2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準復(fù)習(xí) 空間向量與立體幾何

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準復(fù)習(xí)空間向量與立體幾何01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時目標】能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平

面的夾角的計算問題；了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.【考情概述】空間向量的應(yīng)用是新高考中考查的重點內(nèi)容之一，常以

多選題或解答題的形式進行考查，屬于高頻考點.

知識梳理1.異面直線所成的角設(shè)

u

，

v

分別是兩異面直線

l

1，

l

2的方向向量，則

l

1與

l

2所成的角為θ

u

與

v

的夾角為＜

u

，

v

＞范圍（0，π）求法

（0，π）

cos

＜

u

，

v

＞＝

2.直線與平面所成的角設(shè)直線

l

的方向向量為

u

，平面α的法向量為

n

，直線

l

與平面α所成的角

為θ，

u

與

n

的夾角為＜

u

，

n

＞，則

sin

θ＝｜

cos

＜

u

，

n

＞｜

＝

.

3.二面角（1）

如圖①，

AB

，

CD

分別是二面角α－

l

－β的兩個半平面內(nèi)與棱

l

垂

直的直線，則二面角的平面角θ＝

?.（2）

如圖②③，

n

1，

n

2分別是二面角α－

l

－β的兩個半平面α，β的法

向量，則二面角的平面角θ滿足｜

cos

θ｜＝｜

cos

＜

n

1，

n

2＞｜，二面

角的平面角是向量

n

1與

n

2的夾角或

?.

其補角

???√

A.30°B.60°C.120°D.150°3.（RA選一P39例10改編）過正方形

ABCD

的頂點

A

作線段

PA

⊥平面

ABCD

.

若

PA

＝

AB

，則平面

ABP

與平面

CDP

所成角的大小為（

B

）A.30°B.45°C.60°D.90°AB4.（多選）（RA選一P39例10改編）已知

E

，

F

分別是正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱

BC

和

CD

的中點，則下列結(jié)論正確的是（

AD

）A.

A

1

D

與

B

1

D

1是異面直線B.

A

1

D

與

EF

所成角的大小為45°AD5.（RA選一P38練習(xí)第4題改編）《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角

三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑

A

－

BCD

中，

AB

⊥平面

BCD

，

BC

⊥

CD

，且

AB

＝

BC

＝

CD

，

M

為

AD

的中點，則異面直線

BM

與

CD

所成

角的余弦值為

?.

考點一

利用空間向量求異面直線所成的角例1如圖，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AA

1⊥底面

ABC

，

AB

＝

BC

＝

AA

1，∠

ABC

＝90°，

E

，

F

分別是棱

AB

，

BB

1的中點，試求直線

EF

與

BC

1所成角的大小.

1.正多面體也稱為柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面

都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)

家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正

八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，一個正八面體

ABCDEF

的棱

長為2，

M

，

N

分別為棱

AD

，

AC

的中點，則直線

BN

和

FM

夾角的余弦

值為（

D

）D[對點訓(xùn)練]考點二

利用空間向量求直線與平面所成的角例2如圖，四棱錐

P

－

ABCD

的底面為正方形，

PD

⊥平面

ABCD

.

設(shè)平

面

PAD

與平面

PBC

的交線為

l

.（1）

求證：

l

⊥平面

PDC

；解：（1）

證明：因為四邊形

ABCD

是正方形，所以

AD

∥

BC

.

因為

AD

?平面

PBC

，

BC

?平面

PBC

，所

以

AD

∥平面

PBC

.

又因為

AD

?平面

PAD

，平面

PAD

∩平面

PBC

＝

l

，所以

AD

∥

l

.因為在四棱錐

P

－

ABCD

中，底面

ABCD

是正方形，所以

AD

⊥

DC

.

所以

l

⊥

DC

.

因為

PD

⊥平面

ABCD

，

AD

?平面

ABCD

，

所以

AD

⊥

PD

.

所以

l

⊥

PD

.

因為

DC

∩

PD

＝

D

，

DC

?平面

PDC

，

PD

?平面

PDC

，所以

l

⊥平面

PDC

.

（2）

若

PD

＝

AD

＝1，

Q

為

l

上的點，求

PB

與平面

QCD

所成角的正弦

值的最大值.

