第12講下不等式

第十二講不等式（下）

這一講主要是對不等式的應用和一些雜題進行講解。

基礎知識

不等式的應用

許多數學問題和實際問題所求的未知量往往受到一些條件的限制，可以通過數量關系和分析，列出不

等式（組），運用不等式的有關知識予以求解，不等式（組）的應用主要體現在:

1.作差或作商比較有理數的大小;

2.求代數式的取值范圍；

3.求代數式的最大值或最小值；

4.列不等式（組）解應用題.

列不等式（組）解應用題與列方程（組）解應用題的步驟相仿，關鍵是在理解題意的基礎上，將一些詞語

轉化為不等式.如“不大于”、“不小于”、“正數”、“負數”、“非正數”、“非負數”等對應不等號：“W”、

“〉0?、“<0〃、“W0”、“20”.

二、例題

第一部分不等式的應用

A=_1998x1999B=_1998x2000c=_

例1.（★★浙江省紹興市競賽題）已知'2000x2001，—1999x2001，-

1998x2001

，則有（）.

1999x2000

(A)A>B>C(B)C>B>A

(C)B>A>C(D)B>C)A

2畫91219901

例2.（★★希望杯訓練題）設P=逅uQ=的,則P、Q的關小關系是（）.

2199,+1

(A)P>Q(B)P<Q(C)P=Q(D)不能確定

567893,^5678901235

例3.（★★北京市中考模擬試題）若人=,則A與B的大小關系是

67890123456789012347

例4.（★★★希望杯訓練題）某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣，他

要求硬幣總數為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣要多于2分的硬幣，請你據此設計兌換

方案.

例5.（★★★天津市競賽題）在黑板上從1開始，寫出一組連續(xù)的自然數，然后擦去了一個數，其余的

35—

平均值為17,試問擦去的數是什么數？

例6.（★★★北京市中考模擬試題）某生產小組展開勞動競賽后，每人一天多做10個零件，這樣8個人一天

做的零件超過了200只。后來改進技術，每人一天又多做27個零件。這樣他們4個人一天所做的零件就

超過勞動競賽中8個人做的零件。問他們改進技術后的生產效率是勞動競賽前的幾倍？

例7.（★★★第十六屆江蘇省競賽題）中國第三屆京劇藝術節(jié)在南京舉行，某場京劇演出的票價由2元

至U100元多種，某團體需購買票價6元和10元的票共140張，其中票價為10元的票數不少于票價為

6元的票數的2倍.問這兩種票各購買多少張所需的錢最少？最少需要多少錢？

例8.（★★★2002年蘇州市中考題）某港

受潮汐的影響，近日每天24小時港內的水深

變化大體如圖所示：一般貨輪于上午7時在該

港碼頭開始卸貨，計劃當天卸完貨后離港.已

知這艘貨輪卸完貨后吃水深度為2.5m（吃水

深度即船底離開水面的距離）.該港13規(guī)定：

為保證航行安全，只有當船底與港內水底問的

距離不少于3.5m時，才能進出該港.

根據題目中所給的條件，回答下列問題：

（1）要使該船能在當天卸完貨并完全出港，則出港時水深不能少于m,卸貨最多只能用

小時；

（2）已知該船裝有1200噸貨，先由甲裝卸隊單獨卸，每小時卸180噸，工作了一段時間后，交由乙隊

接著單獨卸，每小時卸120噸.如果要保證該船能在當天卸完貨并安全出港，則甲隊至少應工作幾小時，

才能交給乙隊接著卸？

例9.（★★★2002年黑龍江省中考題）為了迎接2002年世界杯足球賽的到來，某足球協會舉辦了一次

足球聯賽，其記分規(guī)則與獎勵方案如下表：

勝一場平一場負一場

積分310

獎金（元/人）15007000

當比賽進行到第12輪結束（每隊均需比賽12場）時，A隊共積19分

（1）請通過計算，判斷A隊勝、平、負各幾場；

（2）若每賽一場，每名參賽隊員均得出場費500元.設A隊其中一名參賽隊員所得的獎金與出場費的

和為W（元），試求W的最大值.

例10.（★★★★河北省中考題）某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原

料生產A、B兩種產品，共50件.已知生產一件A種產品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克,

可獲利潤700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克，乙種原料10千克，可獲利潤1200元.

（1）按要求安排A、B兩種產品的生產件數，有哪幾種方案?請你設計出來.

（2）（1）中哪種生產方案獲總利潤最大?最大利潤是多少？

例11.（★★★山東省日照市中考題）某新建商場設有百貨部、服裝部和家電部三個經營部，共有190名

售貨員，計劃全商場日營業(yè)額（指每日賣出商品所收到的總金額）為60萬元，由于營業(yè)性質不同，分配

到三個部的售貨員的人數也就不等.根據經驗，各類商品每1萬元營業(yè)額所需售貨員人數如表（1）,每

1萬元營業(yè)額所得利潤情況如表（2）.

商場將計劃日營業(yè)額分配給三個經營部，設分配給百貨部、服裝部和家電部的營業(yè)額分別為x（萬元）、

y（萬元）和z（萬元）（x、y、z都是整數）.

（1）請用含x的代數式分別表示y和z；

（2）若商場預計每日的總利潤為C（萬元），且C滿足19WCW19.7,問這個商場應怎樣分配日營業(yè)額

給三個經營部?各部應分別安排多少名售貨員？

表⑴

商品每1萬元營業(yè)額所需人數

百貨類5

服裝類4

家電類2

表⑵

商品每1萬元營業(yè)額所得利潤

百貨類0.3萬元

服裝類0.5萬元

家電類0.2萬元

第二部分雜題

2r-15-3x

例12.（★★★北京市“迎春杯”競賽題）已知上」-l2x一土三，求

32

次一1|一卜+3|的最大值和最小值.

例13.（★★★江蘇省競賽題）已知三個非負數a、b、c滿足3a+2b+c=-5和2a+b-3c=1,若m=3

a+b-7c,求m的最大值和最小值.

例14.（★★★天津市競賽題）已知x,y,z是三個非負有理數，且滿足3x+2y+z=5,x+y

—z=2,若s=2x+y—z,求s的取值范圍.

三、練習題

3x-l7〉工5+2x

1.（★★★希望杯訓練題）已知有理數X滿足：23，若"一乂―k+2］的最小值為a,

最大值為b,貝!Jab二

2.（★★★★2002年常州市中考題）某校為了獎勵在數學競賽中獲獎的學生，買了若干本課外讀物準備

送給他們.如果每人送3本，則還余8本.如果前面每人送5本，則最后一人得到的課外讀物不足3本.求

該校獲獎的人數及所買課外讀物的本數.

3.（★★★第十屆“希望杯”邀請賽試題）給出四個自然數a、b、c、d,其中每三個數之和分別是180、

197、208、222,求a、b、c、d中最大的數的值.

4.（★★★希望杯訓練題）一種滅蟲藥粉30千克，含藥率是15%,現在要用含藥率較高的同種滅蟲藥

粉50千克和它混合，使混合后的含藥率大于20%而小于35%,則所用藥粉的含藥率x的范圍是（）.

（A）15%<x<23%（B）15%<x<35%

（C）23??x<47%（D）23%<x<50%

5.（★★★★浙江省舟山市中考題）某校組織師生春游，如果單獨租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如

果單獨租用60座客車，可少租1輛，且余30個空座位.

（1）求該校去參加春游的人數；