數(shù)理統(tǒng)計(jì)預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)題試題習(xí)題

教理院計(jì)練習(xí)題

1.設(shè)X1,X2，X3，X4是總體N(〃，。2)的樣本，4已知，cr2未知，則不是統(tǒng)計(jì)量的是

().

4

(A)X?+5X4;(B)￡Xj—〃；

/=1

4

(C)X]-cr；(D).

i=]

解：統(tǒng)計(jì)量是不依賴于任何未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù).

???選C.

2.設(shè)總體X~6(l,p),X-X2,…,X”為來自X的樣本，則().

(A)p：(B)1-/2;

(C)C：pkQ_p)z；(D)C：Q-p)kp『k.

解：Xd2…X〃相互獨(dú)立且均服從B(l,p)故-Bgp)

i=l

即nX-B(n,p)則P(又J)=p(欣=6=C；p“l(fā)—p)T

n

：.選C.

3.設(shè)X-X2,…,X”是總體N(0,1)的樣本，,和S分別為樣本的均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,

則().

(A)X/S~t(n-1)；(B)X~N(O,1)；

(C)(72—1)S"~(n—1)；(D)-J~nX~t(n—1).

一1￡一一11一1

解:X=-YxiEX=O,DX=-n=-X~N(0,—)B錯(cuò)

nHnnn

(rt—1)S__2(〃一1)T,

s~Z(n-1)■L7T_LS2=(〃_I)S2~72(〃_I)

crr

—Vn~Z(n-l).；.A錯(cuò).

選C.

4.設(shè)X-X2,…,X”是總體Na，,")的樣本，又是樣本均值，記S：=

1〃

S：=一￡(Xj-〃)2,則服從自由度為〃一1的，分布的隨機(jī)變量是().

(A)7=X-N(B)

_s"V^TT=^^r

(D)T=」一[

S4/yln

isx「反y

解：上——3---------z2(/?-l)冊(cè)?N(O,1)

(J(J

T=i。-------?t(n-1)

:2對(duì)

Vn-1

(X—/z)VnX—〃I-[

T-,=------1?Z(n-l)

[nS：/n-lS?

選B.

5.設(shè)X-X2,…,X6是來自N(〃Q2)的樣本，底為其樣本方差，則。S2的值為().

Iio?

(A)-<T4;(B)-o-4；(C)-<T4;(D)-<72.

3555

5s2

解：X1,X2，,X6~N(〃,b2),〃=6r~/2(5)

b

由/分布性質(zhì)：D==2x5=10即。S2=Wb4=2b4

選C.

6.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為〃,X1,乂2,…,X”是來自X的樣本，則下列結(jié)論中正確的

是().

(A)X1是"的無偏估計(jì)量；

(B)X1是〃的極大似然估計(jì)量；

(C)X,是〃的一致(相合)估計(jì)量；

(D)X,不是〃的估計(jì)量.

解：EX、=EX=RX|是〃的無偏估計(jì)量.

選A.

7.設(shè)X1,乂2,…,X”是總體X的樣本，EX=H，DX=a2,K是樣本均值，S?是

樣本方差，則().

(A)X~7V//,—；(B)S?與兄獨(dú)立；

In)

2

(n-l)52

(C)-------；(D)S?是a?的無偏估計(jì)量.

<y'

解：已知總體X不是正態(tài)總體(A)(B)(C)都不對(duì).

選D.

8.設(shè)X],Xz，…,X“是總體Ng,。?)的樣本，則()可以作為a?的無偏估計(jì)量.

1n

(A)

19v

(c)不;⑴)士沙.

；；

解：EX]=0,DXiEX_(EXj￥=EX=/

E(-Yxf)=--na2=cy2

n?n

選A.

9.設(shè)總體X服從區(qū)間[-仇網(wǎng)上均勻分布(6〉0),西，…,為樣本,

則。的極大似然估計(jì)為()

(A)max{%x“}；(B)min{X1,…,x,J

(C)max{|x|1)(D)min{|x,I,---,|x?|)

—xe[-仇0]

解:/(%)=<ie

o其它

“1

似然正數(shù)g,…,x〃；e)=仃/(x,,e)=函7\X:\<0i=l,2,,n

其它

此處似然函數(shù)作為。函數(shù)不連續(xù)

不能解似然方程求解。極大似然估計(jì)

L(6)在夕=X(〃)處取得極大值^=X?=max||X1|,--,|X?|)

選c.

