新工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三 線性代數(shù)及Python實(shí)現(xiàn) 課件 第5章 相似矩陣及二次型

5.1

方陣的特征值與特征向量一、問(wèn)題的引入引例種群增長(zhǎng)模型設(shè)x

代表某種群C

的數(shù)量，y

代表某種群D

的數(shù)量，初態(tài)為一年后的狀態(tài)為：即則第k

年后的狀態(tài)為：?jiǎn)栴}如何計(jì)算？(工業(yè)增長(zhǎng)模型)(某國(guó)的工業(yè)增長(zhǎng)水平)(該國(guó)的環(huán)境污染程度)一、問(wèn)題的引入1.初步設(shè)想若存在一個(gè)可逆矩陣P，使得則進(jìn)一步有且這兩個(gè)向量必須線性無(wú)關(guān)且這兩個(gè)向量必須線性無(wú)關(guān)2.簡(jiǎn)單分析一、問(wèn)題的引入尋找一個(gè)可逆矩陣P，使得即記則對(duì)二階方陣A尋找兩個(gè)向量它們被

A

左乘后正好等于自己的某個(gè)倍數(shù)一、問(wèn)題的引入3.一般性問(wèn)題的提出對(duì)于方陣A，求向量X

和(實(shí))數(shù)l

，使得比如，對(duì)于矩陣則有令從而有二、基本概念定義1設(shè)A

為n

階方陣，如果存在數(shù)l

0

和n

維非零向量X則稱數(shù)l

0

為方陣A

的特征值，非零使得A

X=

l

0

X，向量X稱為A

的屬于特征值l

0

的特征向量。比如，若X

是矩陣A

的屬于特征值l

0的特征向量，(2)屬于同一個(gè)特征值的特征向量不是惟一的。則也是A

的屬于特征值l

0

的特征向量。1.特征值與特征向量注意(1)特征值l

0

可以為零；由有該方程組有非零解的充要條件是分析二、基本概念1.特征值與特征向量2.特征多項(xiàng)式記定義則稱為方陣

A

的特征多項(xiàng)式；稱為方陣A

的特征方程。特征多項(xiàng)式是l的n

次多項(xiàng)式，

特征多項(xiàng)式“具體”形式其中，稱為

A

的跡，即記為由于特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，且其解的個(gè)數(shù)為特征方程的次數(shù)，步驟(1)求解特征方程得到特征值。值(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)。(2)設(shè)

l=l

i

是方陣A

的一個(gè)特征值，則X就是

A

的求解齊次線性方得到非零解程組對(duì)應(yīng)于特征值l

i

的特征向量。三、特征值與特征向量的求解方法因此

n

階方陣有

n

個(gè)特征例求矩陣的特征值與特征向量。解(1)

A

的特征多項(xiàng)式為故

A

的特征值為(單根)(單根)(2)當(dāng)時(shí)，求解得基礎(chǔ)解系為故

A

的屬于特征值的所有特征向量為由有(3)當(dāng)時(shí)，求解得基礎(chǔ)解系為故

A

的屬于特征值的所有特征向量為由有解(1)

A

的特征多項(xiàng)式為故

A

的特征值為(單根)(重根)(2)當(dāng)時(shí)，求解得基礎(chǔ)解系為故

A

的屬于特征值的所有特征向量為由有(3)當(dāng)時(shí)，求解得基礎(chǔ)解系為由有故A

的對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為例求矩陣的特征值與特征向量。解(1)

A

的特征多項(xiàng)式為故A

的特征值為(單根)(重根)求解得基礎(chǔ)解系為故A

的對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為(2)當(dāng)時(shí)，由有(3)當(dāng)時(shí)，由有求解得基礎(chǔ)解系為故A

