第07講 模型構(gòu)建專題：中點(diǎn)模型之斜邊中線、中點(diǎn)四邊形（解析版）-2024年九年級數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第07講模型構(gòu)建專題：中點(diǎn)模型之斜邊中線、中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，主要是結(jié)合三角形、四邊形、圓的運(yùn)用，在各類考試中都會出現(xiàn)中點(diǎn)問題，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點(diǎn)模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義.常見的中點(diǎn)模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點(diǎn)”構(gòu)造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④中位線模型；⑤直角三角形斜邊中點(diǎn)模型；⑥中點(diǎn)四邊形模型.本專題就中點(diǎn)模型的后兩類模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握.模型1：直角三角形斜邊中線模型定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：（1）；（2），為等腰三角形；（3），．圖1圖2拓展：如圖2，在由兩個(gè)直角三角形組成的圖中，M為中點(diǎn)，則（1）；（2）．模型運(yùn)用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點(diǎn)時(shí)）模型2：中點(diǎn)四邊形模型中點(diǎn)四邊形：依次連接四邊形四邊中點(diǎn)連線的四邊形得到中點(diǎn)四邊形.中點(diǎn)四邊形是中點(diǎn)模型中比較經(jīng)典的應(yīng)用.中點(diǎn)四邊形不僅結(jié)合了常見的特殊四邊形的性質(zhì)，而且還會涉及中位線這一重要知識點(diǎn)，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊.結(jié)論1：順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．如圖1，已知點(diǎn)M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，則四邊形MNPQ為平行四邊形.圖1圖2圖3圖4結(jié)論2：順次連結(jié)對角線互相垂直四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）如圖2，已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形.結(jié)論3：順次連結(jié)對角線相等四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）如圖3，已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形.結(jié)論4：順次連結(jié)對角線相等且垂直的四邊形各邊中點(diǎn)組成的四邊形是正方形．如圖4，已知點(diǎn)M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形.推廣與應(yīng)用1）中點(diǎn)四邊形的周長：中點(diǎn)四邊形的周長等于原四邊形對角線之和.2）中點(diǎn)四邊形的面積：中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的.【題型一利用斜邊的中線等于斜邊的一半求角度】例1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在中，，大于長為半徑畫弧，直線與相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，與相交于點(diǎn)F，若，則的度數(shù)是．【答案】/106度【分析】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．連接，如圖，利用基本作圖得到E點(diǎn)為的中點(diǎn)，則根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得到，則，再證明得到，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算出，接著計(jì)算出．【詳解】解：連接，，由作法得垂直平分，∴E點(diǎn)為的中點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【變式1-1】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，是斜邊上的中線，度，則度．【答案】70【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形的性質(zhì)．在中，根據(jù)是斜邊上的中線，得，可求出即可解決問題．【詳解】解：在中，是斜邊上的中線，，，，故答案為：70．【變式1-2】（23-24八年級下·山東德州·期中）如圖，在和中，，為的中點(diǎn)，連接，，若，則．【答案】/40度【分析】本題考查斜邊上的中線，等邊對等角，三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，連接，根據(jù)斜邊上的中線的性質(zhì)，得到，根據(jù)三角形的外角得到，再根據(jù)等邊對等角，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，即：∵，∴．故答案為：．【變式1-3】（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在四邊形中，平分，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，則的度數(shù)為（用含的式子表示）．【答案】【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、等邊對等角，求出，結(jié)合角平分線的定義得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，由等邊對等角得出，推出，由三角形中位線定理得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，為的中點(diǎn)，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故答案為：．【題型二利用斜邊的中線等于斜邊的一半求線段長】例2.（23-24八年級下·北京·期中）如圖，公路，互相垂直，公路的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得的長為，則．

