小學(xué)奧數(shù)匯編教材 第十五講 比例百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

特級(jí)教師小學(xué)奧數(shù)匯編教材

第十五講比例百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

【專題知識(shí)點(diǎn)概述】

一、比例：

比例與百分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)學(xué)工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關(guān)系非常

有用.這一部分內(nèi)容是小升初考試的重要內(nèi)容.通過(guò)本講需栗學(xué)生掌握的內(nèi)容

有：

1.比例式的恒等變形.

2.各種條件下比例的轉(zhuǎn)化，有目的的轉(zhuǎn)化.

3.比例與和差關(guān)系問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的對(duì)應(yīng)和運(yùn)用.

比和比例的性質(zhì)

性質(zhì)1:若a:b=c:d,則（a+c）:（b+d）=a:b=c:d;

性質(zhì)2：若a:b=c:d,則（a-c）:（b-d）=a:b=c:d;

性質(zhì)3:若a:b=c:d,則（a+xc）:（b+xd）=a:b=c:d;（x為常數(shù)）

性質(zhì)4：若a:b=c:d,則aXd=bXc;（即外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積）

正比例：如果a+b=k（k為常數(shù)），則稱a、b成正比；

反比例：如果aXb=k（k為常數(shù)），則稱a、b成反比.

比例題目常用解題方式和思路

解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是正確理解、運(yùn)用單位“I”。題中如果有幾個(gè)不同的

單位“1”，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“1”，轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的單住“1”，

使數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單化，達(dá)到解決問(wèn)題的效果。在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，要注意以下

幾點(diǎn)：

1.題中有幾種數(shù)量相比較時(shí)，要選擇與各個(gè)已知條件關(guān)系密切、便于直接

解答的數(shù)量為單位“1”。

2.目題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1”。

3.應(yīng)用正、反比例性質(zhì)解答應(yīng)用題時(shí)票注意題中某一數(shù)量是否一定，然后

再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對(duì)應(yīng)的分率與

其他具體數(shù)量之間的正、反比例關(guān)系，就能找到更好、更巧的解法。

4.題中有明顯的等量關(guān)系，也可以用方程的方法去解。

5.賦值解比例問(wèn)題

二、百分?jǐn)?shù)：

（1）如何求一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）？

求一個(gè)數(shù)的幾分之幾，只需栗將這個(gè)數(shù)乘以幾分之幾就得到.

例如：5的24%是多少？解答：5X24%=1.2.

（2）如何求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）？

求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，只需要將前一個(gè)數(shù)除以后一個(gè)數(shù)就得到.

例如：2是3的幾分之幾？解答：-^-=-x-=-.

3434339

（3）已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾），如何求這個(gè)數(shù)？

已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾，要求這個(gè)數(shù)，只需要將這個(gè)幾分之幾的數(shù)除以幾分之

幾.

例如：一個(gè)數(shù)的士等于18,那么這個(gè)數(shù)等于多少？解答：18+*=18x±=27.

332

（【授課批注】\

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題經(jīng)常要涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的量，我們往往把其中的一個(gè)量看作是標(biāo)準(zhǔn)

量.也稱為：?jiǎn)挝弧?”，例如a是b的幾分之幾，就把數(shù)b看作單位“1”.在幾個(gè)量中，

弄清哪一個(gè)是單位“1”很重要，否則容易出錯(cuò)誤.而百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中所涉及的百分?jǐn)?shù)，只

1曼分母是100的分?jǐn)?shù)，因而計(jì)算的方法和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是一樣的，關(guān)鍵也是要找準(zhǔn)單位“1〃

和對(duì)應(yīng)的百分率，以及對(duì)應(yīng)量三者的關(guān)系

【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

1.單位一變化的比例問(wèn)題

2.連比問(wèn)題

3.方程解比例應(yīng)用題

4.單位“1”的變化

【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】

1.百分?jǐn)?shù)比列問(wèn)題

2.經(jīng)濟(jì)和濃度問(wèn)題

3.具體量與分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)的關(guān)系

祟【習(xí)題精講】

【例1】(難度級(jí)別X)

六年級(jí)男生有50人，女生有40人，(1)女生人數(shù)是男生人數(shù)的幾分之幾？(2)男生人數(shù)

比女生人數(shù)多百分之幾？(3)女生人數(shù)比男生人數(shù)少百分之幾？(4)女生比男生少的人數(shù)

是全班人數(shù)的百分之幾？

【分析與解】

此題四個(gè)問(wèn)題都是求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，解答的關(guān)鍵是找準(zhǔn)單位“1”，

