數(shù)學家非常激動，高興地告訴漁民：“這就是集合！”問題1：數(shù)學家說的集合是指什么？問題2：網(wǎng)中的“大魚”能構成集合嗎？Xeq\o(\s\up7(新知導學),\s\do5(inzhidaoxue))1．集合的概念(1)含義：一般地，我們把所研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的__總體__叫做集合(簡稱為集)．(2)集合相等：只要構成兩個集合的__元素__是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等．[知識點撥]集合中的元素必須滿足如下性質(zhì)：(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合{1,2,3}與{2,3,1}表示同一集合．2．元素與集合的關系關系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合Aa__∈__Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合Aa?Aa__不屬于__集合A[知識點撥]符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換．3．集合的表示法(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法．例如：小于3的實數(shù)組成的集合．(2)字母表示法：用一個大寫拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用數(shù)集的表示：名稱非負整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號__N____N*或N＋____Z____Q____R__(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．(4)描述法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的__一般符號__及__取值(或變化)范圍__，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的__共同特征__.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．Yeq\o(\s\up7(預習自測),\s\do5(uxizice))1．下列各組對象中不能組成集合的是(C)A．清華大學2019年入校的全體學生B．我國十三屆全國人大二次會議的全體參會成員C．中國著名的數(shù)學家D．不等式x－1>0的實數(shù)解[解析]“著名的數(shù)學家”無明確的標準，對于某人是否“著名”無法客觀地判斷，因此“中國著名的數(shù)學家”不能組成集合，故選C．2．已知a∈R，且a?Q，則a可以為(A)A．eq\r(2) B．eq\f(1,2)C．－2 D．－eq\f(1,3)[解析]eq\r(2)∈R，且eq\r(2)?Q，故選A．3．設x∈N，且eq\f(1,x)∈N，則x的值可能是(B)A．0 B．1C．－1 D．0或1[解析]∵x∈N，∴x≠－1，排除C，又∵eq\f(1,x)∈N，∴x≠0，排除A、D，故選B．4．下列說法中①集合N與集合N*是同一個集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正確的個數(shù)是__2__.[解析]由數(shù)集的性質(zhì)可知①③錯誤，②④正確．5．已知集合A中含有三個元素0,1，x，若x2∈A，求實數(shù)x的值．[解析]當x2＝0時，得x＝0，此時集合A中有兩個相同的元素，舍去．當x2＝1時，得x＝±1.若x＝1，此時集合A中有兩個相同的元素，舍去．若x＝－1，此時集合A中有三個元素0,1，－1，符合題意．當x2＝x時，得x＝0或x＝1，易知都不符合題意．綜上可知，符合題意的x的值為－1.Heq\o(\s\up7(互動探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命題方向1?集合的基本概念典例1下列各組對象：①某個班級中年齡較小的男同學；②聯(lián)合國安理會常任理事國；③2018年在韓國舉行的第23屆冬奧會的所有參賽運動員；④eq\r(2)的所有近似值．其中能夠組成集合的是__②③__.[思路分析]結合集合中元素的特性分析各組對象是否滿足確定性和互異性，進而判斷能否組成集合．[解析]①中的“年齡較小”、④中的“近似值”，這些標準均不明確，即元素不確定，所以①④不能組成集合．②③中的對象都是確定的、互異的，所以②③可以組成集合．填②③.『規(guī)律方法』1.判斷一組對象能否構成集合的關鍵在于看是否有明確的判斷標準，使給定的對象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的．如果是“確定無疑”的，就可以構成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構成集合．2．判斷集合中的元素個數(shù)時，要注意相同的對象歸入同一集合時只能算作一個，即集合中的元素滿足互異性．〔跟蹤練習1〕下列每組對象能否構成一個集合：(1)我國的小城市；(2)某校2019年在校的所有高個子同學；(3)不超過20的非負數(shù)；(4)方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解．[解析](1)“我國的小城市”無明確的標準，對于某個城市是否“小”無法客觀地判斷，因此，“我國的小城市”不能構成一個集合．(2)“高個子”無明確的標準，對于某個同學是否是“高個子”無法客觀地判斷，不能構成集合．(3)任給一個實數(shù)x，可以明確地判斷是不是“不超過20的非負數(shù)”，即“0≤x≤20”與“x＞20或x＜0”兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過20的非負數(shù)”能構成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內(nèi)的解為－3,3，能構成集合．命題方向2?元素和集合的關系典例2已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三個元素構成的集合中的元素，求x的值．[思路分析]－3是集合的元素說明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分類討論求解．[解析]由題意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.當x－2＝－3時，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三個元素分別為－3，－3,12，不滿足集合中元素的互異性；當2x2＋5x＝－3時，x＝－eq\f(3,2)或x＝－1(舍去)，當x＝－eq\f(3,2)時，集合的三個元素分別為－eq\f(7,2)，－3,12，滿足集合中元素的互異性，故x＝－eq\f(3,2).『規(guī)律方法』解決此類問題的通法是：根據(jù)元素的確定性建立分類討論的標準，求得參數(shù)的值，然后將參數(shù)值代入檢驗是否滿足集合中元素的互異性．〔跟蹤練習2〕已知集合A中僅含有兩個元素a－3和2a－1，若－3∈A，則實數(shù)a的值為__0或－1__.[解析]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則a＝0，此時集合A中含有兩個元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1，此時集合A中含有兩個元素－4，－3，符合題意．綜上所述，實數(shù)a的值為0或－1.命題方向3?用列舉法表示集合典例3用列舉法表示下列集合：(1)36與60的公約數(shù)組成的集合；(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根組成的集合；(3)一次函數(shù)y＝x－1與y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(4,3)的圖象的交點組成的集合．[思路分析](1)(2)可直接求出相應元素，然后用列舉法表示；(3)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1,y＝－\f(2,3)x＋\f(4,3)))→求方程組的解→寫出交點坐標→用集合表示．[解析](1)36與60的公約數(shù)有1,2,3,4,6,12，所求集合為{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4,2，所求集合為{2,4}．(3)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝1,2x＋3y＝4))的解是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,5),y＝\f(2,5))).所求集合為{(eq\f(7,5)，eq\f(2,5))}．『規(guī)律方法』1.用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點集．