總結(jié)提煉

利用向量法求線面角的方法（1）

分別求出斜線及其在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求

兩個方向向量的夾角（或其補角）.（2）

通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向

量所夾的銳角（或直角）或鈍角的補角，取其余角就是斜線與平面所

成的角.2.在長方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

AD

＝2，

AA

1＝1，

O

是

AC

的中點，點

P

在線段

A

1

C

1上.設(shè)直線

OP

與平面

ACD

1所成的角為θ，則

cos

θ的取值范圍是（

D

）D[對點訓(xùn)練]考點三

利用空間向量求平面與平面所成的角例3如圖，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，側(cè)面

AA

1

C

1

C

⊥底面

ABC

，

側(cè)面

AA

1

C

1

C

是菱形，∠

A

1

AC

＝60°，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

＝2.（1）

若

D

為

A

1

C

的中點，求證：

AD

⊥

A

1

B

；解：（1）

證明：因為側(cè)面

AA

1

C

1

C

是菱形，所以

AA

1＝

AC

.

因為

D

為

A

1

C

的中點，所以

AD

⊥

A

1

C

.

因為

側(cè)面

AA

1

C

1

C

⊥底面

ABC

，側(cè)面

AA

1

C

1

C

∩底面

ABC

＝

AC

，

AC

⊥

BC

，

BC

?底面

ABC

，所以

BC

⊥側(cè)面

AA

1

C

1

C

.

因為

AD

?側(cè)面

AA

1

C

1

C

，所以

BC

⊥

AD

.

因為

A

1

C

∩

BC

＝

C

，

A

1

C

，

BC

?平面

A

1

BC

，所以

AD

⊥平面

A

1

BC

.

又

A

1

B

?平面

A

1

BC

，所以

AD

⊥

A

1

B

.

（2）

求二面角

A

－

A

1

C

－

B

1的正弦值.解：（2）

如圖，取

A

1

C

1的中點

E

，連接

CE

，則

CE

⊥

A

1

C

1.因為

A

1

C

1∥

AC

，所以

CE

⊥

AC

.

因為側(cè)面

AA

1

C

1

C

⊥底面

ABC

，側(cè)面

AA

1

C

1

C

∩底面

ABC

＝

AC

，

CE

?側(cè)面

AA

1

C

1

C

，所以

CE

⊥底面

ABC

.

總結(jié)提煉

1.求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個半平面所在平面

的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但

要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.2.利用向量法求二面角的大小的關(guān)鍵是確定平面的法向量，求法向量

的方法主要有兩種：（1）

求平面的垂線的方向向量.（2）

利用法向

量與平面內(nèi)兩個不共線向量的數(shù)量積為零，列方程組求解.

[對點訓(xùn)練]

因為

AG

∩

FG

＝

G

，

AG

?平面

AFG

，

FG

?平面

AFG

，所以平面

AFG

∥平面

PCE

.

因為

AF

?平面

AFG

，所以

AF

∥平面

PCE

.

（2）

若PD⊥平面ABCD，E為AB的中點，PD＝AD＝CD，∠BAD

＝60°，求二面角P－CE－F的正切值.

考點四

利用空間向量求解探索性問題

（1）

求證：

A

1

D

⊥平面

BCED

.

所以∠

A

1

DB

為二面角

A

1－

DE

－

B

的平面角.又二面角

A

1－

DE

－

B

為

直二面角，所以∠

A

1

DB

＝90°，即

A

1

D

⊥

DB

.

又

DE

∩

DB

＝

D

，

DE

，

DB

?平面

BCED

，所以

A

1

D

⊥平面

BCED

.

解：（2）

存在.由（1）知，

DA

1，

DB

，

DE

兩兩垂直.以

D

為原點，

DB

，

DE

，

DA

1所在直線分別為

x

軸、

y

軸、

z

軸，建立如圖②所示的

空間直角坐標系，過點

P

作

PH

∥

DE

交

BD

于點

H

.

（2）

在線段

BC

上是否存在一點

P

，使直線

PA

1與平面

A

1

BD

所成的角

為60°？若存在，求出

PB

的長；若不存在，請說明理由.

[對點訓(xùn)練]

（1）

求證：平面

ABE

⊥平面

ABC

.

又

AC

⊥

BC

，

BC

∩

CD

＝

C

，

BC

?平面

BCD

，

CD

?平面

BCD

，所

以

AC

⊥平面

BCD

.

因為

AC

?平面

ABC

，所以平面

ABC

⊥平面

BCD

.

因為

BD

＝

CD

，

O

是

BC

的中點，所以

DO

⊥

BC

.

又

DO

?平面

BCD

，

平面

BCD

∩平面

ABC

＝

BC

，所以

DO

⊥平面

ABC

.

因為

OH

∥

AC

，

AC

⊥

BC

，所以

OH

⊥

BC