的對(duì)應(yīng)于特征值的所有特征向量為解設(shè)l是A

的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為X，則即又由由有即得或例設(shè)方陣

A

為冪等矩陣(即)，求

A

的特征值。因此有設(shè)n

階方陣的特征值為則有性質(zhì)1四、特征值的性質(zhì)證明由有又兩式比較即得性質(zhì)成立。結(jié)論方陣A

可逆若為A

的特征值，注為B

的特征值，不能推出，設(shè)為A

的特征值，則有性質(zhì)2四、特征值的性質(zhì)(1)為的特征值；(3)若A

可逆，則為的特征值。(2)為的特征值證明(1)由(2)由(3)由為A+B

的特征值，為AB

的特征值。設(shè)為A

的特征值，則有性質(zhì)3四、特征值的性質(zhì)(1)為的特征值；(2)為的特征值，證明(2)(略)。(1)由其中，故矩陣B

的特征值分別為例已知三階矩陣A

的特征值為1,-1,2，試求矩陣

B

的特征值以及矩陣解(1)令則(2)例設(shè)四階方陣A

滿足：求的一個(gè)特征值。解(1)由A

是四階方陣且知A

可逆且有由可得從而有(2)又由知A

有一個(gè)特征值為故

有一個(gè)特征值為即得

有一個(gè)特征值為練習(xí)：設(shè)3階方陣A

的特征值為1,?1,2，求A*+3A?2E的特征值．解：

A*+3A?2E=|A|A?1+3A?2E=?2A?1+3A?2E=j

(A)其中|A|=1×(?1)×2=?2．設(shè)l是

A的一個(gè)特征值，p

是對(duì)應(yīng)的特征向量．令則性質(zhì)1五、特征向量的性質(zhì)方陣A

的一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的非零線性組合仍為該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。則有證明設(shè)是A

的特征值對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征向量，即是A

的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。注方陣A

的一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的所有特征向量再添上零向量構(gòu)成方陣A的一個(gè)特征子空間。五、特征向量的性質(zhì)性質(zhì)2屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。對(duì)應(yīng)的特征向量，(1)對(duì)于令(a)(b)由于故有同理可得即性質(zhì)對(duì)時(shí)成立。由得則有設(shè)是方陣

A

的不同特征值令則有(c)(d)又由于故有代入(d)可得性質(zhì)得證。根據(jù)歸納法假設(shè)，有(2)假設(shè)時(shí)性質(zhì)成立，需證時(shí)也成立

.由得向量，證明不是A

的特征向量。例設(shè)是A

的兩個(gè)不同的特征值

對(duì)應(yīng)的特征假設(shè)是A

的特征向量，則存在使得證由題意有線性無(wú)關(guān)，且由線性無(wú)關(guān)，有即與矛盾，故不是A

的特征向量。五、特征向量的性質(zhì)性質(zhì)3方陣

A

的

s

個(gè)不同的特征值各自所對(duì)應(yīng)的

s

組線性無(wú)關(guān)的特征向量并在一起仍然是線性無(wú)關(guān)的。證明設(shè)A

的特征值及各自對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量如下：(線性無(wú)關(guān))(線性無(wú)關(guān))(線性無(wú)關(guān))令假設(shè)則由性質(zhì)

1

可知是對(duì)應(yīng)的特征向量，再由性質(zhì)

2

與上式

(a)

可推出矛盾，因此又由線性無(wú)關(guān)，有故性質(zhì)的結(jié)論成立。記則(a)對(duì)于

n

階矩陣A，如果l

0是A

的特征方程的

k

重根，則矩陣A

對(duì)應(yīng)于特征值l

0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的五、特征向量的性質(zhì)性質(zhì)4個(gè)數(shù)表明對(duì)于n

階矩陣A，不一定能找到n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，除非對(duì)于A中的任意一個(gè)特征值，其線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)正好等于該特征值的重?cái)?shù)?！?.2

相似矩陣與矩陣的對(duì)角化定義2

設(shè)A,B

都是n階矩陣，若有可逆矩陣P

滿足P

?1AP=B，則稱B為矩陣A

的相似矩陣，或稱矩陣A

和B相似．記作A~B．性質(zhì)1若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項(xiàng)式相同,從而A

和B的特征值也相同．(逆命題不成立)證明：根據(jù)題意，存在可逆矩陣P

，使得P

?1AP=B．于是

|B?lE|=|P

?1AP?P

?1(lE)P|=|P

?1(A?lE)P|=|P

?1||A?lE||P|=|A?lE|．定理：若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項(xiàng)式相同,從而A