【答案】【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，由，得出，由點(diǎn)M為的中點(diǎn)可得出，即可求出．【詳解】解：∵，∴∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，且，∴，故答案為：．【變式2-1】（23-24八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖，在中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，且．若，，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，根據(jù)，分別為，的中點(diǎn)，可得是的中位線，根據(jù)，可得是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，由此即可求解．【詳解】解：∵，分別為，的中點(diǎn)，，∴，∵，∴是直角三角形，∵是的中點(diǎn)，∴是的中線，且，∴，∴，故答案為：．【變式2-2】（2024·陜西榆林·二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，連接的延長線交于點(diǎn)，若，則的長為．【答案】3【分析】延長，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，結(jié)合矩形性質(zhì)，利用兩個(gè)三角形全等的判定得到，從而得到，進(jìn)而由矩形性質(zhì)得到，再由等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，再由直角三角形的判定確定，最后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到答案．【詳解】解：延長，交于點(diǎn)，連接，如圖所示：在矩形中，，則，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，，，在矩形中，，則，，，，，，，則，，在中，，即，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，是斜邊上的中線，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求線段長，涉及矩形性質(zhì)、兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)、中點(diǎn)定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，讀懂題意，利用倍長中線準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)與判定求證是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，，矩形的頂點(diǎn)A、B分別在邊、上，當(dāng)B在邊上運(yùn)動時(shí)，A隨之在上運(yùn)動，矩形的形狀保持不變，其中，．運(yùn)動過程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是．【答案】【分析】取線段的中點(diǎn)E，連接，根據(jù)直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可．本題考查了斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，矩形的性質(zhì)，三角形不等式，熟練掌握三角形不等式，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：取線段的中點(diǎn)E，連接，∵，矩形，，，∴，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)O共線時(shí)，的長度最大．∴點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離，故答案為：．【題型三利用斜邊的中線等于斜邊的一半證明】例3.（2024·北京·三模）如圖，矩形，過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作于F，G為中點(diǎn)，連接．(1)求證：．(2)若，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）因?yàn)槭蔷匦?，所以，結(jié)合，證明四邊形是平行四邊形，即可作答．（2）根據(jù)勾股定理得出，結(jié)合直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，進(jìn)行作答即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴；（2）解：∵，四邊形是矩形，∴∵，G為中點(diǎn)，∴【變式3-1】（23-24八年級下·湖北荊門·期中）如圖，在菱形中，對角線，交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)E，延長到點(diǎn)F，使，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得且，等量代換得到，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定定理即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可得，，，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得，由勾股定理可得，計(jì)算出的長，最后再由勾股定理計(jì)算出的長即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，且，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24八年級下·河北保定·期中）如圖，在四邊形中，對角線，交于點(diǎn)，且，．(1)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是什么特殊四邊形？并說明理由；(3)在（2）的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，求的長．【答案】(1)，(2)四邊形為菱形，見解析(3)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定與性質(zhì)以及直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識；（1）根據(jù)題意得出四邊形為平行四邊形，即可求解；（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可得證；（3）根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】（1）解：，，四邊形為平行四邊形．∴，∴與的數(shù)量關(guān)系為：，與的位置關(guān)系為：；（2）四邊形為菱形；理由如下：，，四邊形為平行四邊形．又，四邊形為菱形；（3）由（2）知四邊形是菱形，，．，．在中，，在中，．，為的中點(diǎn)，在中．【變式3-3】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)K，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)U，G為的中點(diǎn)，連接，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合可得，最后根據(jù)已知條件及等量代換即可解答；（2）先證明可得，進(jìn)而得到，最后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可解答；（3）如圖：過作交延長線于M，易得；設(shè)，，則，；在中運(yùn)用勾股定理可得，再結(jié)合（1）中可得，然后運(yùn)用勾股定理列方程求得x的值，最后代入求得y的值即可．