(1)男生人數(shù)為單位“1”，40+50=4/5;

(2)女生人數(shù)為單位“1”，(50-40)4-40=25%;

(3)男生人數(shù)為單位“1",(50-40)4-50=20%;

(4)全班人數(shù)為單位“1”，(50-40)4-(50+40)?11.1%。

【例2】（難度級(jí)別X）

圓珠筆和鉛筆的價(jià)格比是4：3,20支圓珠筆和21支鉛筆共用71.5元.問(wèn)圓珠筆的單價(jià)是

每支多少元？

【分析與解】

設(shè)圓珠筆的價(jià)格為4,那么鉛筆的價(jià)格為3,則20支圓珠筆和21支鉛筆的價(jià)格為20X4+21

X3=143,則單位“1”的價(jià)格為71.59143:0.5元.

所以圓珠筆的單價(jià)是0.5X4=2（元）.

【例3】（難度級(jí)別X）

一個(gè)水箱中的水是裝滿時(shí)的？5，用去200立升以后，剩余的水是裝滿時(shí)的3巳，這個(gè)水箱的

64

容積是多少立升？

【分析與解】

53

200+（—--）=2400（立升）。

64

【例4】（難度級(jí)別派※）

古希臘杰出的數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上有一段話：“他生命的六分之一是幸福的童年.再活十

二分之一臉上長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的胡須，他結(jié)了婚還沒(méi)有孩子，又度過(guò)了七分之一。再過(guò)了五年,

他幸福地得到了一個(gè)兒子?？蛇@孩子光輝燦爛的壽命只有他父親的一半。兒子死后，老人在

悲痛中活了四年，也結(jié)束了塵世的生涯"。你能根據(jù)這段話推算出丟番圖活了多少歲？多少

歲結(jié)的婚嗎？

【分析與解】

活的歲數(shù)：（5+4）+（1—工―工―工―工）=84（歲），結(jié)婚年齡：84x（1+—）=21（歲）。

61272612

【例5】（難度級(jí)別※派）

幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3,中

班中男生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1,那么大班有女生多少名？

【分析與解】

設(shè)大班女生有x名，則中班女生有（18-x）名.根據(jù)男生數(shù)可列出

52

方程：xX-+（18-x）X-=32,解得x=12.

31

所以大班有女生12名.

【例6】（難度級(jí)別※派）

某運(yùn)輸隊(duì)運(yùn)一批大米.第一天運(yùn)走總數(shù)的!多60袋，第二天運(yùn)走總數(shù)的l少60袋.還剩

54

下220袋沒(méi)有運(yùn)走。這批大米原來(lái)一共有多少袋？

【分析與解】

可畫圖幫助學(xué)生理解，（220-60+60）+（1-J-1）=400（袋）.此題也可使用倒推法解決.

54

【例7】（難度級(jí)別派※※）

甲、乙、丙三人一起買了八個(gè)面包平分著吃，甲拿出五個(gè)面包的錢，乙付了三個(gè)面包的錢，

丙沒(méi)帶錢，等吃完后一算，丙應(yīng)該拿出四元錢，問(wèn)：甲應(yīng)收回多少錢？（以角為單位）

【分析與解】

QQ

每人應(yīng)付一個(gè)面包的錢，丙拿出的40角就是一個(gè)面包的錢，所以一個(gè)面包的價(jià)格應(yīng)為：

33

QQ

40--=15（角），甲多付的錢為：（5--）xl5=35（角），所以甲應(yīng)收回35角。

【例8】（難度級(jí)別派※※）

學(xué)校派出60名選手參加2008年“華羅庚金杯小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽”，其中女選手占4.正式比

4

2

賽時(shí)有幾名女選手因故缺席，這樣就使女選手人數(shù)變?yōu)閰①愡x手總數(shù)的正式參賽的女

11

選手有多少名？

【分析與解】

因?yàn)榕x手人數(shù)有變化，男選手人數(shù)未變，所以抓住男選手人數(shù)不變求解.把總?cè)藬?shù)視為

1?

“1”，男選手人數(shù)是60X（1-—）=45（人），男選手人數(shù)占正式參賽選手總數(shù)的1-一，所

411

22

以正式參賽選手總數(shù)是：45+（1--）=55（人），正式參賽的女選手人數(shù)是55X—=10（人）。

1111

【例9】（難度級(jí)別※派）

己知甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，甲：（乙+丙）=4：3,乙：丙=2：7,求甲：乙：丙.