10.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為〃,X-X2，,X“為來自X的樣本，則下列結(jié)論中

正確的是

(A)X,是〃的無偏估計(jì)量.(B)X)是〃的極大似然估計(jì)量.

(C)X|是〃的相合(一致)估計(jì)量.(D)X1不是M的估計(jì)量.()

解：EX、=〃,所以X1是〃的無偏估計(jì)，應(yīng)選(A).

11.設(shè)玉,工2，，%為正態(tài)總體N(〃,4)的一個(gè)樣本，元表示樣本均值，則"的

置信度為1-。的置信區(qū)間為

(A)(%-Wa/2-y=,X+U

7na/2

(B){x—ux_a/2—j=,x+ua/2

(D)(x—ua/2—,x+ua/2

解：因?yàn)榉讲钜阎?，所以〃的置信區(qū)間為

(X-%/23，又+%/2

應(yīng)選D.

12.設(shè)總體X~N(日，。2),其中/已知，則總體均值p的置信區(qū)間長(zhǎng)度L與置信度1-a

的關(guān)系是

(a)當(dāng)1-a縮小時(shí)，L縮短.

(b)當(dāng)1-a縮小時(shí)，L增大.

(c)當(dāng)1-a縮小時(shí)，L不變.

(d)以上說法均錯(cuò).

解：當(dāng)。2已知時(shí)，總體均值口的置信區(qū)間長(zhǎng)度為當(dāng)La縮小時(shí)，L將縮短，故應(yīng)選(a)

13.設(shè)總體X~N(川，),Y~N(田，s?),X和Y相互獨(dú)立，且山，，口，6?均

未知，從X中抽取容量為m=9的樣本，從Y中抽取容量為n2=10的樣本分別算得樣本方差

為

S/=63.86,522=236.8對(duì)于顯著性水平。=0.10(0<a<1),檢驗(yàn)假設(shè)

Ho：CTI2=O22Hi:b/WCT22

則正確的方法和結(jié)論是[]

(a)用F檢驗(yàn)法，查臨界值表知Fo.yo(8,9)=0.40,R).io(8,9)=2.47結(jié)論是接受Ho

(b)用F檢驗(yàn)法，查臨界值表知FO.95(8,9)=O.31,FO.O5(8,9)=3.23結(jié)論是拒絕H()

(c)用t檢驗(yàn)法，查臨界值表知"05(17)=2.11結(jié)論是拒絕H()

(d)用Z2檢驗(yàn)法，查臨界值表知/0.10(17)=24.67結(jié)論是接受H()

解：這是兩個(gè)正態(tài)總體均值未知時(shí)，方差的檢驗(yàn)問題，要使用F檢驗(yàn)法。在假設(shè)Ho：.2=

O22是雙側(cè)檢驗(yàn)問題，選(b)

14.機(jī)床廠某日從兩臺(tái)機(jī)器所加工的同一種零件中分別抽取容量為m和m的樣本，并且

已知這些零件的長(zhǎng)度都服從正態(tài)分布，為檢驗(yàn)這兩臺(tái)機(jī)器的精度是否相同，則正確的假設(shè)是

(a)Ho:日?=日2;Hi:R?W(42

(b)Ho:?=ji2;Hi:?<p2

(c)Ho：ar=O22；H|：OI2^O22

2222

(d)Ho:CT|=C2；H|:CT|<ct2

分析:為檢驗(yàn)精度，要檢驗(yàn)方差是否相同，故應(yīng)選(C)

15.在求參數(shù)。的置信區(qū)間時(shí)，置信度為90%是指()

(a)對(duì)100個(gè)樣品，定有90個(gè)區(qū)間能覆蓋。

(b)對(duì)100個(gè)樣品，約有90個(gè)區(qū)間能覆蓋0

(c)對(duì)100個(gè)樣品，至多有90個(gè)區(qū)間能覆蓋。

(d)對(duì)100個(gè)樣品，只能有90個(gè)區(qū)間能覆蓋e

答：選(b)