2．列舉法適合表示有限集，當集合中元素個數(shù)較少時，用列舉法表示集合比較方便，且使人一目了然．因此，集合是有限集還是無限集，是選擇恰當?shù)谋硎痉椒ǖ年P鍵．〔跟蹤練習3〕用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負偶數(shù)組成的集合；(2)方程x2＝x的所有實數(shù)解組成的集合；(3)直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合．[解析](1)因為不大于10是指小于或等于10，非負是大于或等于0的意思．所以不大于10的非負偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解組成的集合為{0,1}．(3)將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點是(0,1)，故兩直線的交點組成的集合是{(0,1)}．命題方向4?用描述法表示集合典例4用描述法表示下列集合：(1)所有不小于2，且不大于20的實數(shù)組成的集合；(2)平面直角坐標系內(nèi)第二象限內(nèi)的點組成的集合；(3)使y＝eq\f(\r(2－x),x)有意義的實數(shù)x組成的集合；(4)200以內(nèi)的正奇數(shù)組成的集合；(5)方程x2－5x－6＝0的解組成的集合．[思路分析]用描述法表示集合時，關鍵要弄清元素的屬性是什么，再給出其滿足的性質(zhì)，注意不要漏掉類似“x∈N”等條件．[解析](1)集合可表示為{x∈R|2≤x≤20}．(2)第二象限內(nèi)的點(x，y)滿足x<0，且y>0，故集合可表示為{(x，y)|x<0，y>0}．(3)要使該式有意義，需有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥0,x≠0))，解得x≤2，且x≠0.故此集合可表示為{x|x≤2，且x≠0}．(4){x|x＝2k＋1，x<200，k∈N}．(5){x|x2－5x－6＝0.}『規(guī)律方法』用描述法表示集合應注意的問題1．寫清楚該集合中的代表元素，即弄清代表元素是數(shù)、點還是其他對象；2．準確說明集合中元素所滿足的特征；3．所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號內(nèi)，并且不能出現(xiàn)未被說明的符號；4．用于描述的語句力求簡明、準確，多層描述時，應準確使用“且”“或”等表示描述語句之間的關系．〔跟蹤練習4〕用描述法表示下列集合：(1)大于4的全體奇數(shù)組成的集合；(2)二次函數(shù)y＝3x2－1圖象上的所有點組成的集合；(3)所有的三角形組成的集合．[解析](1)奇數(shù)可表示為2k＋1，k∈Z，又因為大于4，故k≥2，故可用描述法表示為{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≥2}．(2)點可用實數(shù)對表示，故可表示為{(x，y)|y＝3x2－1}．(3){x|x是三角形}．Yeq\o(\s\up7(易混易錯警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))忽略集合中元素的互異性典例5設集合A＝{x2，x，xy}、B＝{1，x，y}，若集合A、B所含元素相同，求實數(shù)x、y的值．[錯解]由A＝B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝1,xy＝y(tǒng)))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝y(tǒng),xy＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1)).[錯因分析]當x＝1，y∈R時，A＝B＝{1,1，y}，不滿足集合元素的互異性，當x＝1，y＝1時，A＝B＝{1,1,1}也不滿足元素的互異性，當x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，滿足題意．[正解]由錯解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1)).經(jīng)檢驗當取eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y∈R))與eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))時不滿足集合中元素的互異性，所以x＝－1，y＝0.[點評]在實際解答過程中，很多同學只是把答案算出來后就結束了，根本不考慮求解出來的答案是不是合乎題目要求，有沒有出現(xiàn)遺漏或增根．在實際解答中要根據(jù)元素的特征，結合題目要求和隱含條件，加以重視．Xeq\o(\s\up7(學科核心素養(yǎng)),\s\do5(uekehexinsuyang))解決集合的新定義問題的基本方法集合命題中與運算法則相關的問題已經(jīng)成為新課標高考的熱點．這類試題的特點：通過給出新的數(shù)學概念或新的運算方法，在新的情況下完成某種推理證明或指定要求是集合命題的一個新方向．常見的有定義新概念、新公式、新運算和新法則等類型．典例6當x∈A時，若x－1?A且x＋1?A，則稱x為A的一個“孤立元素”，所有孤立元素組成的集合稱為“孤星集”，則集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為__{5}__.[思路分析]準確理解題中給出的新定義，并將其翻譯成自然語言是解答此類題的關鍵．[解析]由“孤立元素”的定義知，對任意x∈A，要成為A的孤立元素，必須是集合A中既沒有x－1，也沒有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2則是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，從而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”組成的“孤星集”為{5}，故填{5}．『規(guī)律方法』解決這類問題的基本方法：仔細審題，準確把握新信息，想方設法將新定義的問題化歸為已經(jīng)解決的熟悉問題，從而使問題得到解決．也就是“以舊帶新”法．Keq\o(\s\up7(課堂達標驗收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．下列語句能確定一個集合的是(D)A．充分小的負數(shù)全體 B．愛好飛機的一些人C．某班本學期視力較差的同學 D．某校某班某一天的所有課程[解析]由集合的含義，根據(jù)集合元素的確定性，易排除A、B、C，故選D．2．已知集合S＝{a，b，c}中的三個元素是△ABC的三邊長，那么△ABC一定不是(D)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形[解析]由集合中元素的互異性知a，b，c互不相等，故選D．3．設集合A只含有一個元素a，則下列各式正確的是(C)A．0∈A B．a(chǎn)?AC．a(chǎn)∈A D．a(chǎn)＝A[解析]由于集合A中只含有一個元素a，由元素與集合的關系可知，a∈A，故選C．4．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－2y＝－1))的解集是(C)A．{x＝1，y＝1} B．{1}C．{(1,1)} D．{(x，y)|(1,1)}[解析]由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－2y＝－1))，可得3y＝3，解得y＝1，x＝1.故方程組的解集為{(1,1)}，故選C．5．用列舉法表示下列集合．(1)A＝{x∈Z|eq\f(6,3－x)∈Z}；(2)B＝{y|y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0}；(3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．[解析](1)要使x，eq\f(6,3－x)是整數(shù)，則|3－x|必是6的約數(shù)，當x＝－3,0,1,2,4,5,6,9時，|3－x|是6的約數(shù)，∴A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}．(2)由y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y>0，可知0<y≤9.當x＝0，±1，±2時，y＝9,8,5符合題意，∴B＝{5,8,9}．(3)點(x，y)滿足條件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝2)).∴C＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．A級基礎鞏固一、選擇題1．(2019·山東金鄉(xiāng)縣高一期中測試)下列各組對象可以組成集合的是(B)A．數(shù)學必修1課本中所有的難題B．小于8的所有素數(shù)C．直角坐標平面內(nèi)第四象限的一些點D．所有小的正數(shù)[解析]由集合的含義，根據(jù)集合中元素的確定性，排除A、C、D，故選B．