高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (18)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（18）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知矩形ABC。，AB1,AD=V2.E為AD的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE,CE將2L4BE,4DCE翻

折，使點(diǎn)A,。重合，記為點(diǎn)P,則幾何體P-BCE的外接球表面積為（）

A警B?C.57rD.10兀

2.四面體A8C￡＞中，若△力BD和△CBD都是以BO為斜邊的等腰直角三角形，BD=2AC,且四面

體ABC力的體積為呼，則該四面體的外接球半徑為（）

?冷

AB-TC.V3D.2

3.已知棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-&B1GD1，如圖所示，P為棱A4上

一動(dòng)點(diǎn)，Q為底面ABCQ內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，線段PQ長(zhǎng)為1,記PQ中點(diǎn)

為E,則直線CE與8B］所成角正切值的最小值（）

A.2V2

B.1

C-T

D.V7

4.已知奇函數(shù)f（x）=鬻的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,若矩形ABC。的頂點(diǎn)A,B在x軸上，頂點(diǎn)C,D

在函數(shù)外乃的圖象上，則矩形ABCD繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值為（）

廠37T

A?3B.7TCTD.27r

5.如圖,棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-4遇￡。1的頂點(diǎn)A在平面a上,棱力4與平面a所成的角為60°,

點(diǎn)4在平面a上的射影為。，正方體—繞直線441旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)直線為。與8G所

成角最小時(shí)，側(cè)面在平面a上的投影面積為（）

A.2V3B.V6—V2C.y/6+V2D.2

6.某幾何體是由一個(gè)半球挖去一個(gè)圓柱形成的，其三視圖如圖所示.已葭二：.../

知半球的半徑為通，則當(dāng)此幾何體體積最小時(shí)，它的表面積等于（）/二二、、

'24兀（O）

B.（18+36）兀

C.21兀

D.（18+4V2）n-

7.已知某多面體是由兩個(gè)具有共同底面的正三棱錐組成，兩頂點(diǎn)位于底面的兩側(cè)，側(cè)面與底面所

成的角分別為a,/?,底面邊長(zhǎng)為1.該多面體的所有頂點(diǎn)都在半徑為R的球。的球面上，若a與

0的和為150。，則氏=

AJC.iD.J

在正方體ABCD-AiBiJDi中，N為底面ABCQ的中心，P為線段ARi

上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是

B.CM與PN是異面直線

C.平面PAN1平面BDD1B1

D.過(guò)P,A,C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形

9.若正方體ABCD-4B1GD1表面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足c7「（p%+無(wú)）=3而2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為

（）

A.三段圓弧B.三條線段

C.橢圓的一部分和兩段圓弧D.雙曲線的一部分和兩條線段

10.直三棱柱4BC-4B1Q外接球表面積為16兀,48=2,ZL48C與矩形力BB/i外接圓半徑分別為心，

r2,則4+七的最大值為（）

A.2V2B.3C.V10D.26

11.正四棱臺(tái)ZBCD-AiBiCiCi中，側(cè)棱441與底面ABCD所成角為a,側(cè)面44山1。與底面ABC。

所成二面角為。，側(cè)棱A&與底面4BC。的對(duì)角線所成角為y,平面CCiD］。與平面^為劣。所

成二面角為。，則a,0,y,。之間的大小關(guān)系是（）.

A.a<P<9<yB,a<y<^<9C.a</3<y<9D.（i<a<y<0

12.正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,將它沿高4。折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為百，則四面體A8CD

外接球的表面積為（）

A.67rB.7兀C.87TD.97r

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共2小題，共8.0分）

13.如圖，以等腰直角AABC的斜邊上的高AO為折痕，把△力BD和△4CD折成相互垂直的兩個(gè)平面,

下列結(jié)論正確的是（）

A.BD1AC

B./.BAC=60°

C.若4D=1,則三棱錐內(nèi)切球的半徑為上更

6

D.二面角B—4C-D的平面角的正切值為立

2

14.已知四面體ABC。中，AB=CD=5,AC=BO=V34-AD=fiC=V41.。為其外接球球心，

A。與AB,AC,AO所成的角分別為a,0,y.有下列結(jié)論：

其中所有正確結(jié)論為（）

A.該四面體的外接球的表面積為50幾，

B.該四面體的體積為10,

C.cos2a+cos2^+cos2y=1

D.^BAC+乙CAD+/.DAB=180°

三、填空題（本大題共13小題，共65.0分）

15.已知三棱錐P—4BC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，平面ABC,4aBC是邊長(zhǎng)為2的等邊

三角形，若球。的表面積為等，則直線PB與平面PAC所成角的正弦值為.

16.己知四面體ABCQ中，AB=3,AC=3,AD=5,BC=36,/-DAB=ADAC=60°,則四面

體ABCD的外接球的球面面積為.