16.收集了n組數(shù)據(jù)(x,.,%)，=1,2,…,”畫出散布圖，若n個(gè)點(diǎn)基本在一條直線附近

時(shí)，稱這兩變量間具有()

(a)獨(dú)立的關(guān)系(b)不相容的關(guān)系

(c)函數(shù)關(guān)系(d)線性相關(guān)關(guān)系

答：選(d)

17.設(shè)X1,X2,,XD是總體N(〃,4)的樣本，S?是樣本方差，若Pg?>0=0.01,

貝ija-.

(注:-7)=334,就005a7)=35.7,^,01(16)=32.0,就005a6)=34.2)

16q2

解：P(S2>a)=P{-^->4a}=0.01

4

即/.儲(chǔ)16于血亦即4?=32a=8.

18.設(shè)測(cè)量零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的誤差X服從正態(tài)分布N(〃,cr2),今隨機(jī)地測(cè)量16個(gè)零件,

得ZX,=8,EX；=34.在置信度0.95下，〃的置信區(qū)間為.

(?005(15)=1.7531,125(15)=2.1315)

解：〃的置信度1一。下的置信區(qū)間為

-SS

(X—1)—/=，X+%2(〃一1)—7=

X=0.5,S2=—[^X,2-16X2]=2,S=1.4142,〃=16

15i=i

ZOO25（15）=2.1315.

所以〃的置信區(qū)間為（—0.2535,1.2535）.

19.最小二乘法的基本特點(diǎn)是使回歸值與的平方和為最小，最小二乘法的理論依據(jù)是

_____O

答：實(shí)際觀測(cè)值；函數(shù)的極值原理。

20.某單因子試驗(yàn)，因子A有2個(gè)水平，水平A1下進(jìn)行5次重復(fù)試驗(yàn)，在水平A2下進(jìn)

行6次重復(fù)試驗(yàn)，則總偏差平方和的自由度為（）o

答：10

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

1.某廠生產(chǎn)玻璃板，以每塊玻璃上的泡疵點(diǎn)個(gè)數(shù)為數(shù)量指標(biāo)，已知它服從均值為;I的

泊松分布，從產(chǎn)品中抽一個(gè)容量為〃的樣本X1,X2，,X",求樣本的分布.

解樣本（X-X2，,X“）的分量獨(dú)立且均服從與總體相同的分布，故樣本的分布為

nn叫

p(x,=kt,x2=k2,,x“=z")=np(x,=()=nh

Aki=0,1,,i=1,2,,n,

kx\k2\kn\'

2.加工某種零件時(shí)，每一件需要的時(shí)間服從均值為1/zi的指數(shù)分布，今以加工時(shí)間為

零件的數(shù)量指標(biāo)，任取〃件零件構(gòu)成一個(gè)容量為〃的樣本，求樣本分布。

解零件的加工時(shí)間為總體X,則*~￡（4）,其概率密度為

于是樣本（X-X2，,X“）的密度為

/（5,工2，,當(dāng)）=口曲的=<4"e?,x,.>0?=1,2,,n

0,其它.

3.證明若X~/2(〃)，則EX=〃，DX=2n.

證因乂~/(〃)，所以x可表示的x=￡x；,其中X-X2，,X〃相互獨(dú)立，且

/=1

均服從N(O,1),于是

EX=￡EX；=X[DX,+(盟)2]=￡1=〃

/=1i=l/=1

DX可DX；=-(EX：)?]=-4=3^-l]

/=1/=1i=l”72幾

=￡(3-1)=2幾

i=l

4.已知X~f(〃)，求證X2~F(1,n).

Z,

證X~t(n,則X可表示為X=—其中Z~N(O,1),y~%2(〃)且z,y相

互獨(dú)立，于是

72

x2=-F(l,n).

Yin

5.設(shè)*,X?,X3,X4是來自正態(tài)總體N(0,22)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，

22

X=a(Xt-2X2)+b(3X3-4X4),求常數(shù)。涉，使得X~/(2).