2．用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為(B)A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析]∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1，故選B．3．用列舉法可將集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示為(D)A．{1,2}B．{(1,2)}C．{(1,1)，(2,2)}D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}[解析]x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示為{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故選D．4．集合A中含有3個元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a的值為(D)A．2 B．4C．6 D．2或4[解析]∵a∈A，A＝{2,4,6}，∴當a＝2時，6－a＝4∈A，當a＝4時，6－a＝2∈A，當a＝6時，6－a＝0?A，∴a＝2或4，故選D．5．方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))的解集是(D)A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7)) B．{x，y|x＝3且y＝－7}C．{3，－7} D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}[解析]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,2x－3y＝27))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－7)).用描述法表示為{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列舉法表示為{(3，－7)}，故選D．6．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝eq\r(2)＋eq\r(3)，則a與集合A的關系是(A)A．a(chǎn)∈A B．a(chǎn)?AC．a(chǎn)＝A D．{a}∈A[解析]由于eq\r(2)＋eq\r(3)＜10，所以a∈A，故選A．二、填空題7．用符號∈與?填空：(1)0__?__N*；eq\r(3)__?__Z；0__∈__N；(－1)0__∈__N*；eq\r(3)＋2__?__Q；eq\f(4,3)__∈__Q.(2)3__∈__{2,3}；3__?__{(2,3)}；(2,3)__∈__{(2,3)}；(3,2)__?__{(2,3)}．(3)若a2＝3，則a__∈__R，若a2＝－1，則a__?__R.[解析](1)只要熟記常用數(shù)集的記號所對應的含義就很容易辨別．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整數(shù)3不是點集{(2,3)}的元素；同樣(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因為坐標順序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的數(shù)是±eq\r(3)，當然是實數(shù)，而平方等于－1的實數(shù)是不存在的．8．設a，b是非零實數(shù)，則eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)可能取的值構成的集合中的元素有__－2,0,2__.[解析]a>0，b>0時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(b,b)＝2，a>0，b<0時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(a,a)＋eq\f(－b,b)＝1－1＝0，a<0，b>0時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(b,b)＝－1＋1＝0，a<0，b<0時，eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＝eq\f(－a,a)＋eq\f(－b,b)＝－1－1＝－2，∴eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)可能取的值構成的集合中的元素有－2,0,2.三、解答題9．用描述法表示下列集合．(1){2,4,6,8,10,12}；(2){eq\f(1,3)，eq\f(2,4)，eq\f(3,5)，eq\f(4,6)，eq\f(5,7)}；(3)被5除余1的正整數(shù)集合；(4)平面直角坐標系中第二、四象限內(nèi)的點的集合；(5)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))的解組成的集合．[解析](1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．(2){x|x＝eq\f(n,n＋2)，n∈N*，n≤5}．(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．(4){(x，y)|xy<0}．(5)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝2))))))或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝0)))))).B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．下列集合中，不同于另外三個集合的是(C)A．{x|x＝2019} B．{y|(y－2019)2＝0}C．{x＝2019} D．{2019}[解析]選項A、B是集合的描述法表示，選項D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個元素2019，都是數(shù)集．而選項C它是由方程構成的集合，集合是列舉法且只含有一個方程．2．如果a、b、c、d為集合A的四個元素，那么以a、b、c、d為邊長構成的四邊形可能是(D)A．矩形 B．平行四邊形C．菱形 D．梯形[解析]由于集合中的元素具有“互異性”，故a、b、c、d四個元素互不相同，即組成四邊形的四條邊互不相等．3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m的值為(B)A．2 B．3C．0或3 D．0或2或3[解析]因為2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要滿足互異性，對m的所有取值進行一一檢驗可得m＝3，故選B．4．已知x，y，z為非零實數(shù)，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)＋eq\f(z,|z|)＋eq\f(|xyz|,xyz)的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是(D)A．0?M B．2∈MC．－4?M D．4∈M[解析]當x>0時，eq\f(x,|x|)＝1，當x<0時，eq\f(x,|x|)＝－1，故當x，y，z全為正時，原式＝4；當x，y，z兩正一負時，xyz<0，原式＝0；當x，y，z兩負一正時，xyz>0，原式＝0；當x，y，z全為負時，xyz<0，原式＝－4，故M的元素有4,0，－4，∴4∈M.故選D．二、填空題5．用列舉法寫出集合{eq\f(3,3－x)∈Z|x∈Z}＝__{－3，－1,1,3}__.[解析]∵eq\f(3,3－x)∈Z，x∈Z，∴3－x為3的因數(shù)．∴3－x＝±1，或3－x＝±3.∴eq\f(3,3－x)＝±3，或eq\f(3,3－x)＝±1.∴－3，－1,1,3滿足題意．6．設A，B為兩個實數(shù)集，定義集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，則集合A＋B中元素的個數(shù)為__4__.[解析]當x1＝1時，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；當x1＝2時，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；當x1＝3時，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4個元素．三、解答題7．由三個數(shù)a，eq\f(b,a)，1組成的集合與由a2，a＋b,0組成的集合是同一個集合，求a2019＋b2019的值．[解析]由a，eq\f(b,a)，1組成一個集合，可知a≠0且a≠1.