17.仇章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉席”.如圖，在“鱉腌"A-BCD

中，AB_L平面BCQ,且BD_LCD,AB=BD=CD=1,點(diǎn)P在側(cè)棱AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PBC的面

積最小時(shí)，三棱錐P-BCO的外接球表面積為.

18.如圖，圓形紙片的圓心為0,半徑為6cm,該紙片上的正方形

ABCD的中心為。為圓。上的點(diǎn)，團(tuán)2BE,回BCF,回

CDG,I3ADH分別是以4B,BC,CD,ZZ4為底邊的等腰三角形，沿虛

線剪開后，分另！I以ASBC,CD,ZM為折痕折起回ABE,0BCF,團(tuán)

CDG.^ADH,使得E,F,G,H重合，得到一個(gè)四棱錐，當(dāng)該四棱錐

的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，該四棱錐的外接球的體積為

19.已知四面體ABCD的棱長(zhǎng)滿足AB=4C=8O=CO=2,BC=AD=1,現(xiàn)將四面體ABC。放

入一個(gè)主視圖為等邊三角形的圓錐中，使得四面體ABC。可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓錐側(cè)面

積的最小值為

20.如圖(1),在等腰直角△ABC中，斜邊4B=4,。為AB的中點(diǎn)，將△4CD沿C。折疊得到如圖(2)

所示的三棱錐C-&BD.若三棱錐C一A'BD的外接球的半徑為遮，則乙4'DB

21.在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可能有..個(gè)。

22.用一張正方形的紙把一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面

積是.

23.已知點(diǎn)P,A,B,C均在表面積為817r的球面上，其中PA1平面ABC,zBAC=30e,AC=昭AB,

則三棱錐P-ABC的體積的最大值為.

24.(1)(2/+白)6的展開式中不含x的項(xiàng)的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

(2)某電視臺(tái)夏日水上闖關(guān)節(jié)目中的前三關(guān)的過(guò)關(guān)率分別為0.8,0.7,0.6,只有通過(guò)前一關(guān)才能進(jìn)

入下一關(guān)，旦通過(guò)每關(guān)相互獨(dú)立.一選手參加該節(jié)目，則該選手只闖過(guò)前兩關(guān)的概率為

(3)設(shè)正三棱錐P-4BC的高為H,且此棱錐的內(nèi)切球的半徑R=則卷=.

(4)若曲線y=爐_存在平行于直線y=-3%+1的切線，則a的取值范圍為.

25.棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球上，則該球的表面積為.

26.三棱錐S-4BC的頂點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)的射影為P,給出下列條件：

①SA=SB=SC②SA,SB,SC兩兩垂直

③UBC=90。，SC1AB

@SC1.AB,SAIBC

一定可以判斷P為三角形ABC的垂心的有

27.在三棱錐P-ABC中，P4_L平面ABC,=120°,4P=?4B=2,M是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，線

段PM的長(zhǎng)度最小值為K，則三棱錐P-4BC的外接球的表面積為

四、解答題(本大題共3小題，共36.0分)

28.已知三棱柱4$iCi-A8C中，AB=AC=&，BC=BB1=2,點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，B"=2NA.

(1)求證：&G〃平面B例N；

(2)條件①：直線AB】與平面BBiGC所成的角為30。,

條件②：LBiBC為銳角,三棱錐當(dāng)一4BC的體積為苧.

在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題：

若平面平面BBiGC,,求平面BMN與平面BBiGC所成的銳二面角的余弦值.

(注：在橫線上填上所選條件的序號(hào)，如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.)

29.如圖，在直棱柱ABC-A'B'C'中，底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，A4'=4,M為/L4'的中點(diǎn)，P

是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC'到M的最短路線長(zhǎng)為內(nèi)，設(shè)這條最短路線與CC'

的交點(diǎn)為M求：

(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng);

(2)PC與NC的長(zhǎng);

(3)三棱錐C-MNP的體積.

30.已知正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為3和9.(1).若側(cè)棱所在直線與上、下底面的中心的連線所成的

角為45。，求棱臺(tái)的側(cè)面積；

(2).若棱臺(tái)的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求棱臺(tái)的高.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

此題考查了長(zhǎng)方體外接球問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

利用所給數(shù)據(jù)易得三線垂直，進(jìn)而利用長(zhǎng)方體外接球直徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)，得解.

由=AD=V2,E為A。中點(diǎn),

可得PE=返，PB=PC=1,

2

得4EPB=4EPC=90°,

乙CPB=90°（APBC滿足勾股定理），

???P-BCE為長(zhǎng)方體一角，

其外接球直徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)，

2R=yJPE2+PC2+PB2=--

2

：.R=叵

4

???外接球表面積為4兀R2=

故選8.