Y__2X1

22

解X,-2X2~N(0,20),1「2一N(O,1),—(X,-2X,)~Z(l),

-2V520

3X—4Y1

3X，-4X4~N(0』0)_\一~N(0,l),—(3X-4X)2~Z2(1),

lu10034

所以當(dāng)a='-,〃=—!—時(shí).

20100

222

X=?(X,-2X2)+^(3X3-4X4)~Z(2)

6.設(shè)X-，X“，X,,+”，X"+,”是分布N(0,fy2)的容量為〃的樣本，試求下列統(tǒng)計(jì)量

的概率分布:

而￡X,

(1)i=l(2)■'=1

In+tnn+m

司Zx；

Vi=n+\

fx,~N(0,，，Jfx,~N(0,l),

解

i=l71=1

y2111+in

X,~N(0,。2),—⑴，一

bb/=M+1

所以

而fX,

(1)i=lT(a);

n+m1n+m

Ji=n+]bi=〃+]

1n

4zx；/〃

C2)Y2=n+nt果含--------2〃，〃?)?

〃2X；上工X；lm

i-n+lGi=n+\

_|〃

7.設(shè)X，,X“,X”“是來自總體N(〃寸的樣本，x=-V,

n

X〃“j十】-X\n—\,,.

S*2」￡(X,-N)2,試求統(tǒng)計(jì)量T—J——的分布。

nSn+\

x?-X~MOA^CT22

解+12~z(?-i)

nb

于是

X嚴(yán)—X~N(O,1)

'n+1

----ar

n

x“+「x

7=X?二又回J〃+l/〃<7

?t(n-l)

S幾十1嗎(〃-1)

(7

8.從正態(tài)總體N(3.4,62)中抽取容量為〃的樣本，如果要求樣本均值位于區(qū)間(1.4,

5.4)內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量〃至少應(yīng)多大？

解0.9軍尸(1<L?X,<季杰)5；(3#—①)：］腦。

=20)(乎)一1

即

①(手)>0.975,查正態(tài)分表得^y>1.96即n>34.57.

故樣本容量至少應(yīng)為35。

9.求總體N(20,3)的容量分別為10,15的兩個(gè)獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概

率。

___3-3

解設(shè)男和兄為兩個(gè)獨(dú)立樣本的均值，則xx?NQ0,—),X2~NQ0,—)

_15--1

于是X,-X2~N(0,—)即X,-X2~N(0,-)

P(|X,-X2|>0.3)=1一P(|兄一X2|<0.3)

...0.3、..—0.3、

=1-6―r)+O(-r)

1/V21/V2

=2-20(0.42)=2-2x0.6628=0.6744.

參數(shù)估計(jì)

1.對(duì)某一距離進(jìn)行5次測(cè)量，結(jié)果如下：

2781,2836,2807,2765,2858（米）.

己知測(cè)量結(jié)果服從NRd）,求參數(shù)〃和b?的矩估計(jì).

_1"_

解〃的矩估計(jì)為A=又，4的矩估計(jì)為＜T2=-y（x,.-x）2=

X=1（2781+2836+2807+2765+2858）=2809.0,

S*?=1x5854.0=1170.84

5

所以

〃=2809,夕=H70.8

2.設(shè)總體X具有密度

f（x;。）={0'x>C,

?°，其他.

“，求。的

其中參數(shù)0＜。＜1,。為己知常數(shù)，且C＞0,從中抽得一個(gè)樣本，x,,x2,X

矩估計(jì)

p+0011

解M=EX='exf>(be

e7

i

------1―LL)------------

。一1\-e

解出。得

從

于是。的矩估計(jì)為

6＞=1—￡.

X

3.設(shè)總體的密度為

(a+l)xa,0<x<l,

f(x;a)=<

0其他.

試用樣本X1,X2,,X“求參數(shù)a的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).

解先求矩估計(jì):

//,=EX=f(a+V)xf+'dx="+1xff+2|_a+1

'J0a+2loa+2

解出。得

a=E陰

Ai-1

所以a的矩估計(jì)為

1-2X

a=

X-l

再求極大似然估計(jì)：

L(X-,X,;a)=fl(a+l)￥=(a+l)"(x/2當(dāng)尸，

Z=1

n

InL=/?ln(6z+1)+Inxz,

i=\

dlnLn八

-----=-----+>\nx0,

daa+1普i

解得a的極大似然估計(jì)：

a=-(l+^T^—)?