由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1,a＝a＋b,\f(b,a)＝0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a,a＋b＝1,\f(b,a)＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝0))(舍去)．∴a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.8．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．(1)若A中只有一個元素，求集合A；(2)若A中至少有一個元素，求a的取值范圍．[解析](1)因為集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，則當a＝0時，A＝{eq\f(2,3)}，符合題意；當a≠0時，方程ax2－3x＋2＝0應有兩個相等的實數(shù)根，則Δ＝9－8a＝0，解得a＝eq\f(9,8)，此時A＝{eq\f(4,3)}，符合題意．綜上所述，當a＝0時，A＝{eq\f(2,3)}，當a＝eq\f(9,8)時，A＝{eq\f(4,3)}．(2)由(1)可知，當a＝0時，A＝{eq\f(2,3)}符合題意；當a≠0時，要使方程ax2－3x＋2＝0有實數(shù)根，則Δ＝9－8a≥0，解得a≤eq\f(9,8)且a≠0.綜上所述，若集合A中至少有一個元素，則a≤eq\f(9,8).9．若一數(shù)集的任一元素的倒數(shù)仍在該集合中，則稱該數(shù)集為“可倒數(shù)集”．(1)判斷集合A＝{－1,1,2}是否為可倒數(shù)集；(2)試寫出一個含3個元素的可倒數(shù)集．[解析](1)由于2的倒數(shù)為eq\f(1,2)不在集合A中，故集合A不是可倒數(shù)集．(2)若a∈A，則必有eq\f(1,a)∈A，現(xiàn)已知集合A中含有3個元素，故必有一個元素有a＝eq\f(1,a)，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，eq\f(1,2)}或{－1,2，eq\f(1,2)}或{1,3，eq\f(1,3)}等．1.1.2集合間的基本關系Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))根據(jù)集合的定義，我們知道集合有無數(shù)多個，可以用集合來區(qū)分事物．如{四足動物}，{兩足動物}，{綠色植物}，{菌類植物}，{植物}，{動物}，{汽車}．但有些集合之間有密切的關系．如{四足動物}與{動物}，前一個集合的元素都是后一個集合的元素，且后一個集合元素的個數(shù)比前一個集合元素的個數(shù)多很多，這兩個集合之間的關系如何用簡短的數(shù)學語言來表達呢？學完本節(jié)內(nèi)容就明白了！Xeq\o(\s\up7(新知導學),\s\do5(inzhidaoxue))1．Venn圖的優(yōu)點及其表示(1)優(yōu)點：形象直觀．(2)表示：通常用__封閉曲線__的__內(nèi)部__表示集合．2．子集、真子集、集合相等的相關概念[知識點撥](1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A?B”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因為集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)對于集合A，B，C，若AB，BC，則AC；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A?B，且A≠B，則AB．3．空集(1)定義：不含__任何__元素的集合叫做空集，記為__?__.(2)規(guī)定：__空集__是任何集合的子集．4．集合間關系的性質(zhì)(1)任何一個集合都是它本身的子集，即A?A．(2)對于集合A，B，C，①若A?B，且B?C，則A?C；②若AB，BC，則AC．(3)若A?B，A≠B，則AB．Yeq\o(\s\up7(預習自測),\s\do5(uxizice))1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，則有(D)A．M＜N B．M∈NC．N?M D．MN[解析]∵1∈{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故選D．2．下列四個集合中，是空集的為(B)A．{0} B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}[解析]x>8，且x<5的數(shù)x不存在，∴選項B中的集合不含有任何元素，故選B．3．(2019·河南永城實驗中學高一期末測試)設集合A＝{x|x＝eq\f(n,2)，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋eq\f(1,2)，n∈Z}，則下列圖形能表示集合A與B的關系的是(B)[解析]解法一：對于集合A，其組成元素是eq\f(n,2)，分子部分表示所有的整數(shù)；對于集合B，其組成元素是eq\f(1,2)＋n＝eq\f(2n＋1,2)，分子部分表示所有的奇數(shù)．由真子集的概念知，BA．解法二：用列舉法表示集合如下：A＝{…，－eq\f(3,2)，－1，－eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，1，eq\f(3,2)，2，eq\f(5,2)，…}，B＝{…，－eq\f(3,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，…}，所以BA．4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，則實數(shù)m＝__4__.[解析]因為B?A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，比較A，B中的元素可知m＝4.5．(2019·吉林榆樹一中高一期末測試)已知集合A＝{x|x≤a＋5}，B＝{x|x<－1或x>6}，若A?B，求a的取值范圍．[解析]∵A?B，∴將集合A、B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．由圖可知，a＋5<－1，∴a<－6.Heq\o(\s\up7(互動探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命題方向1?集合間關系的判定典例1指出下列各對集合之間的關系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路分析]先找到集合中元素的特征，再由特征判斷集合之間的關系．[解析](1)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與B之間無包含關系．(2)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB．(3)集合B＝{x|x<5}，用數(shù)軸表示集合A，B，如下圖所示，由圖可知AB．(4)解法一：兩個集合的元素都是正奇數(shù)，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.解法二：由列舉法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.『規(guī)律方法』判斷兩個集合A，B之間是否存在包含關系有以下幾個步驟：第一步：明確集合A，B中元素的特征．第二步：分析集合A，B中元素之間的關系．(1)當集合A中的元素都屬于集合B時，有A?B．(2)當集合A中的元素都屬于集合B，但集合B中至少有一個元素不屬于集合A時，有AB．(3)當集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素都屬于集合A時，有A＝B．(4)當集合A中至少有一個元素不屬于集合B，并且集合B中至少也有一個元素不屬于集合A時，有AB，且BA，即集合A，B互不包含．〔跟蹤練習1〕判斷下列各組集合之間的關系：(1)A＝{x|x是12的約數(shù)}，B＝{x|x是36的約數(shù)}；(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；(3)A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四邊形}，D＝{x|x是正方形}．[解析](1)因為若x是12的約數(shù)，則必定是36的約數(shù)，反之不成立，所以AB．(2)因為A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝?，所以BA．(3)由圖形的特點可畫出Venn圖如圖所示，從而CABD．命題方向2?確定集合的子集、真子集典例2設A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，寫出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．[思路分析]eq\x(\a\al(用列舉法表,示集合A))→eq\x(\a\al(根據(jù)子集中所含元,素的個數(shù)寫出子集))→eq\x(\a\al(從子集中除去集合,A本身即得真子集))[解析]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，則方程的根為x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，由0個元素構成的子集為：?.