2.答案：D

解析:

本題考查組合體的結(jié)構(gòu)特征和球的半徑，是一道難題.

取斜邊BQ的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得04_LBD,0CLBD,且0C=。4=OB=0。=

^BD,四面體A8CQ的外接球的球心是。，再由條件求出四面體ABCQ的外接球的半徑.

解：取斜邊80的中點(diǎn)為。，連接OA,0C,

???△?。與4CBD是全等的等腰直角三角形，。為斜邊BD的中點(diǎn)，

???0A1BD,0C1BD,JiOC=0A=^BD,

oc=OA=OB=0D=-BD,

A2

又???OACiOC=0,

???BDAOC,ZiAOC為正三角形，

四面體ABCD的外接球的球心是0,設(shè)半徑為R,

1/I,,\4V3

^A-BCD=^B-AOC+^D-AOC=§'(萬(wàn)xRxsin60°JX2R--^―

解得R=2.

故選。.

3.答案：D

解析：

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征和球的結(jié)構(gòu)特征，異面直線所成角，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬

于綜合題.

由題意，點(diǎn)E是在以點(diǎn)A為球心，;為半徑的球面上，根據(jù)對(duì)稱性在平面ACC14上，點(diǎn)E是在以A

為圓心，g為半徑的圓上，

當(dāng)CE與圓相切時(shí)，CE與CG所成角最小，即直線CE與BN1所成角正切值最小，利用解析幾何計(jì)算

可得結(jié)論.

解：由題意，△2/!(?為直角三角形，\PQ\=1,E為線段尸。的中點(diǎn)，

則|4用號(hào)，.?.點(diǎn)E是在以點(diǎn)A為球心，沙半徑的球面上，

根據(jù)對(duì)稱性在平面力CC14上，點(diǎn)E是在以A為圓心，［為半徑的圓上，

當(dāng)CE與圓相切時(shí)，CE與CG所成角最小，即直線CE與所成角正切值最小,

如圖，以A為原點(diǎn)，AC為x軸，44］為)，軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則C(&,0),設(shè)CE的方程為丫=軟％-&)，(/c<0),

由點(diǎn)到直線的距離公式得，害I=L解得k=-亙，

VP+127

???切線CE的方程為y=—￥(x—&)，

當(dāng)x=0時(shí),y「=手,即防=|明=與,

???直線CE與BBi所成角正切值的最小值為舍=V7.

-7~

故選。.

4.答案：B

解析：

本題考查圓柱的體積公式以及利用基本不等式求最值，根據(jù)條件求出a、人的值，矩形ABC。繞x軸

旋轉(zhuǎn)而成的圓柱半徑R=|BC|,令言=R，整理得RM-2X+R=0,則右,如是方程的兩個(gè)不等

22

實(shí)根，圓柱的體積V=TIR\XC-xD\=nRx更亞=2兀RJFR，利用基本不等式求最值即可，

屬于難題.

解：因?yàn)槠婧瘮?shù)/(%)=黑圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),

所以/(0)=0//(1)=1,得到a=2,b=0,

不妨設(shè)C、。在X軸上方，如圖：

D__C

__________

AR

則矩形ABC。繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱半徑R=\BC\,

令衛(wèi)7=R,整理得R/-2X+R=0,

1+X2

則Xc，和是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，

X2

則l%c-D\=yj(,xc+XD)-4XCXD=

則圓柱的體積：

cc>/4-4R2,---------

V=nR2\x-x\=nR2x-----------=2nRy/l—R2

cDR

______2

<7l[R2+(V1—/?2)]=7T，

當(dāng)且僅當(dāng)R2=q時(shí)，等號(hào)成立.

故選反

5.答案：D

解析：

本題考查平行投影，直線與平面所成角，異面直線所成角，線面垂直的判定與性質(zhì)，正方體的結(jié)構(gòu)

特征，考查空間想象能力，屬于綜合題.

直線41。與BCi所成角最小，即直線40與AD1所成角最小，此時(shí)面4送0。1與面4。4共面時(shí)，可得

AB在平面a內(nèi)，側(cè)面力抽出在平面a上的投影為矩形,由題意，矩形的長(zhǎng)為2,寬為1,可得投影面

的面積為2.

解：如圖，直線為。與BQ所成角最小，即直線

Di

公。與4劣所成角最小，

此時(shí)面4遇與面41tM共面時(shí)，可得AB在

平面a內(nèi)，AB1]S]A1OADD1,

?-?A1B1//AB,；.〃平面a,A1B1iffi

A^OADD^,OE1^AA1OADD1,

EB

側(cè)面ZBBi力i在平面a上的投影為矩形A0E8,

由題意，AB=2,0A=1,

矩形的長(zhǎng)為2,寬為1,可得投影面的面積為2.

故選O.