【詳解】（1）解：∵，G為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴,即，∴．（2）解：∵，∴,∵，，∴，∴,∴,∵，∴．（3）解：如圖：過作交延長線于M，∵，∴，∴,設(shè)，，則，∵，∴由（1）可知，∴，∴,∵，∴,，∴，∴，解得：，∵，∴，解得：，∴．【題型四中點(diǎn)四邊形中的規(guī)律探究問題】例4.（23-24八年級下·山東德州·期中）如圖，在菱形中，邊長為1，．順次連接菱形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，可得四邊形；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去．四邊形的面積是．【答案】/【分析】本題考查了菱形以及中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)，找到中點(diǎn)四邊形的面積與原四邊形的面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，依次求出四邊形的面積，得出規(guī)律，即可解答．【詳解】解：菱形，，，為等邊三角形，，等邊的高為，，順次連接菱形各邊中點(diǎn)，可得四邊形，四邊形為矩形，,同理可得，，……．故答案為：．【變式4-1】（23-24八年級下·廣東惠州·期中）如圖，順次連接矩形四邊的中點(diǎn)得到四邊形，再順次連接四邊形四邊的中點(diǎn)得四邊形，…，按此規(guī)律得到四邊形，若矩形的面積為15，那么四邊形的面積為．

【答案】【分析】設(shè)四邊形的面積為，矩形的長為x，寬為y，根據(jù)題意，，，，確定規(guī)律為，代入計(jì)算即可，本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，規(guī)律探索，熟練掌握規(guī)律探索，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)四邊形的面積為，矩形的長為x，寬為y，根據(jù)題意，得，，，故，故答案為：．【題型五與中點(diǎn)四邊形有關(guān)的證明問題】例5.（23-24八年級下·廣西玉林·期中）已知：如圖1，四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接、，得到四邊形（即四邊形的中點(diǎn)四邊形）．(1)四邊形的形狀是__________，證明你的結(jié)論．(2)如圖2，請連接四邊形的對角線與，當(dāng)與滿足__________條件時(shí)，四邊形是正方形，證明你的結(jié)論．【答案】(1)平行四邊形，證明見解析(2)互相垂直且相等（且），證明見解析【分析】本題考查了中位線，平行四邊形的判定，正方形的判定．熟練掌握中位線，平行四邊形的判定，正方形的判定是解題的關(guān)鍵．（1）如圖1，連接，由點(diǎn)E、H分別是中點(diǎn)，可得，，同理，，，則，，進(jìn)而可證四邊形是平行四邊形；（2）如圖2，連結(jié)，同理（1）可知，四邊形是平行四邊形，由，可得，證明平行四邊形是矩形，由，可得，進(jìn)而可證四邊形是正方形．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，證明如下；如圖1，連接，點(diǎn)E、H分別是中點(diǎn)，∴，，同理，，，∴，，四邊形是平行四邊形；（2）解：互相垂直且相等（且），證明如下；如圖2，連結(jié)，同理（1）可知，四邊形是平行四邊形，∵，∴，平行四邊形是矩形，∵，∴，∴四邊形是正方形．【變式5-1】（23-24八年級下·江蘇常州·期中）定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”，如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，那么我們把原四邊形叫做“中方四邊形”．(1)下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是________；A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形(2)如圖1，以銳角的兩邊為邊長，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連結(jié)，求證：四邊形是“中方四邊形”；(3)如圖2，四邊形是“中方四邊形”，若的值為32，則的最小值是________．（不需要解答過程）【答案】(1)D(2)見解析(3)4【分析】（1）根據(jù)定義“中方四邊形”，即可得出答案；（2）如圖，取四邊形各邊中點(diǎn)分別為P、Q、R、L并順次連接成四邊形，連接交于P，連接交于K，利用三角形中位線定理可證得四邊形是平行四邊形，再證得，推出四邊形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可證得結(jié)論；（3）如圖，分別作的中點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N，并順次連接，連接交于O，連接，可得四邊形是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可得，根據(jù)題意得：當(dāng)點(diǎn)O在上（即M、O、N共線）時(shí)，最小，最小值為的長，再結(jié)合（2）的結(jié)論即可求得答案．【詳解】（1）解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，理由如下：因?yàn)檎叫蔚膶蔷€相等且互相垂直，故選：D；（2）證明：如圖，取四邊形各邊中點(diǎn)分別為P、Q、R、L并順次連接成四邊形，連接交于P，連接交于K，∵四邊形各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L，∴分別是的中位線，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，又∵∠，∴，即，在和中，∵，∴，∴，又∵，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴．又∵，∴，∴，又∵，∴，∴菱形是正方形，即原四邊形是“中方四邊形”；（3）解：如圖，分別作的中點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N，并順次連接，連接交于O，連接，∵四邊形是“中方四邊形”，M，N分別是的中點(diǎn)，∴四邊形是正方形，∴，∴，∵M(jìn)，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∵的值為32，∴，根據(jù)題意得：當(dāng)點(diǎn)O在上（即M、O、N共線）時(shí)，最小，最小值為的長，∴，由（2）知：，又∵M(jìn)，N分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，理解“中方四邊形”的定義并運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（21-22八年級下·浙江寧波·期末）定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論；問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．