Elnxf-

/=1

4.設(shè)總體X服從指數(shù)分布

邛"功,x>e,

/(x；e)=,

o,其他.

試?yán)脴颖緓,,x2,,x“求參數(shù)。的極大似然估計(jì).

n-2既+""

解L(X1,,X“;e)=ne~(Xi~9}=e,x,.>6,z=l,2,,n.

i=\

\nL=nd-^Xt

i=l

dlnL八

-----=〃wO

d0

由極大似然估計(jì)的定義，o的極大似然估計(jì)為e=%)

5.設(shè)x-X2，,x“來自幾何分布

P(X=6=p(l-p)i,Z=l,2,,0<p<l,

試求未知參數(shù)p的極大似然估計(jì).

n

n-〃

解L(x,,為"RP廿"AP"一4產(chǎn))，

i=\

InL=〃Inp+(ZXj-n)ln(l-p),

/=i

______0,

dpp1-p

解似然方程

一〃+￡x,

〃_i=l

p1-p'

得p的極大似然估計(jì)

1

p=*

6..設(shè)X-X2，,X“是來自參數(shù)為X的泊松分布總體的樣本，試證對(duì)任意的常數(shù)人,

統(tǒng)計(jì)量kx+(l-k)S2是2的無偏估計(jì)量。

證E(kX+(\-k)S2)=kEX+(1-k)ES2=k^+A-kA=A

(此處利用了又是EX的無偏估計(jì)，S2是DX的無偏估計(jì))，所以對(duì)任意的

忒+(1-幻S?是;I的無偏估計(jì)。

7.設(shè)總體X~N(〃Q2),X-X,,X3是來自X的樣本，試證估計(jì)量

131

1XX1

--+X=-X

5-233+-X.+—X.,

+42123

X11012

AI外1

12-A

--+一

362?

都是〃的無偏估計(jì)，并指出它們中哪一個(gè)最有效.

131131

證Eu.=—EX]+—EX.+-EX,=(—+—+—)〃=〃

'5102235102

廣,115、

"2=(3+^+/〃=〃

L/111、

E〃3=(彳+/+1)〃=〃

3o2

故〃],//2,/z3都是fJ.的無偏估計(jì).

1917Q

Du.=—DX,+—DX,+-DX.—cr2=0.39cr2,

1251100243100

八/125、，50,

DR,=(-+—+——)cr=——a~=0.3474，

2916144144

14,、

—O-2=0.389o-2.

36

所以〃2最有效.

]fl

8.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望〃=￡X已知，試證統(tǒng)計(jì)量一Z(X,是總體方差

n,=i

cr2=DX的無偏估計(jì).

證E(—Z(X,一〃)2)=—2>&-〃)2=6：,證畢.

〃,=in,=1

9.從一批釘子中抽取中枚,測(cè)得長(zhǎng)度(單位:厘米)為2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,

2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11,設(shè)釘長(zhǎng)分布為正態(tài)，試在下列情況下，

求總體期望〃的置信度為0.90的置信區(qū)間。

(1)已知b=0.01厘米；(2)cr為未知.

解X=2.125,S2=0.0029,5=0.017

(1)4的置信區(qū)間為(X—"()05—尸，X+M005—7=)

7ny/n

X=2.125,w005=1.645,cr=0.01,n=16

〃的置信區(qū)間為(2.121,2.129)；

(2)〃的置信區(qū)間為(又一X+ZOO5(15)4-)

\Jnytn

r0.05(15)=1.7531

〃的置信區(qū)間為（2.1175,2.1325）.

10.生產(chǎn)一個(gè)零件所需時(shí)間（單位：秒）X~N（〃，cr2）,觀察25個(gè)零件的生產(chǎn)時(shí)間,

得又=5.5,5=1.73,試以0.95的可靠性求〃和＜y2的置信區(qū)間.