6.答案：D

解析：

本題主要考查了空間幾何體的三視圖及其表面積的計(jì)算，球體的體積和面積公式，圓柱的體積和面

積公式，函數(shù)模型的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值，考查了綜合分析能力和計(jì)算能力，

屬于中檔題.

如圖，設(shè)幾何體的體積為匕挖去的圓柱的體積為匕，圓柱的高4B=x(x>0),利用球體的體積公

式和圓柱的體積公式，表示出幾何體的體積％求V的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)V在閉區(qū)間上的最

值，進(jìn)而得出幾何體體積最小時(shí)的x的值，進(jìn)而得出圓柱的底面半徑，再利用球體的表面積公式，

圓的面積公式，圓柱的表面積公式，求出該幾何體的表面積.

解：設(shè)幾何體的體積為匕挖去的圓柱的體積為匕，

???半球的半徑為遙，

所以半球的體積為：1XJ開，(4)IV/ttlT,

則幾何體的體積V4V品r-11，

如下圖，A為半球的圓心，C為圓柱上底面圓上的一點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作圓柱底面的垂線，垂足為8,

設(shè)圓柱的高ZB=x(x>0)

在RtAABC中，由勾股定理得：B(72=AC2-AB2=(?)2一％2=6一%2,

22

則V=4小笈-=4V^TT-7T-BC-AB=4V/6TT-?r(6-x)-x=TTX3—6TTN+4通產(chǎn)(工>Ui,

則I"3TTJ-2—6?r,令V'=0,解得x=&或％=—企(舍去),

當(dāng)％=魚，此幾何體體積V最小，

此時(shí)圓柱底面半徑為：BC=J(V司匚6^/

2,

則幾何體的表面積為：

：X4?r?(4-Jrx((/)■—7T-BC2+7T-BC2+27r-BC-AB

=：x4?r?(通)+7Tx(悟)+2?r-2xy/l

=12TT+6亓+4x/2;r

=(18+4班)行

故選D

7.答案：D

解析:

本題考查棱錐、球的結(jié)構(gòu)特征，考查兩角和差的正切公式應(yīng)用，屬于中檔題.

連接尸。，貝IJPQ1平面ABC,垂足為H,且球心。在PQ上，連接CH并延長(zhǎng)交AB于。，D為AB

的中點(diǎn)，連接PAQD,不設(shè)立PDH=a,乙QDH=B，可求得PH=在tana，QH=&an0，由PH+

66

QH=2R可得,tana+tan0=4舊/?,在直角三角形PA。中，tanatan￡=4,由a+夕=150°,根

據(jù)兩角和差正切即可求得R.

解：如圖所示，連接PQ,貝UPQ平面ABC,垂足為H,且球心。在尸。上，

連接CH并延長(zhǎng)交AB于。，。為AB的中點(diǎn)，連接PC,QD,不設(shè)4PDH=a,乙QDH=B.

在等邊AABC中，DH=-CD=-)

36

所以P〃=DHtana=-tana,

6

同理Q"=3匕邛.

6

由P”+QH=2R可得，理(tana+tan?)=2R,即tana+tan￡=4BR.

又因?yàn)槭?。為球。的直徑，則N/MQ=90。，

又ZH1PQ,則在直角三角形PAQ中，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得4H2=PH?QH,

即(j)2=譚)2tanatan0,所以tanatanf=4.

因?yàn)閍+0=150°,則tan(a+0)=tana+tan0_4-^3RV3，

1-tanatan0-33

所以R=；.

4

故選D

解析：

本題考查共面，面面垂直，正方體的截面等問(wèn)題，需根據(jù)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理證明判斷，難度較大.

由CN,PM交于點(diǎn)4得共面，可判斷B,利用余弦定理把CM,PN都用4&4P表示后可比較大小，證明

AN與平面BDDiBi后可得面面垂直，可判斷C,作出過(guò)P,A,C三點(diǎn)的截面后可判斷。.

解：連接PC,由正方體性質(zhì)可得共線，

而PA,AC在APAC所在的平面內(nèi)，且點(diǎn)M在直線PA上，點(diǎn)N在直線AC上，

因此CM,PN均在平面PAC上，故B錯(cuò)誤；

記ZP4C=9,則PN2=AP2+AN2-2AP-ANcosd=AP2+-AC2-AP-ACcosd,

4

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosB=AC2+-AP2-AP-ACcosd,又AP<AC,

4

CM2-PN2=^(AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故A正確；

由于正方體中，AN1BD,BBrABCD,ANu平面ABC。，

則BB1J_4N,BBiCBD=B,BB>在平面BB/i。內(nèi)

可得AN_L平面8B15。，

力Nu平面PAN,從而可得平面PAN1平面BDDiBi，故C正確；

取GA中點(diǎn)K,連接KP,KC,&G，易知PK〃4G，

又正方體中，AG//AC,：.PK"AC,PK,AC共面，PKCA就是過(guò)尸，4,C三點(diǎn)的正方體的截面,

PKC4是等腰梯形.。正確.