由1個元素構成的子集為：{－4}，{－1}，{4}．由2個元素構成的子集為：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．由3個元素構成的子集為：{－4，－1,4}．因此集合A的子集為：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．真子集為：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．『規(guī)律方法』(1)若集合A中有n(n∈N＋)個元素，則集合A有2n個子集，有(2n－1)個真子集，有(2n－1)個非空子集，有(2n－2)個非空真子集．(2)寫出一個集合的所有子集時，首先要注意兩個特殊的子集：?和自身．其次，依次按含有1個元素的子集，含有2個元素的子集，含有3個元素的子集……一一寫出，保證不重不漏．〔跟蹤練習2〕滿足{a，b}?A{a，b，c，d，e}的集合A的個數(shù)是(C)A．2 B．6C．7 D．8[解析]由題意知，集合A可以為{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．命題方向3?由集合間的關系求參數(shù)的值和范圍典例3(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，則實數(shù)m＝__1__；(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．[思路分析](1)根據(jù)子集的定義建立等量關系，注意分類討論思想的運用；(2)對集合B是否為空集進行討論，列出有關不等式(組)，進而求出a的取值范圍．[解析](1)因為B?A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1.當m＝1時，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，滿足B?A，故m＝1.(2)當B＝?時，只需2a>a＋3，即a>3；當B≠?時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a,a＋3<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a,2a>4))，解得a<－4或2<a≤3.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為a<－4或a>2.『規(guī)律方法』(1)弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；(2)看集合中是否含有參數(shù)，若含參數(shù)，應考慮參數(shù)使該集合為空集的情形；(3)將集合間的包含關系轉化為方程(組)或不等式(組)，求出相關參數(shù)的值或取值范圍．〔跟蹤練習3〕已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．(1)若B?A，則a的取值范圍是__a≤3__；(2)若A?B，則a的取值范圍是__a≥3__；(3)若AB，則a的取值范圍是__a>3__；(4)若A＝B，則a的值是__3__.[解析](1)若B?A應滿足a≤3.(2)若A?B應滿足a≥3.(3)AB應滿足a>3.(4)若A＝B則a＝3.00Yeq\o(\s\up7(易混易錯警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))典例4已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實數(shù)m的取值范圍．[錯解]由題意并結合數(shù)軸(如下圖)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1,m＋1≥－2,2m－1≤5))，解得2≤m≤3.[錯因分析]錯解中忽略了B＝?時的情形．[正解]①當B＝?時，??A，符合題意，此時m＋1>2m－1，解得m<2.②當B≠?時，由題意結合數(shù)軸(如下圖)．得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1,m＋1≥－2,2m－1≤5))，解得2≤m≤3.綜合上可知m的取值范圍是m≤3.『規(guī)律方法』空集是一種特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，當B?A時，B為空集的情況容易被忽略，因此，當條件不明確時，要注意分情況討論，本題中若不考慮B為空集的情況，將會丟掉m<2這一部分解．Xeq\o(\s\up7(學科核心素養(yǎng)),\s\do5(uekehexinsuyang))分類討論思想的應用分類討論，通俗地講，就是“化整為零，各個擊破”．分類討論要弄清楚是依據(jù)哪個參數(shù)進行分類的，采用的標準是什么．分類討論的原則是：(1)不重不漏；(2)一次分類只能按所確定的同一個標準進行．典例5已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．[思路分析]根據(jù)集合相等的定義和集合元素的互異性求解．由于A＝B，元素a在兩個集合中都有，故其余兩個元素的情況需分類討論．[解析]①若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ac,a＋2b＝ac2))，消去b得a＋ac2－2ac＝0，即a(c2－2c＋1)＝0，當a＝0時，集合B中的三個元素相同，不滿足集合中元素的互異性，故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1.當c＝1時，集合B中的三個元素也相同，∴c＝1舍去，即此時無解．②若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝ac2,a＋2b＝ac))，消去b得2ac2－ac－a＝0，即a(2c2－c－1)＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.又∵c≠1，∴c＝－eq\f(1,2).當c＝－eq\f(1,2)時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(1,4)a,a＋2b＝－\f(1,2)a))，∴b＝－eq\f(3,4)a，∴A＝{a，eq\f(1,4)a，－eq\f(1,2)a}，B＝{a，eq\f(1,4)a，－eq\f(1,2)a}，∴A＝B．綜上可知c＝－eq\f(1,2).『規(guī)律方法』1.兩個集合相等，則所含元素完全相同，與順序無關，但要注意檢驗，排除與集合元素互異性或與已知相矛盾的情形．2．若兩個集合中元素均為無限多個，要看兩集合的代表元素是否一致，且看代表元素滿足條件是否一致，若均一致，則兩集合相等．Keq\o(\s\up7(課堂達標驗收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2?A；②{－2}∈A；③??A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A．則上列式子表示正確的有(C)A．1個 B．2個C．3個 D．4個[解析]∵集合A＝{－2,2}，故③④⑤正確．2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，則(A)A．b＝－3，c＝2 B．b＝3，c＝－2C．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－3[解析]由題意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的兩個實根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－b,1×2＝c))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3,c＝2)).3．(2019·吉林榆樹一中高一期末測試)已知集合A?B，A?C，B＝{0,1,2,8}，C＝{1,3,8,9}，則集合A可以是(A)A．{1,8} B．{2,3}C．{0} D．{9}[解析]∵A?B，A?C，∴集合A中的元素既是集合B的元素又是集合C的元素，∴集合A可以是集合{1,8}，故選A．4．滿足{1}A{1,2,3}的集合A是__{1,2}或{1,3}__.[解析]∵{1}A，∴1∈A，又∵A{1,2,3}，∴2∈A時，3?A,3∈A時，2?A，∴A＝{1,2}或{1,3}．5．(2019·河南永城實驗中學高一期末測試)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，求實數(shù)a的值．[解析]A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，∵B?A，∴當B＝?時，a＝0，當B≠?時，B＝{x|x＝eq\f(1,a)}，∴eq\f(1,a)＝－1或eq\f(1,a)＝1，∴a＝－1或a＝1.