【分析與解】

由乙：丙=2:7得到乙：（乙+丙）=2:9,丙：（乙+丙）=7:9,而甲：（乙+丙）=4:3,所

一427

以甲：乙：丙一：一：一=12：2：7。

399

【例10］（難度級(jí)別派※）

專業(yè)戶王老伯養(yǎng)了許多雞鴨，雞的只數(shù)是鴨的只數(shù)的倍.鴨比雞少幾分之幾？

4

【分析與解】

把鴨看成1,那么雞就是1,，鴨比雞少：（1，-1）+1-=-.（此時(shí)的單位“1”是雞的

4445

只數(shù)）

【例11］（難度級(jí)別派※）

有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放人16塊水果糖后，奶糖就只占25%那么，這堆糖果中

有奶糖多少塊？

【分析與解】

459251

方法一：原來(lái)奶糖占——=——，后來(lái)占——=—,因此后來(lái)的糖果數(shù)是奶糖的4倍，也比

100201004

9

原來(lái)糖果多16粒，從而原來(lái)的糖果是16+（4x——1）=20塊.

20

9

其中奶糖有20X—=9塊.

20

方法二：原來(lái)奶糖與其他糖（包含水果糖）之比是45%：（1-45%）=9：11,

設(shè)奶糖有9份，其他糖（包含水果糖）有11份.

現(xiàn)在奶糖與其他糖之比是25%:（1-25%）=1:3=9:27,

奶糖的份數(shù)不變，其他糖的份數(shù)增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16塊，所以，

I份即1塊.奶糖占9份，就是9塊奶糖.

【例12］（難度級(jí)別派※※）

李大娘把養(yǎng)的雞分別關(guān)在東、西兩個(gè)院內(nèi).已知東院養(yǎng)雞40只；現(xiàn)在把西院養(yǎng)雞總數(shù)的,

4

賣給商店，!賣給加工廠，再把剩下的雞與東院全部的雞相加，其和恰好等于原來(lái)東、西兩

3

院養(yǎng)雞總數(shù)的50%.原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞多少只？

【分析與解】

方法一：設(shè)原來(lái)東西兩院一共養(yǎng)雞工只，那么西院養(yǎng)雞（工一40）只.

依題意：.(x-40)xf1—：—；)+40=gx,解出x=280.

即原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞280只.

方法二：50%即工，東、西兩院剩下的雞等于東院的工加上西院的工，即20+,西院原養(yǎng)

2222

雞數(shù).

有東院剩下40只雞，西院剩下原1—工一』=9的雞.

4312

所以有西院原養(yǎng)雞（40—20）4-=240只，即原來(lái)東、西兩院一共養(yǎng)雞40+240=280

只.

【例13］（難度級(jí)別派※※）

學(xué)而思學(xué)校四五六年級(jí)共有615名學(xué)生，已知六年級(jí)學(xué)生的土，等于五年級(jí)學(xué)生的等

25

于四年級(jí)學(xué)生的士3。這三個(gè)年級(jí)各有多少名學(xué)生學(xué)生？

7

【分析與解】

173

將六年級(jí)學(xué)生的一，等于五年級(jí)學(xué)生的一，等于四年級(jí)學(xué)生的一，看作一個(gè)單位，那么六

257

7

年級(jí)學(xué)生人數(shù)等于2個(gè)單位，五年級(jí)學(xué)生等于2.5個(gè)單位，四年級(jí)學(xué)生等于一學(xué)生，所以

3

57

六年級(jí)、五年級(jí)、四年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比為2：-：—=12：15：14,所以六年級(jí)學(xué)生人數(shù)為

23

1215

615x---------=180人，五年級(jí)學(xué)生人數(shù)為615x----------=225人，四年級(jí)學(xué)生人

12+15+1412+15+14

14

數(shù)為615x=210A.

12+15+14

【例14］（難度級(jí)別派※※）

用一批紙裝訂一種練習(xí)本.如果已裝訂120本，剩下的紙是這批紙的40%；如果裝訂了185

本，則還剩下1350張紙.這批紙一共有多少?gòu)垼?/p>

【分析與解】

方法一：裝訂120本，剩下40%的紙，即用了60%的紙.那么裝訂185本，需用185X（60%

4-120）=92.5%的紙，即剩下1-92.5%=7.5%的紙，為1350張.所以這批紙共有1350

4-7.5%=18000張.

方法二：120本對(duì)應(yīng)（1-40%=）60%的總量，那么總量為120。60%=200本.當(dāng)裝訂了

185本時(shí)，還剩下200-185:15本未裝訂，對(duì)應(yīng)為1350張，所以每本需紙張：1350?