和B的特征值也相同．推論：若n階矩陣A

和B相似，則A

的多項(xiàng)式j(luò)

(A)和B的多項(xiàng)式j(luò)

(B)相似．證明：設(shè)存在可逆矩陣P

，使得P

?1AP=B，則P

?1AkP=Bk

.設(shè)j

(x)=cmxm+cm?1xm?1+…+c1x+c0，那么P

?1j

(A)P

=P

?1

(cmAm+cm?1Am?1

+…+c1A

+c0

E)P

=cmP

?1Am

P+cm?1P

?1Am?1

P+…+c1

P

?1

AP+c0

P

?1EP

=cmBm+cm?1Bm?1+…+c1B+c0

E=j

(B).定理：設(shè)n階矩陣L

=diag(l1,l2,…,ln)，則l1,l2,…,ln

就是L

的n個(gè)特征值．證明：故l1,l2,…,ln

就是L

的n個(gè)特征值．定理：若n階矩陣A

和B相似，則A

和B的特征多項(xiàng)式相同,從而A

和B的特征值也相同．推論：若n階矩陣A

和B相似，則A

的多項(xiàng)式j(luò)

(A)和B的多項(xiàng)式j(luò)

(B)相似．若n階矩陣A

和n階對(duì)角陣L

=diag(l1,l2,…,ln)相似，則從而通過(guò)計(jì)算j

(L)可方便地計(jì)算j

(A).若j

(l)=|A?lE|，那么j

(A)=O（零矩陣）.可逆矩陣P

，滿足P?1AP=L（對(duì)角陣）AP=PLApi=li

pi(i=1,2,…,n)A

的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量其中?P.138定理1：n階矩陣A

和對(duì)角陣相似當(dāng)且僅當(dāng)A

有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量推論：如果A

有n個(gè)不同的特征值，則A

和對(duì)角陣相似．例1

判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解解之得基礎(chǔ)解系求得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對(duì)角矩陣.A能否對(duì)角化？若能對(duì)角例2解解之得基礎(chǔ)解系所以可對(duì)角化.注意

即矩陣的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置要相互對(duì)應(yīng)．小結(jié)

這種變換的重要意義在于簡(jiǎn)化對(duì)矩陣的各種運(yùn)算，其方法是先通過(guò)相似變換，將矩陣變成與之等價(jià)的對(duì)角矩陣，再對(duì)對(duì)角矩陣進(jìn)行運(yùn)算，從而將比較復(fù)雜的矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的對(duì)角矩陣的運(yùn)算．

相似變換是對(duì)方陣進(jìn)行的一種運(yùn)算，它把A變成．思考題思考題解答結(jié)束5.3.1

向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性向量的內(nèi)積定義：設(shè)有n維向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

，則稱[x,y]為向量x

和y

的內(nèi)積．說(shuō)明：內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．內(nèi)積可用矩陣乘法表示：當(dāng)x

和y都是列向量時(shí)，[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．定義4：設(shè)有n維向量令則稱[x,y]為向量x

和y

的內(nèi)積．向量的內(nèi)積[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．線性性質(zhì)：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，[x,x]=0； 當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，[x,x]>0．施瓦茲（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．線性性質(zhì)：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z][x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．線性性質(zhì)：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，[x,x]=0； 當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，[x,x]>0．[x,x]=x12+x22+…+xn2

≥0[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中x,y,z

為n維向量，l為實(shí)數(shù)）：對(duì)稱性：

[x,y]=[y,x]．線性性質(zhì)：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，[x,x]=0； 當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，[x,x]>0．施瓦茲（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．回顧：線段的長(zhǎng)度x1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令x=(x1,x2)T，則若令x=(x1,x2,x3)T，則[x,x]=x12+x22+…+xn2