【答案】概念理解：D；性質(zhì)探究：①，②；問題解決：見解析；拓展應(yīng)用：（1），理由見解析；（2）【分析】概念理解：根據(jù)定義“中方四邊形”，即可得出答案；性質(zhì)探究：由四邊形ABCD是“中方四邊形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理即可得出答案；問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為P、Q、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，利用三角形中位線定理可證得四邊形MNRL是平行四邊形，再證得△EAC≌△BAG（SAS），推出?MNRL是菱形，再由∠LMN=90°，可得菱形MNRL是正方形，即可證得結(jié)論；拓展應(yīng)用：（1）如圖3，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，可得四邊形ENFM是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）如圖4，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，連接BD交AC于O，連接OM、ON，當(dāng)點(diǎn)O在MN上（即M、O、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可求得答案．【詳解】解：概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，理由如下：因?yàn)檎叫蔚膶蔷€相等且互相垂直，故選：D；性質(zhì)探究：①AC=BD，②AC⊥BD；理由如下：如圖1，∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，∴EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴∠FEH=90°，EF=EH，EHBD，EH=BD，EF∥AC，EF=AC，∴AC⊥BD，AC=BD，故答案為：AC⊥BD，AC=BD；問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，∵四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L，∴MN、NR、RL、LM分別是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位線，∴MNBG，MN=BG，RLBG，RL=BG，RNCE，RN=CE，MLCE，ML=CE，∴MNRL，MN=RL，RNMLCE，RN=ML，∴四邊形MNRL是平行四邊形，∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，又∵∠BAC=∠BAC，∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAG，在△EAC和△BAG中，，∴△EAC≌△BAG（SAS），∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，又∵RL=BG，RN=CE，∴RL=RN，∴?MNRL是菱形，∵∠EAB=90°，∴∠AEP+∠APE=90°．又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，∴∠ABG+∠BPK=90°，∴∠BKP=90°，又∵M(jìn)NBG，MLCE，∴∠LMN=90°，∴菱形MNRL是正方形，即原四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應(yīng)用：（1）MN=AC，理由如下：如圖3，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴四邊形ENFM是正方形，∴FM=FN，∠MFN=90°，∴MN===FM，∵M(jìn)，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴FM=AC，∴MN=AC；（2）如圖4，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，連接BD交AC于O，連接OM、ON，當(dāng)點(diǎn)O在MN上（即M、O、N共線）時(shí)，OM+ON最小，最小值為MN的長，∴2（OM+ON）2MN，由性質(zhì)探究②知：AC⊥BD，又∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AB=2OM，CD=2ON，∴2（OM+ON）=AB+CD，∴AB+CD2MN，由拓展應(yīng)用（1）知：MN=AC；又∵AC=2，∴MN=，∴AB+CD的最小值為2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，理解“中方四邊形”的定義并運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）定義：對于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．【概念理解】：（1）下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是______．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【性質(zhì)探究】：（2）如圖1，四邊形是“中方四邊形”，觀察圖形，直接寫出四邊形的對角線，的關(guān)系；【問題解決】：（3）如圖2．以銳角的兩邊，為邊長，分別向外側(cè)作正方形和正方形，連接，，．求證：四邊形是“中方四邊形”；【拓展應(yīng)用】：如圖3，已知四邊形是“中方四邊形”，M，N分別是，的中點(diǎn)．（4）試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（5）若，求的最小值．

【答案】（1）D；（2），；（3）證明見解析；（4），理由見解析；（5）的最小值為．【分析】（1）由正方形對角線相等且互相垂直可得答案；（2）由中位線的性質(zhì)可得：，，，，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）如圖，取四邊形各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L并順次連接成四邊形，連接交于P，連接交于K，利用三角形中位線定理可證得四邊形是平行四邊形，再證得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可證得結(jié)論；（4）如圖，記、的中點(diǎn)分別為E、F，可得四邊形是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)與三角形的中位線的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（5）如圖，記、的中點(diǎn)分別為E、F，連接交于O，連接、，當(dāng)點(diǎn)O在上（即M、O、N共線）時(shí)，最小，最小值為的長，再結(jié)合（1）（4）的結(jié)論即可求得答案．【詳解】解：（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，理由如下：因?yàn)檎叫蔚膶蔷€相等且互相垂直，所以其中點(diǎn)四邊形是正方形；（2），．理由如下：∵四邊形是“中方四邊形”，∴四邊形是正方形，∴，，∵E，F(xiàn)，G，H分別是，，，的中點(diǎn)，∴，，，，∴，．（3）如圖，設(shè)四邊形的邊的中點(diǎn)分別為M、N、R、L，連接交于P，連接交于K，