故選B.

9.答案：A

解析：

本題主要考查空間想象能力、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題.

解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,以。為原點(diǎn)，以D4,DC,DD、為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系，

.?_x_x_x__>—x_k_,2―>—x

則4式1,0,1),C(o,l,0),CA「(P41+PC)=(P41-PC)(P&+PC)=P41-PC2=3PC2'

T2—>

P&=4PC29

設(shè)P(%y,z),則(％—1)2+y2+(z-1)2=4%2+4(y-1)2+4,2,

化為(X+1)2+(y-+(Z+i)2=p

軌跡為以(一g±-｝為球心，以竽為半徑的球面，

該球面分別與正方體的三個(gè)表面ABC。，CGDDi，BaCG相交得三段圓弧，

所以P點(diǎn)的及為三段圓弧.

故選A.

10.答案：C

解析:

本題考查三角形的外接圓和矩形的外接圓的半徑之和的最大值的求法，考查直三棱柱、球、圓的性

質(zhì)、均值定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

推導(dǎo)出直三棱柱ABC-AiBiG外接球半徑r=2,設(shè)AB中點(diǎn)為M,△ABC,矩形的外接圓的

圓心分別為。1，02,球心為。，由。。11平面4BC與。2Ml平面ABC,得OO1MO2是矩形，從而得

22

到*+以=OrA+O2A=。1"2+AM2+02M2+AM2=5,進(jìn)而得到巳+r2<VlO.由此能求出

6+〃的最大值.

解：???直三棱柱ABC-4道傳1外接球表面積為16兀,

???直三棱柱ABC-481cl外接球半徑r=2,

設(shè)AB中點(diǎn)為M,△ABC,矩形4BB14的外接圓的圓心分別為Oi，02,球

心為O,

則由。01_L平面4BC與02M1平面ABC,得OOiM。2是矩形，

。例2_222

12+02M2=0M=A02AM=2-l=3,

...母+琢=。〃2+劣/=01M2+AM2+02M2+AM2=5,

?,乎居

???+r2<V10，

當(dāng)且僅當(dāng)%=0時(shí).，取得等號(hào),

n+萬(wàn)的最大值為舊?

故選c.

11.答案：c

解析：

本題考查了正四棱臺(tái)的性質(zhì)，空間角的定義及度量.三角函數(shù)的單調(diào)性.考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)

化、計(jì)算能力，屬于中檔題.

將正四棱臺(tái)力BCD-AiBiCi。］的側(cè)棱延長(zhǎng)交于點(diǎn)匕在正四棱錐P-ABCD,找出空間角的平面角,

考慮通過(guò)三角函數(shù)的值大小關(guān)系得出角的大小關(guān)系.

解：如圖，將正四棱臺(tái)ABC。-AiBiGDi的側(cè)棱延長(zhǎng)交于點(diǎn)匕

在正四棱錐P-4BC。，設(shè)AB=2,高U。=為AB中點(diǎn).

.,.在RtZkVOA中，tana=tanzVAO=焉=、,

在RtAlZOH中，tan。=tanzV/70===八，

HO

7T

1?10<tana<tanp,■■a<p<-,

側(cè)棱與底面4BC￡>的對(duì)角線8。所成角為y,

???BDLAC,VOJL底面ABCD,BDu底面ABCD,

???VO1BD,AC^VO=0,AC、VOu平面VAC,

BD_L平面VAC,VAu平面VAC,BDIVA,■■r=p

???a</?<y=p

過(guò)點(diǎn)C作CE1PO于E,連接EA,由于三AVDC,

???EA1VD,Z_AEC為平面CG5D與平面44也。所成二面角0.

22

ShVDA=^VDxAE=^xABxVH,即/尼+2xAE=^x2xV/1+1,AE=邛箸,

則AE2+CE2=2AE2<AC2,：.“EC為鈍角，

???a<￡Vy<8.

故選C.

12.答案：B

解析:

本題考查空間想象能力，對(duì)球模型的轉(zhuǎn)換能力，屬于較難題.

三棱錐B-4CD的三條側(cè)棱BD1AD,DC1DA,底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱

柱的外接球，求出三棱柱的底面中心與球心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的

表面積即可.

解：以ABDC為底面，AD為高構(gòu)造出一個(gè)三棱錐A-BCD所在的三棱柱，

三棱柱中，底面ABDC,BD=CD=1,BC=V3.