綜上可知，實數(shù)a的值是a＝0，a＝－1或a＝1.A級基礎鞏固一、選擇題1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，則有(C)A．M?N B．M∈NC．N?M D．M＝N[解析]∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N?M.2．下列四個集合中是空集的是(B)A．{?} B．{x∈R|x2＋1＝0}C．{x|1<x<2} D．{x|x2＋2x＋1＝0}[解析]方程x2＋1＝0無實數(shù)解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}為空集，故選B．3．(2019·陜西黃陵中學高一期末測試)集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集個數(shù)是(C)A．5 B．6C．7 D．8[解析]A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集個數(shù)為7，故選C．4．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，則實數(shù)m等于(C)A．2 B．－1C．2或－1 D．4[解析]∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2.5．若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合A有(D)A．3個 B．4個C．5個 D．6個[解析]集合{1,2,3}的子集共有8個，其中至少含有一個奇數(shù)的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6個．6．設A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|x>a}，若AB，則a的取值范圍是(B)A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1}C．{a|a>3} D．{a|a<－1}[解析]由AB，畫出數(shù)軸如圖可求得a≤－1，注意端點能否取得－1是正確求解的關鍵．二、填空題7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是__{(1,2)}，{(－3,4)}__.[解析]集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．8．設x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|eq\f(y,x)＝1}，則A，B的關系是__BA__.[解析]∵B＝{(x，y)|eq\f(y,x)＝1}＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴BA．三、解答題9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，試寫出A的所有子集．[解析]∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|x－5<0}，則P與Q的關系為(A)A．PQ B．QPC．P＝Q D．不確定[解析]∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，∴利用數(shù)軸判斷P、Q的關系．如圖所示，由數(shù)軸可知，PQ.2．已知集合A＝{x|1<x<2019}，B＝{x|x≤a}，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A．a(chǎn)≥2019 B．a(chǎn)>2019C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)>1[解析]∵AB，故將集合A、B分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．由圖可知，a≥2019，故選A．3．集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))，則下列結論中正確的是(B)A．1∈A B．B?AC．(1,1)?B D．?∈A[解析]B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝1,x＋4y＝5))))＝{(1,1)}，又點(1,1)在直線y＝x上，故選B．4．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定義P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，則P*Q的子集個數(shù)為(D)A．7 B．12C．32 D．64[解析]集合P*Q的元素為(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6個，故P*Q的子集個數(shù)為26＝64.二、填空題5．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝?，則實數(shù)m的取值范圍是__m≥1__.[解析]∵M＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.6．已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B?A，則m＝__0或2或－1__.[解析]由B?A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互異性知m≠1.所以m＝0或2或－1.三、解答題7．設集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且BA，求a的值．[解析]∵BA，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.(1)當a2－a＋1＝3時，解得a＝－1或a＝2.經(jīng)檢驗，符合題意．(2)當a2－a＋1＝a時，解得a＝1，此時集合A中的元素1重復，故a＝1不符合題意．綜上所述，a＝－1或a＝2.8．設集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?且B?A，求實數(shù)a、b的值．[解析]∵B中元素是關于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B?{－1,1}，∴關于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有兩個相等根的條件是Δ＝0.∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}?A＝{－1,1}，且B≠?，∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．當B＝{－1}時，Δ＝4a2－4b＝0且1＋2a＋b＝0，解得a＝－1，b＝1.當B＝{1}時，Δ＝4a2－4b＝0且1－2a＋b＝0，解得a＝b＝1.當B＝{－1,1}時，有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，解得a＝0，b＝－1.9．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．[解析]∵B?A，∴當B＝?時，a>2a－1，∴a<1，當B≠?時，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>3,a≤2a－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1<－2,a≤2a－1))，解得a>3.綜上可知實數(shù)a的取值范圍是a<1或a>3.1.1.3集合的基本運算第一課時并集和交集Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))已知一個班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判斷這個班有多少是獨生子女嗎？如果不能判斷，你能說出需哪些條件才能對這一問題做出判斷嗎？事實上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我們就知道，上面給出的條件不足以判斷這個班獨生子女的人數(shù)，為了解決這個問題，我們還必須知道“有兄弟且有姐妹的同學的人數(shù)”．應用本小節(jié)集合運算的知識，我們就能清晰地描述并解決上述問題了．Xeq\o(\s\up7(新知導學),\s\do5(inzhidaoxue))1．并集和交集的定義定義并集交集自然語言一般地，由所有屬于集合A__或__集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作__A∪B__一般地，由屬于集合A__且__屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作__A∩B__符號語言A∪B＝{x|__x∈A__，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且__x∈B__}圖形語言[知識點撥](1)簡單地說，集合A和集合B的全部(公共)元素組成的集合就是集合A與B的并(交)集；(2)當集合A，B無公共元素時，不能說A與B沒有交集，只能說它們的交集是空集；(3)在兩個集合的并集中，屬于集合A且屬于集合B的元素只顯示一次；(4)交集與并集的相同點是：由兩個集合確定一個新的集合，不同點是：生成新集合的法則不同．