15=90張，那么200本需200X90=18000張.即這批紙共有18000張.

【例15］（難度級(jí)別派※※※）

一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，黑子與白子的個(gè)數(shù)之比為2:1；再拿走45

枚黑棋子后，黑子與白子的個(gè)數(shù)比為1:5,開(kāi)始時(shí)黑棋子和白棋子各有多少枚？

【分析與解】

第二次拿走45枚黑棋，黑子與白子的個(gè)數(shù)之比由2:1（=10:5）變?yōu)?:5,而其中白棋的數(shù)

目是不變的，這樣我們就知道白棋由原來(lái)的10份變成現(xiàn)在的1份，減少了9份。這樣原來(lái)黑

棋=45+9X10=50,白棋=45+9X5+15=40。

【例16］（難度級(jí)別派※※）

某俱樂(lè)部男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3：2,分為甲、乙、丙三組。已知甲、乙、丙三組的人

數(shù)比是10：8：7,甲組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是3：1,乙組中男、女會(huì)員的人數(shù)之比是

5:3o求丙組中男、女會(huì)員人數(shù)之比。

【分析與解】

1033，人口上311

以總?cè)藬?shù)為1,則甲組男會(huì)員為--------------x-------——，女會(huì)貝為一x-=一,

10+8+73+11010310

1051133

乙組男會(huì)員為--------x----女會(huì)員為一x2=3；

10+8+75+355525

丙組男會(huì)員為女會(huì)員為丙組中男、

19

女會(huì)員人數(shù)之比為—=5：9

1050

【例17](難度級(jí)別派※※※)

6枚壹分硬幣摞在一起與5枚式分硬幣摞在一起一樣高，4枚壹分硬幣摞在一起與3枚伍分

硬幣摞在一起一樣高。用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個(gè)圓柱體，并且三個(gè)圓柱體一樣高，

共用了124枚硬幣，問(wèn)：這些硬幣的幣值為多少元？

【分析與解】

由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為6:5,壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為4:3=6:

4.5,所以壹分硬幣、貳分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為6:5:4.5即12:10:9,因此壹

分硬幣的數(shù)量為124x———=48枚，貳分硬幣的數(shù)量為124%———=40,伍分

12+10+912+10+9

9

硬幣的數(shù)量為124x---------=36枚，這些硬幣一共有48+40X2+36X5=308分.

12+10+9

【例18](難度級(jí)別※※※※)

乙兩車分別從A,B兩地出發(fā)，相向而行.出發(fā)時(shí)，甲、乙的速度比是5：4,相遇后，甲

的速度減少20%,乙的速度增加20%,這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時(shí)，乙離A地還有10千米.問(wèn)：

A,B兩地相距多少千米？

【分析與解】

甲、乙原來(lái)的速度比是5：4,相遇后的速度比是

[5X(1-20%)]：[4X(1+20%)]=4：4.8=5：6.

相遇時(shí)，甲、乙分別走了全程的5/9和4/9.設(shè)全程x千米，剩下的部分甲行的長(zhǎng)度和乙行

48

的長(zhǎng)度之比為5:6,其中相遇后甲行駛了全長(zhǎng)的4/9,所以乙行駛了全長(zhǎng)的§+5x6=百，

所以乙一共行了全長(zhǎng)的1-3-§=所以A、B全長(zhǎng)為450千米.

91545

【例19］（難度級(jí)別※※※※）

一把小刀售價(jià)3元。如果小明買了這把小刀，那么小明與小強(qiáng)剩余的錢數(shù)之比是2：5；如

果小強(qiáng)買了這把小刀，那么兩人剩余的錢數(shù)之比變?yōu)?：13。小明原來(lái)有多少錢？

【分析與解】

由已知，小強(qiáng)的錢相當(dāng)于小明、小強(qiáng)買刀后所剩錢數(shù)和的色一=*,小明的錢相當(dāng)于小明、

2+57

QQ

小強(qiáng)買刀后錢數(shù)和的-----=—,所以小明、小強(qiáng)的錢數(shù)的比值為8:15,而小明買刀后小

8+1321

明、小強(qiáng)的錢數(shù)之比為2:5=6:15,所以小明買刀前后的錢數(shù)之比為8:6=4：3,所以小

4-311

刀的售價(jià)等于小強(qiáng)原來(lái)錢數(shù)的——=-,所以小明的錢數(shù)為3+—=12元.

444

【例20］（難度級(jí)別派※※※）

幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班中男生數(shù)與女生數(shù)