S又+%025(24)4)

解4的置信區(qū)間為（區(qū)一Go25（24）

五'yjn

其中又=5.5,。025(24)=2.0639,S=1.73,〃=25.

所以〃的置信度0.95下的置信區(qū)間為

173173

（5.5-2.0639xm，5.5+2.0639x手)=(4.7858,6.2141)

cr?的置信區(qū)間為

"(K-1)S2(n-l)S2"

/2(〃T)'猶a/2(〃T),

2

S=2.9929,君必(24)=39.364,^,975(24)=12.401

所以的置信區(qū)間為

(24x2.992924.29929

139.36412.401=(1.8248,5.7922).

11.零件尺寸與規(guī)定尺寸的偏差X~N（〃，b?）,令測(cè)得10個(gè)零件，得偏差值（單位:

微米）2,1,-2,3,2,4,-2,5,3,4,試求〃的無偏估計(jì)值和置信度為0.90的置信區(qū)間。

_110

解4的無偏估計(jì)為X=—=2

10/?=]

1”

的無偏估計(jì)為S?=-y%,2-wx4=5.778

QJ'

vL<=i」

〃的置信區(qū)間為

(又一功.05(9)^^，又一‘。。5(9)^^)

X=2,5=2.404,r005(9)=1.8331710=3.1623

所以〃的置信度為0.90的置信區(qū)間為

94049404

(2-1.8331X-,2+1.8331x,)=(0.6064,3.3935)；

3.16233.1623

ba的置信區(qū)間為

"(n-l)S2(〃-西、

/2("T)ZL/2(?-1)?

忌05(9)=16.919,於95(9)=3.325

所以cr?的置信度0.90下的置信區(qū)間為

52.00252002、U(3.075,15.6397).

16.9193.325J

12.對(duì)某農(nóng)作物兩個(gè)品種計(jì)算了8個(gè)地區(qū)的單位面積產(chǎn)量如下:

品種A：86,87,56,93,84,93,75,79；

品種B：80,79,58,91,77,82,74,66.

假定兩個(gè)品種的單位面積產(chǎn)量，分別服從正態(tài)分布，且方差相等，試求平均單位面積產(chǎn)

量之差在置信度為0.95下的置信區(qū)間.

解此題是在b：=<7；的條件下求從-4的置信區(qū)間.

從-〃2的置信區(qū)間為

(N—F一a2(4+n2-25+—，N-P+Q/2(/+^-2)5,P-+^-

)HJ—

_1818

其中X=-^X.=81.625,S；=_(ZX；-8(81.625)2)=145.60

8i=\71?=]

_1818

P=—Z工=75.875,3；=—(￡匕2-8x(75.875)2)=102.13

8z=i7i=]

s/(8-1)x145.60+(8-1)x102.131111

o...=J---------------------------=11.129,J—+—=—

V147nl電2

a=0.05,Z0025(14)=2.1448.

所以4的置信度為0.95下的置信區(qū)間為

(81,625-75.875-2.1448x11.129x1,81.625-75.875+2.1448x11.129x-)

22

=(-6.185,17.685).

13.設(shè)A和B兩批導(dǎo)線是用不同工藝生產(chǎn)的，今隨機(jī)地從每批導(dǎo)線中抽取5根測(cè)量電

阻，算得S：=S：=1.07x10-7,s；=S；=5.3x10-6,若A批導(dǎo)線的電阻服從N（4，8）

2

分布，8批導(dǎo)線的電阻服從N（〃2，。；），求與的置信度為0.90的置信區(qū)間.

。2

2

解與的置信區(qū)間為

's；/s；s；S

3，2（/T，〃2T）耳”2(%—1，”2一1)

其中S；=1.05!Il)52=￡.36丘，%,49，=(4

外(4,4)=——!——=0.1565.

小5(4,4)

2

所以出的置信度0.90下的置信區(qū)間為

o-；

1.07/531.07/53

=(0.0032,0.1290).