2．并集和交集的性質(zhì)并集交集簡單性質(zhì)A∪A＝__A__；A∪?＝__A__A∩A＝__A__；A∩?＝__?__常用結論A∪B＝B∪A；A?(A∪B)；B?(A∪B)；A∪B＝B?A?BA∩B＝B∩A；(A∩B)?A；(A∩B)?B；A∩B＝B?B?AYeq\o(\s\up7(預習自測),\s\do5(uxizice))1．(2019·全國卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝(A)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{－1,1} D．{0,1,2}[解析]∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故選A．2．(2019·江蘇宿遷市高一期末測試)設集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，則M∪N＝(D)A．{0,1,2} B．{2}C．{2,4} D．{0,1,2,4}[解析]M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．3．(2019·全國卷Ⅰ理，1)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，則M∩N＝(C)A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}[解析]N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－4<x<2}∩{x|－2<x<3}＝{x|－2<x<2}，故選C．4．(2019·江蘇，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，則A∩B＝__{1,6}__.[解析]A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，則m＝__3__.[解析]因為A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.Heq\o(\s\up7(互動探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命題方向1?并集的概念及運算典例1(1)設集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；(2)設集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|2<x≤6}，求A∪B．[思路分析]第(1)題由定義直接求解，第(2)題借助數(shù)軸求很方便．[解析](1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)畫出數(shù)軸如圖所示：∴A∪B＝{x|－3<x≤5}∪{x|2<x≤6}＝{x|－3<x≤6}．『規(guī)律方法』并集運算應注意的問題(1)對于描述法給出的集合，應先看集合的代表元素是什么，弄清是數(shù)集，還是點集……，然后將集合化簡，再按定義求解．(2)求兩個集合的并集時要注意利用集合元素的互異性這一屬性，重復的元素只能算一個．(3)對于元素個數(shù)無限的集合進行并集運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點的值能否取到．〔跟蹤練習1〕(1)(2019·江西宜豐中學高一檢測)已知集合A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|－1≤x<3}，則A∪B＝(A)A．{x|－2<x<3} B．{x|1≤x<2}C．{x|－2<x≤1} D．{x|2<x<3}(2)(2019·山東濰坊市高一期末測試)滿足條件M∪{a}＝{a，b}的集合M的個數(shù)是(C)A．4 B．3C．2 D．1[解析](1)A∪B＝{x|－2<x<2}∪{x|－1≤x<3}＝{x|－2<x<3}．(2)∵M∪{a}＝{a，b}，∴M＝或M＝{a，b}，故選C．命題方向2?交集的概念及其運算典例2(1)設集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}則M∩N＝(B)A．{－1,0,1} B．{0,1}C．{1} D．{0}(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，則集合A∩B等于(D)A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3}C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1}(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，則A∩B＝__{(1,2)}__.[思路分析](1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助數(shù)軸求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序?qū)崝?shù)對(x，y)，A、B的交集即為方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))的解集．[解析](1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故選B．(2)將集合A、B表示在數(shù)軸上，由數(shù)軸可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故選D．(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6,3x＋2y＝7))))))＝{(1,2)}．『規(guī)律方法』求集合A∩B的方法與步驟(1)步驟①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；②把所求交集的集合用集合符號表示出來，寫成“A∩B\”的形式；③把化簡后的集合A、B的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素則所求交集為?)．(2)方法①若A、B的代表元素是方程的根，則應先解方程，求出方程的根后，再求兩集合的交集；若集合的代表元素是有序數(shù)對，則A∩B是指兩個方程組成的方程組的解集，解集是點集．②若A、B是無限數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解．但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時，含有端點的值用實心點表示，不含有端點的值用空心點表示．〔跟蹤練習2〕(1)(2019·天津和平區(qū)高一期中測試)設集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，則A∩B等于(A)A．{1,3} B．{2,4}C．{2,4,5,7} D．{1,2,3,4,5,7}(2)(2019·廣州荔灣區(qū)高一期末測試)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，則集合B＝(D)A．{－3,1} B．{0,1}C．{1,5} D．{1,3}[解析](1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，∴A∩B＝{1,3}，故選A．(2)∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．命題方向3?集合交集、并集運算的性質(zhì)及應用典例3已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，則p＋q＋r＝__－14__.[思路分析]－2是不是方程x2－px－2＝0的根？怎樣確定集合B?[解析]∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，將x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}，∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}，∴q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，∴p＋q＋r＝－14.『規(guī)律方法』利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關注點(1)方法：利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等這類問題，解答時常借助于交集、并集的定義及已知集合間的關系去轉化為集合間的關系求解，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B．