∵四邊形各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L，∴、，，分別是、、、的中位線，∴，，，，，，，，∴，，，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，∴，∴，，又∵，，∴，∴平行四邊形是菱形，∵，∴．又∵，，∴，∴，又∵，，∴．∴菱形是正方形，即原四邊形是“中方四邊形”．（4）如圖，記、的中點(diǎn)分別為E、F，

∵四邊形是“中方四邊形”，M，N分別是，的中點(diǎn)，∴四邊形是正方形，∴，，∴，∵M(jìn)，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，∴，∴；（5）如圖，連接交于O，連接、，

當(dāng)點(diǎn)O在上（即M、O、N共線）時(shí)，最小，最小值為的長，∴的最小值，由性質(zhì)探究（1）知：，又∵M(jìn)，N分別是，的中點(diǎn)，∴，，∴，∴的最小值，由拓展應(yīng)用（4）知：；又∵，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識，理解“中方四邊形”的定義并運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）一技術(shù)人員用刻度尺（單位，）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)對應(yīng)的刻度為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計(jì)算出的長，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【詳解】解：∵點(diǎn)對應(yīng)的刻度為，∴，∵，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴，故選：B．2．（2024·湖南岳陽·二模）如圖，一塊直角三角板的角的頂點(diǎn)A與直角頂點(diǎn)C分別在兩平行線上，若斜邊與直線交于的中點(diǎn)E，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，則由平行線的性質(zhì)可得．【詳解】解：∵斜邊與直線交于的中點(diǎn)E，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，故選：A．3．（2024八年級下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)．請你添加一個(gè)條件，使四邊形為矩形，應(yīng)添加的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用三角形中位線定理證明四邊形為平行四邊形，然后添加每個(gè)選項(xiàng)的條件，根據(jù)矩形的判定定理判定即可．【詳解】解：應(yīng)添加的條件是，理由為：證明：、、、分別為、、、的中點(diǎn)，，，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，A、添加的條件是時(shí)，四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、添加的條件是，則，所以四邊形為矩形，故此選項(xiàng)符合題意；C、添加的條件是，四邊形為平行四邊形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、添加的條件是，、、、分別為、、、的中點(diǎn)，且，，，，，，則四邊形為菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了中點(diǎn)四邊形，以及平行四邊形、矩形、菱形的判定，三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解本題的關(guān)鍵．4．（2024·浙江紹興·二模）如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，是邊的中點(diǎn)，連接，若，菱形的面積96，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，先由菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，可計(jì)算出的長度，根據(jù)勾股定理即可求得的長，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出答案．【詳解】解：四邊形是菱形，∴，∵，菱形的面積為96，∴，解得，則，∵，是邊的中點(diǎn)，∴，∴，故選：D．5．（23-24八年級下·北京海淀·期中）如圖，點(diǎn)A，B，C為平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)．點(diǎn)為平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，線段，，，的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，有下列結(jié)論：①存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是菱形；③存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是矩形；④存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是正方形．其中，所有正確的有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)：一般中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形，對角線垂直的中點(diǎn)四邊形是矩形，對角線相等且垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形，由此即可判斷．【詳解】①與不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，所以①正確；②與相等且不平行時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形，故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是菱形，所以②正確；③與互相垂直（B，D不重合）時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形，故存在無數(shù)個(gè)中點(diǎn)四邊形是矩形，所以③正確；④如圖所示，當(dāng)與相等且互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形，故存在兩個(gè)中點(diǎn)四邊形是正方形，所以④錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)四邊形，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．二、填空題6．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，在中，是BC的中點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊中線定義斜邊一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可得答案．【詳解】解：∵，是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．故答案為：7．（23-24八年級下·湖北黃石·期中）如圖，四邊形是菱形，，對角線，相交于點(diǎn)，于，連接，則度．