6.39'0.1565

14.從一臺(tái)機(jī)床加工的軸中隨機(jī)地取200根測(cè)量其橢圓度，由測(cè)量值（單位：毫米）計(jì)

算得平均值又=0.081,標(biāo)準(zhǔn)差S=0.025,求此機(jī)床加工的軸之平均橢圓度的置信度為

0.95的置信區(qū)間。

解因總體不是正態(tài)的，所以該題是大樣本區(qū)間估計(jì)，設(shè)平均桶圓度為〃，由中心極

限定理駕3近似服從N（0,1）,對(duì)于給定的a,查正態(tài)分布表，求出臨界值此,2使

yjrtS

.nX—n/.in/vSr；

1一a=2n/(一"a/2<-<“a/2)=尸(X一〃a/2~~T<〃<X+

\JnS7n

即〃的置信區(qū)間為

_c_cnnos()()75

(X—w—j=,X+u—7=)—(0.081—1.96—廣，0.081+1.96—產(chǎn))

4ny/n10V210V2

=(0.0775,0.0845).

15.在一批貨物的容量為100的樣本中，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)16個(gè)次品，試求這批貨次品率的

置信區(qū)間（置信度近似為0.95）

解設(shè)次品率為p,100件產(chǎn)品中的次品數(shù)為X,由教材163頁知，p的置信區(qū)間為

（Pi，?。?其中

19

16

a=103.84,0=35.84,c=2.56

于是p的置信度近似為0.95的置信區(qū)間為

(0.101,0.244).

假設(shè)檢驗(yàn)

1.一臺(tái)包裝機(jī)裝奶粉，額定標(biāo)準(zhǔn)重量為500g,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，包裝機(jī)的實(shí)際裝袋重量服

從正態(tài)N（〃,cr；）,其中%=15g,為檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常，隨機(jī)抽取9袋，稱得奶粉

凈重?cái)?shù)據(jù)如下（單位：g）

497506518524488517510515516

若取顯著性水平￡=0.05,問這包裝機(jī)工作是否正常？

解建立假設(shè)

“＜）：〃=500；:〃工500

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

a

當(dāng)“0成立時(shí)，有U~N（0』），否定域?yàn)椋篣u\>ua>

.2,

由P“U|>"a=￡=0.05,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得%=”0.025=196

.2）2

將樣本觀測(cè)值帶入計(jì)算得M=2.02>1.96

故否定”o,接受認(rèn)為產(chǎn)品重量均值不再等于500克.亦即認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.

2.糖廠用自動(dòng)打包機(jī)打包，每包標(biāo)準(zhǔn)重量為100公斤，每天開工后要檢驗(yàn)一次打包機(jī)工作

是否正常，某日開工后測(cè)得9包重量（單位：公斤）如下：

99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5

問該日打包機(jī)工作是否正常=0.05；已知包重服從正態(tài)分布）？

解又=99.9,S2=1（22（X,.-X）2）=1.47,S=1.21,

8,=i

問題是檢驗(yàn)假設(shè)"o：〃=1°0

“°的否定域?yàn)閨f|N%2（8）.

其中

,又一100/-99.98-100?八小

t=-------，9=----------x3=-0.05

S1.21

^（8）=2.306

因?yàn)?/p>

111=0.05<2.306=b（）25（8）

所以接受"o,即該日打包機(jī)工作正常.

3.設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度（單位：cm）X~NRd）,今抽取容量為16的樣本，測(cè)得

樣本均值彳=10,樣本方差/=0.16.（1）求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）

2

檢驗(yàn)假設(shè)H0:o-<0.1（顯著性水平為0.05）.

（附注）垢5（16）=L746,05（15）=1.753,?0025（15）=2.132,

公05（16）=26.296,Z^05（15）=24.996,總出（⑸=27.488.

解：（1）〃的置信度為1一。下的置信區(qū)間為

（XX+%2（〃-1）_4=）

7n7n

X=10,5=0.4,〃=16,a=0.05,Zo025（15）=2.132

所以〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為（9.7868,10.2132）

2

(2):才40.1的拒絕域?yàn)閆2/(〃一1).

15V2

z2=-=15x1.6=24,忌3(15)=24.996

因?yàn)?=24<24.996=/05（15），所以接受兒.

4.某批礦砂的5個(gè)樣品中銀含量經(jīng)測(cè)定為X（%）：3.25,3.27,3.24,3.26,3.24

設(shè)測(cè)定值服從正態(tài)分布，問能否認(rèn)為這批礦砂的銀含量為3.25（。=0.01）?