在三角形BCD中，由余弦定理可得BC?=BD2+CD2-2BD-CDcos^BDC,

即3=l+l-2cos^BDC,

AZ.BDC=120°,

在ABDC中，利用正弦定理求得ABDC的外接圓的半徑為乙x3-=1，

2sinl2O°

由題意可得：球心到底面的距離為絲=立，

22

???球的半徑為r=f+l=^.

\]42

外接球的表面積為：4nr2-7n

故選B.

13.答案：AB

解析：

本題考查空間中直線的位置關(guān)系，考查三棱錐的內(nèi)切球的半徑問(wèn)題及二面角的作法與運(yùn)算，屬于中

檔題.

設(shè)等腰直角三角形△4BC的腰為“，則斜邊BC=五a，再結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.

解：設(shè)等腰直角三角形AABC的腰為a,則斜邊8。=或。，

對(duì)于A項(xiàng)，?.?0為8（7的中點(diǎn)，；.4。18。，

又平面ABC_L平面4CZ）,平面AB。n平面ACD=4D,BD1AD,BDc^jgfABD,

BD1平面ADC,又ACu平面ADC,

BD1AC,故A正確；

對(duì)于8項(xiàng)，由A知，BD，平面ADC,CDu平面AOC,

???BDLCD,又BD=CD=—a,

2

BC=V2x—a=又4B=AC=a,

2

.?.△ABC是等邊三角形，故B正確；

對(duì)于C項(xiàng)，若ZD=1,則BD=CD=1,AB=AC=BC=&，

設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為r,

rr

因?yàn)?-BCD=I5AXBD-+I5ABCD'+[SAACD'R>

所以：x：xlxlxl=H：xlxl+；xlxl+；xlxl)r

323\222J

解得r=：.故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。項(xiàng)，???△AOC為等腰直角三角形，取斜邊AC的中點(diǎn)凡則DF14C,又△ABC為等邊三角形,

連接BF,則BF1AC,

而。尸=竽=號(hào),BD=—a,

222

則tanz_BFD=—==V2?故。錯(cuò)誤；

DF-

2

故選48.

14.答案:AD

解析：

本題考查了空間線面位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABC。的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)

以5,聞，同為三邊的三角形作為底面，且以分別x,?z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐.從而可

得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z的長(zhǎng)方體，并且/+y2=25,X2+Z2=34,y2+z2=41,

求出x,y,z即可.

解:

由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，

所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以5,回，風(fēng)為三邊的三角形作為底面，

且以分別x,y,z長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐

從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z的長(zhǎng)方體，

并且/+y2=25,x2+z2=34,y24-z2=41,

則有(2R)2=x2+y2+z2=50(R為球的半徑)，

對(duì)于A,球的表面積為S=4兀辟=507r.故正確.

由上可知M=x2+y2+z2-(y2+z2)=50-41=9,x=3

y2=x2+y2+z2-(x2+z2)=50—34=16,y=4,

z2=x2+y2+z2—(x2+y2)=50-25=25,x=5,

對(duì)于B,四面體ABC。體積U=xyz-4x[x|xyz=^xyz=gx3x4x5=20,故錯(cuò).

T*,萬(wàn)。J.L.A.H.

r?,|.o2.o2n.o2AB^AC^AD^25+41+34

對(duì)于C，cosa+cos^+cosylZ]^7+^7+^=32+4,+52=2,故施?

對(duì)于。，^BAC,^CAD,々MB是邊長(zhǎng)為5,用,在I的三角形的三個(gè)內(nèi)角，故正確.

故選：AD.

15.答案:在

4

解析：

本題主要考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及外接球結(jié)構(gòu)特征及其性質(zhì)的運(yùn)用，直線與平面所成角，涉及

球的表面積公式的運(yùn)用，考查了空間想象能力，屬于較難題.

根據(jù)題意，設(shè)△力BC的中心為E,連接BE交4c于點(diǎn)M,證明1平面PAC,得至UNBPA/即為直

線PB與平面PAC所成角，然后根據(jù)幾何關(guān)系求出P8,即可求解.

解：由題意，如圖，

設(shè)△力BC的中心為E,

連接BE交AC于點(diǎn)M,則M為4C的中點(diǎn)，

過(guò)球心。作。D1PA,則。為PA中點(diǎn).

vPA1?平面ABC,BMu平面ABC,

???PA1BM,

???△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

???BM1AC,

vPACtAC=A,PA,ACu平面PAC,

???BM1平面PAC,

則NBPM即為直線PB與平面PAC所成角,

???△4BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

0D=AE=—,

3

???球。的表面積S=471-0P2=等，

0P2=

3

???PA=2PD=2y/OP2-0D2=2，

易知，BMARsinGO\&,

PB=y/PA2+AB2=V4T4=2/，

故答案為生

16.答案：267r

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征，球的表面積和體積，面面垂直的性質(zhì)和直線與平面所成角，

考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.