【答案】【分析】根據(jù)菱形對角線相互垂直平分，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半判定，利用直角三角形兩銳角互余及等腰三角形等邊對等角數(shù)形結(jié)合求角度即可得到答案．【詳解】解：四邊形是菱形，對角線，相交于點(diǎn)，，且，，，，在中，，則，在菱形中，，，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形中求角度，涉及菱性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等知識，熟練掌握菱形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合表示出角度之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．8．（23-24八年級下·福建福州·期中）如圖，在中，，是高，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（用含α的式子表示）．

【答案】【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，∵是高，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．9．（23-24八年級下·廣東河源·期中）如圖，四邊形的兩條對角線、互相垂直，將四邊形各邊中點(diǎn)依次相連，得到四邊形，若四邊形的面積為15，則四邊形的面積為．【答案】30【分析】根據(jù)三角形的中位線定理證明四邊形是矩形，從而根據(jù)矩形的面積和三角形的每件公式進(jìn)行計(jì)算．此題主要考查中點(diǎn)四邊形和三角形的面積，注意三角形中位線定理這一知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題難易程度適中，是一道典型的題目．【詳解】解：，，，是四邊形的中點(diǎn)四邊形，四邊形的對角線、互相垂直，四邊形為矩形，設(shè)，，是的中位線，，同理可得，四邊形的面積為．，四邊形的面積，故答案為：30．10．（23-24八年級下·陜西安康·期中）如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別是邊，上的動點(diǎn)，連接，P是線段的中點(diǎn)，，，G，H為垂足，連接．若，，，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)與判定，求出的最小值是解本題的關(guān)鍵．連接，，，由勾股定理得到，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，然后證四邊形是矩形，得，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，進(jìn)而得解的最小值．【詳解】解：連接，，，如圖所示，四邊形是矩形，，，，，，，P是線段的中點(diǎn)，，，，，G，H為垂足，，四邊形是矩形，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，，的最小值是，故答案為：．三、解答題11．（23-24八年級下·山東泰安·期中）如圖，在四邊形中，，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)點(diǎn)E是上一點(diǎn)，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接，若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，勾股定理的逆定理；解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．（1）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問題；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理證明，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，四邊形是平行四邊形．，四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∵，，，∴，∴是直角三角形，且，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴．12．（23-24八年級下·山西大同·期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AC平分．(1)求證：四邊形ABCD是菱形．(2)過點(diǎn)C作交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE交BC于點(diǎn)F，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）由，平分，得，，結(jié)合，得，又，四邊形ABCD是平行四邊形，又，即可求證，（2）由ABCD是菱形，得，，，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得，，，，，本題考查了，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又，∴四邊形ABCD是菱形，（2）解：由（1）可知四邊形ABCD是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．13．（22-23八年級下·山西呂梁·期中）如圖，在四邊形中，對角線，，且，垂足為O，順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形；再順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形，…如此下去得到四邊形．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求四邊形的面積．(3)直接寫出四邊形的面積（用含n的式子表示）．【答案】(1)四邊形是矩形，理由見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，，，，，，，；即有，，證得四邊形是平行四邊形，結(jié)合，問題得解；（2）由（1）得四邊形是矩形，，是的中位線，可得，從而得到，，再由矩形的面積公式計(jì)算，即可．（3）由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，即可求解．【詳解】?）解：四邊形是矩形，理由如下：在四邊形中，順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形，∴、分別為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，同理可得：，，，，，；∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行多邊形是矩形，（2）解：由（1）得四邊形是矩形，，是的中位線，∴．又∵，，∴，，∴．（3）解：∵四邊形中，，，且，∴；由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话?，即四邊形的面積是．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線的性質(zhì)，中點(diǎn)四邊形，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．14．