解問題是在。2未知的條件下檢驗(yàn)假設(shè)“0：〃=3.25

Ho的否定域?yàn)?/p>

口>%2（4）

_]5_

X=3.252,S2=-（^X,.-5xX2）=0.00017,5=0.013

4；=i

W（4）=4^041

X-3.25后3.252-3.25.?cu

t=--------J5=-----------x2.24=0.345

S0.013

因?yàn)?/p>

|r|=0.345<4,604l=r0005（4）

所以接受4°,即可以認(rèn)為這批礦砂的鍥含量為3.25.

5.按照規(guī)定，每100克罐頭番茄汁中，維生素。的含量不得少于21毫克，現(xiàn)從某廠生

產(chǎn)的一批罐頭中抽取17個(gè)，測(cè)得維生素C的含量（單位：毫克）如下

22,21,20,23,21,19,15,13,16,

23,17,20,29,18,22,16,25.

已知維生素C的含量服從正態(tài)分布，試檢驗(yàn)這批罐頭的維生素含量是否合格。（a=0.025）

解設(shè)X為維生素C的含量，則X~N（〃，cr2）,X=20,S2=419.625,5=20.485,

n=17.問題是檢驗(yàn)假設(shè):

(1)"o:〃之21.

(2)選建統(tǒng)計(jì)量，并計(jì)算其值：

二J6二型3舊二《2。

S20.485

（3）對(duì)于給定的a=0.025查t分布表求出臨界值ta（〃）=fog（16）=2.2.

（4）因?yàn)門oo25（16）=-2.2O<-O.2O=f。所以接受“°,即認(rèn)為維生素含量合格.

6.某種合金弦的抗拉強(qiáng)度X~N（〃，（T2）,由過去的經(jīng)驗(yàn)知〃410560（公斤/厘米2）,

今用新工藝生產(chǎn)了一批弦線，隨機(jī)取10根作抗拉試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

10512,10623,10668,10554,10776,

10707,10557,10581,10666,10670.

問這批弦線?抗拉強(qiáng)度是否提高了？(a=0.05)

解又=1063,S?=6558.89,5=80.99,n=10.問題是檢驗(yàn)假設(shè)

Ho://<10560

(1)Ho:/z<10560.

（2）選統(tǒng)計(jì)量并計(jì)算其值.

X-10560廣10631.4-10560

-------------7n=V10

80.99

=2.772

（3）對(duì)于a=0.05,查f分布表,得臨界值Q（9）=Da（9）=1533.

（4）因6）5（9）=1-833<2.772=/,故否定即認(rèn)為抗拉強(qiáng)度提高了。

7.從一批軸料中取15件測(cè)量其橢圓度，計(jì)算得5=0.025,問該批軸料橢圓度的總體

方差與規(guī)定的b?=0.0004有無顯著差別？（。=0.05,橢圓度服從正態(tài)分布）。

解S=0.025S=0.000/6S,,問題是檢驗(yàn)假設(shè)"0=0.0004.

(1)“0:/=cr；=0.0004.

（2）選統(tǒng)計(jì)量力2并計(jì)算其值

(“—1?214x0.00065

222.75

z~c^~0.0004

(3)對(duì)于給定的a=0.05,查力?分布表得臨界值

/,2(14)=萬025a4)=26.119,沈a加4)=忌975a4)=5.629.

（4）因?yàn)椋ィ?75=5.629<22.75=/〈/ms=26.119所以接受兒,即總體方差與規(guī)

定的b?=0.0004無顯著差異。

8.從一批保險(xiǎn)絲中抽取10根試驗(yàn)其熔化時(shí)間，結(jié)果為

42,65,75,78,71,59,57,68,54,55.

問是否可以認(rèn)為這批保險(xiǎn)絲熔化時(shí)間的方差不大于80?（a=0.05,熔化時(shí)間服從正態(tài)分

布）.

解又=62.,52=121.82,〃=10,問題是檢驗(yàn)假設(shè)“0480.

（1）:cr2<80=b；；

（2）選統(tǒng)計(jì)量/并