取BC中點(diǎn)E,連接AE,利用平面幾何知識(shí)得4E平分角NB4C,且E是△ABC的外心，AE=—，

2

再利用直線與平面所成角得ND4E是AD與平面ABC所成角，再利用直線與平面所成角與直線與平

面內(nèi)任意一條直線所成角的關(guān)系得NZME=45。，在平面AOE內(nèi)，過(guò)E作直線IJ.4E,利用面面垂

直的性質(zhì)得直線11平面48C,再利用簡(jiǎn)單組合體及其結(jié)構(gòu)特征得球心。在直線/上，設(shè)OE=x,則

四面體ABC。的外接球的半徑平方R2=/+￡再利用平面幾何知識(shí)得％=a,從而得R2=￡,最

后利用球的表面積公式計(jì)算得結(jié)論.

因?yàn)锳B=3,AC=3,BC=3夜，所以NBA。=90。.

取BC中點(diǎn)E,連接AE,

則AE平分角NBAC,且E是△ABC的外心，AE=—.

2

又因?yàn)镹D4B=Z.DAC,所以AC在平面ABC內(nèi)的射影是NB4C的平分線,

即AE是AD在平面ABC內(nèi)射影，

因此ND4E是AO與平面A8C所成角，且平面4DEJL平面ABC,交于AE.

又因?yàn)?ADAC=60°,4BAE=45°,

所以COSNOAB=cosz.BAE-cos/ZME,

即COS6(T=COS45O-COS4ZME,解得coszSZME=立，因此/04E=45。.

2

因?yàn)槠矫鍭DE1平面ABC,交于AE,

所以在平面AOE內(nèi)，過(guò)E作直線/14E,則直線平面ABC,

因此球心。在直線/上.

設(shè)0E=x,則四面體ABCD的外接球的半徑平方R2=/+AE2=%2+1.

在平面4OE內(nèi)，過(guò)。作直線DH14E,交直線AE于H,

在RtZkDA"中，因?yàn)?D=5,/.DAE=45°,

所以DH=ADsm^DAE=—.AH=ADcos^DAE=-.

22

過(guò)。在平面AQE內(nèi)作直線。G〃4E,交直線?！庇贕,連接OD,

則OG=EH=AH-AE=—~—=V2,GH=OE=x,

22

2

因此R2=OD2=OG2+(DH±GH)2=(V2)2+(^±x)，

2

所以/+g=(或)2+(苧±%),解得％=近或%=-&(舍去)，

因此R2=(V2)2+|=y,球心0在如圖所示的位置(平面ABC下面)，

所以四面體ABCD的外接球的球面面積為垢x1267r.

故答案為26二.

17.答案：當(dāng)

4

解析：

本題考查三角形面積的最小值的求法，球的表面積公式，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔

題.

作P01BC于。，ONA.BD于N,連接PM推導(dǎo)出P0〃4B,ON//CD,PO1BD,設(shè)PC=x,可得

「。=苧，得PNJ2(x_?+|,當(dāng)“爭(zhēng)|JP為AC的中點(diǎn)，三角形PBD的面積的最小值,

此時(shí)三棱錐P-BCD的外接球的球心在直線P。上，求得外接球的球的半徑，即可求得結(jié)果.

解：過(guò)點(diǎn)P作P。1BC于。，ONLBD于■N,連接PN,如圖,

則P?！?IB,ON//CD,所以P。_L平面BCD,

所以POJ.B。，BDPON,所以PN1BD,

由4B=BD=CD=1可得8C=VLAC=V3,

設(shè)PC=x，由我若可得「。=爭(zhēng)

嶗吟啜可得。”等

所以PN=?P0'2+\。2=y72x2-2V3x+3

,2（%號(hào)）2+三，

2

當(dāng)△PSD的面積最小時(shí)，PN最小,此時(shí)X=當(dāng)即P為AC的中點(diǎn),

所以。也為RtZ^CD斜邊的中點(diǎn)，8。=逆=爭(zhēng)PO="B/

所以三棱錐P-BCD的外接球的球心在直線P。上，設(shè)為。I，設(shè)外接球半徑為r,

連接0/,則0避2=（r-1）2+（苧）2,

所以（一1+呼）2=八，解得r=（,

所以三棱錐P-BCD的外接球表面積S=47n=4兀x(|)2=

故答案為

4

18.答案：酗匣

27

解析：

本題主要考查三棱錐的應(yīng)用，熟悉導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法是解答本題的關(guān)鍵，屬于難題.

解：：如圖，連結(jié)0E交AB于點(diǎn)/,設(shè)E,F,G,〃重合于點(diǎn)P.

正方形的邊長(zhǎng)為x(x>0),則0/=云/E=6-；.

該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，???6=2?；,解得彳=4.