(2)關注點：當集合A?B時，若集合A不確定，運算時要考慮A＝?的情況，否則易漏解．〔跟蹤練習3〕已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．(1)當m＝2時，求M∩N，M∪N；(2)當M∩N＝M時，求實數(shù)m的值．[解析]由已知得M＝{2}，(1)當m＝2時，N＝{1,2}，所以M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)若M∩N＝M，則M?N，∴2∈N，所以4－6＋m＝0，m＝2.Yeq\o(\s\up7(易混易錯警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))集合運算時忽略空集致錯典例4集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范圍．[錯解]由題意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴1∈B，或者2∈B，∴a＝2或a＝1.[錯因分析]A∩B＝B?A?B．而B是二次方程的解集，它可能為空集，如果B不為空集，它可能是A的真子集，也可以等于A．[思路分析]A∩B＝B，B可能為空集，千萬不要忘記．[正解]由題意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B，當B＝?時，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；當1∈B時，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此時B＝{1}，符合題意；當2∈B時，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此時B＝{0,2}，不合題意；當1∈B且2∈B時，此時a無解．綜上所述，a≥2.Xeq\o(\s\up7(學科核心素養(yǎng)),\s\do5(uekehexinsuyang))數(shù)形結合思想的應用對于和實數(shù)集有關的集合的交集、并集等運算問題，常借助于數(shù)軸將集合語言轉化為圖形語言，或借助Venn圖，通過數(shù)形結合可直觀、形象地看出其解集．典例5已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求實數(shù)m的取值范圍．[思路分析]先將A∪B＝A等價轉化，再借助于數(shù)軸直觀表達A、B之間的關系，列出關于m的不等式組，解不等式組得到m的取值范圍．[解析]∵A∪B＝A，∴B?A．∵A＝{x|0≤x≤4}≠?，∴B＝?或B≠?.當B＝?時，有m＋1>1－m，解得m>0.當B≠?時，用數(shù)軸表示集合A和B，如圖所示，∵B?A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m,0≤m＋1,1－m≤4))，解得－1≤m≤0.檢驗知m＝－1，m＝0符合題意．綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是m>0或－1≤m≤0，即m≥－1.『規(guī)律方法』求解此類問題一定要看是否包括端點(臨界)值．集合問題大都比較抽象，解題時要盡可能借助Venn圖、數(shù)軸等工具利用數(shù)形結合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，從而使問題獲解．Keq\o(\s\up7(課堂達標驗收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．(2019·河南永城實驗中學高一期末測試)若集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，則A∪B＝(B)A．{x|1<x<2} B．{x|－1<x<3}C．{x|－1<x<2} D．{x|1<x<3}[解析]A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．2．設集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，則如圖中陰影部分表示的集合是(C)A．{2,4,6} B．{1,3,6}C．{1,2,3,4,6} D．{6}[解析]圖中陰影表示A∪B，又因為A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故選C．3．(2019·天津文，1)設集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，則(A∩C)∪B＝(D)A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}[解析]∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，故選D．4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍是__a≤1__.[解析]利用數(shù)軸畫圖解題．要使A∪B＝R，則a≤1.5．設集合A＝{a2，－3,9}，B＝{4，－3,8}，若A∩B＝{4，－3}，求實數(shù)a的值．[解析]∵A∩B＝{4，－3}，∴4∈A．∴a2＝4，a＝±2.∴實數(shù)a的值為±2.A級基礎鞏固一、選擇題1．下面四個結論：①若a∈(A∪B)，則a∈A；②若a∈(A∩B)，則a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，則a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，則A∩B＝B．其中正確的個數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]①不正確，②③④正確，故選C．2．(2019·大連市高一期末測試)設集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，則正確的是(D)A．A∩B＝{1,3,4} B．A∪B＝{2,3,4}C．{1}∈A D．1∈A[解析]A∩B＝{1,2}∩{2,3,4}＝{2}，A∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，排除A，B；∵1∈A，故選D．3．(2018·北京文，1)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，則A∩B＝(A)A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}[解析]A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，A∩B＝{x|－2<x<2}∩{－2,0,1,2}＝{0,1}．4．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，則(A∩B)∪C＝(D)A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[解析]A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故選D．5．(2019·全國卷Ⅱ理，1)設集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝(A)A．{x|x<1} B．{x|－2<x<1}C．{x|－3<x<－1} D．{x|x>3}[解析]∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故選A．6．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，則M∩N＝(D)A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝4))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))，∴M∩N＝{(3，－1)}，故選D．二、填空題7．設集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0<x≤1}，則M∪N＝__{x|0≤x≤1}__.[解析]∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．8．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，滿足A∩B＝{2}，則實數(shù)a＝__2__.[解析]∵A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，A∩B＝{2}，∴a＝2.三、解答題9．設集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求實數(shù)a的值．[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．∵a2＋1≠－3