設(shè)該四棱錐的外接球的球心為Q,外接球半徑為R,則OC=2丘,OP==N=2V3,R2=

(2b-/?)2+(2近產(chǎn)，

解得R=強(qiáng)外接球的體積V=如總3=有紅.

故答案為空包

27

19.答案：y/r

4

解析：

本題主要考查四面體的外接球以及圓錐的內(nèi)切球，屬于難題，

若要四面體A8C?？梢栽趫A錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則四面體ABC。的外接球也可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)

圓錐側(cè)面積的最小時(shí)，四面體ABC。的外接球即為圓錐的內(nèi)切球，按這個(gè)思路求解即可.

解：由已知，四面體ABC。的對(duì)棱都相等，

故該四面體可以通過(guò)補(bǔ)形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖所示:

設(shè)4F=%,BF=y,CF=z,

則在2+z2=Jy2+%2=?,Jy2+/=\

□J得z—y——,:.x=

z22

四面體ABCD的外接球半徑R=4^1=迎

~24

若要四面體A8C?？梢栽趫A錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則四面體ABCD的外接球也可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)

圓錐側(cè)面積的最小時(shí).，四面體A8C。的外接球即為圓錐的內(nèi)切球，如圖，設(shè)圓錐的高為/?,底面半

徑為r，

計(jì)算可得”熱，又圓錐主視圖為等邊三角形，??=四，

聯(lián)立可得r=y/3R=^h=V3r=

44

“346、后

???圓錐側(cè)面積的最小值為一1―jF27,

--------------------------=—7T

24

故答案為?7T.

4

20.答案：'二)7：T

解析:

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征及其外接球問(wèn)題，屬于較難題目.

根據(jù)題意得出三角形ABC的外接圓半徑，設(shè)NA'DB=23,利用正弦定理及外接球的半徑得出r,求

出cos。即可得出.

解：設(shè)的外接圓半徑為r,4Ao8=28,其中06(0,技.

取AB的中點(diǎn)E,A'D=DB,：.DE1A'BSL/.A'DE=^A'DB=9,

AfE=2sm01/.AfB2A/Ekin。；

在△AB。中，由正弦定理易得匕

tinZ.AfDBsin20

由題意知Ji+八=炳.

解得cose=i,所以乙4/DB=29=

27r

故答案為.

21.答案:4

解析：

本題考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征.

解：三棱錐的四個(gè)面中，可以四個(gè)面全是直角三角形.

故答案為4.

22.答案：8

解析:

本題考查空間幾何體的表面積計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力和計(jì)算能力，有一定難度；5個(gè)邊長(zhǎng)為1

的正方形組成十字形，并在四端加上四個(gè)斜邊為1的等腰直角三角形，就可以包住棱長(zhǎng)為1的正方

體.

解：把5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成十字形，并在四端加上四個(gè)斜邊為1的等腰直角三角形，就可以

包住棱長(zhǎng)為1的正方體，而這個(gè)形狀可以用邊長(zhǎng)為2金的正方形來(lái)覆蓋，此正方形的面積為8,所以

按題中要求所需包裝紙的最小面積為8.

故答案為8.

23.答案：?

O

解析：

本題主要考查棱錐的外接球，棱錐的體積計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)法求最值等問(wèn)題.屬于較難題.

先求出球的半徑，設(shè)=PA=y,由余弦定理求得BC,從而得到/+廿=%，再建立三棱錐

44

P-ABC的體積關(guān)于)，的函數(shù)關(guān)系式，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求最值，即可得到答案.

解：設(shè)球的半徑為R,

由4兀/?2=81TI■可得球的半徑為R=

設(shè)AB=x,PA-y,則4C=bx，

由余弦定理可得EC?=AB2+AC2-2AB-ACcosAC=x2,所以BC=%.

將三棱錐P-力BC補(bǔ)成一個(gè)以△ABC外接圓面為底面，PA為高的圓柱，

則有R2=r2+g)2,其中「是△ABC外接圓的半徑，2r=一與/=2加

sinz.BAC

即丁=%,h=PA=y,所以/+匕=巴.

44

三棱錐P—4BC的體積為

11V3,

Vv3x-sin30°?y=—x2y

=*6一?方=*(一y+80)，

V'=*(-3y2+81),

由U'>0可得0<丫<38，函數(shù)單調(diào)遞增，

由,<0可得y>3g,函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)y=3VW,丫有最大值八泉

故答案為2.

O

24.答案：(1)60；

(2)0.224；

⑶條

(4)(-8,-3]U(3,+8)

解析:

(1)

本題考查二項(xiàng)式展開式特定項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

利用通項(xiàng)公式求解即可.

6123rr

解：(2/+9)6的展開式的通項(xiàng)公式為：味.26-rx2(6-r).x-ry-r=禺?2^?X-y-,

若為不含X