≥0向量的長(zhǎng)度定義5：令稱||x||為n維向量x的長(zhǎng)度（或范數(shù)）．當(dāng)||x||=1時(shí)，稱x為單位向量．向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì)：非負(fù)性：當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，||x||=0；當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，||x||>0．齊次性：||l

x||=|l|

·

||x||．向量的長(zhǎng)度定義：令稱||x||為n維向量x的長(zhǎng)度（或范數(shù)）．當(dāng)||x||=1時(shí)，稱x為單位向量．向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì)：非負(fù)性：當(dāng)x=0（零向量）時(shí)，||x||=0；當(dāng)x≠0（零向量）時(shí)，||x||>0．齊次性：||l

x||=|l|

·

||x||．三角不等式：

||x+y||≤

||x||+||y||．xyx+yy向量的正交性施瓦茲（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]=||x||·||y||當(dāng)x≠0且y≠0時(shí)，定義6：當(dāng)x≠0且y≠0時(shí)，把稱為n維向量x

和y

的夾角．定義7：當(dāng)[x,y]=0，稱向量x

和y

正交．結(jié)論：若x=0，則x

與任何向量都正交．xy定義8：兩兩正交的非零向量組成的向量組成為正交向量組.

若一個(gè)正交向量組中每一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為單位正交向量組或標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.定理3：若

n維向量a1,a2,…,ar是一組兩兩正交的非零向量，則a1,a2,…,ar線性無(wú)關(guān)．證明：設(shè)k1a1+k2a2+…+krar=

0（零向量），那么

0=

[a1,0]

=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr

[a1,ar]=k1[a1,a1]

+

0

+

…+0

=k1||a1||2從而k1

=

0．同理可證，k2=k3=…=kr=0．綜上所述，a1,a2,…,ar線性無(wú)關(guān)．例：已知3維向量空間R3中兩個(gè)向量正交，試求一個(gè)非零向量a3

，使a1,a2,a3兩兩正交．分析：顯然a1⊥a2

．解：設(shè)a3=(x1,x2,x3)T

，若a1⊥a3

，a2⊥a3，則

[a1,a3]=a1T

a3=x1+x2+x3=0[a2,a3]=a2T

a3=x1－

2x2+x3=0得從而有基礎(chǔ)解系，令．定義：n維向量e1,e2,…,er是向量空間中的向量，滿足e1,e2,…,er是向量空間V

中的一個(gè)基（最大無(wú)關(guān)組）；e1,e2,…,er兩兩正交；e1,e2,…,er都是單位向量，則稱e1,e2,…,er

是V

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．（規(guī)范正交基）例：是

R4的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．也是

R4的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．是

R4的一個(gè)基，但不是標(biāo)準(zhǔn)正交基．設(shè)

e1,e2,…,er是向量空間V

中的一個(gè)正交基，則V中任意一個(gè)向量可唯一表示為x=l1e1+l2e2+…+lrer于是特別地，若e1,e2,…,er

是V

的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，則問(wèn)題：向量空間V

中的一個(gè)基a1,a2,…,ar

向量空間V

中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基

e1,e2,…,er？求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化過(guò)程設(shè)a1,a2,…,ar

是向量空間V

中的一個(gè)基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基b1c2a2b2返回令c2

為a2

在b1上的投影，則c2=l

b1，若令b2=a2－c2=

a2－

l

b1，則b1⊥b2

．下面確定l

的值．因?yàn)樗裕瑥亩鴄2－b1第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化過(guò)程設(shè)a1,a2,…,ar

是向量空間V

中的一個(gè)基，那么令于是

b1,b2,…,br兩兩正交，并且與a1,a2,…,ar

等價(jià)，即

b1,b2,…,br

是向量空間V

中的一個(gè)正交基．特別地，b1,…,bk與a1,…,ak

等價(jià)（1≤

k

≤

r）．第二步：?jiǎn)挝换O(shè)b1,b2,…,br

是向量空間V

中的一個(gè)正交基，那么令因?yàn)閺亩鴈1,e2,…,er

是向量空間V

中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基．例：設(shè)，試用施密特正交化過(guò)程把這組向量標(biāo)準(zhǔn)正交化．解：第一步正交化，取例：設(shè)，試用施密特正交化過(guò)程把這組向量標(biāo)準(zhǔn)正交化．解：第二步單位化，令例：已知，試求非零向量a2,a3

，使a1,a2,a3兩兩正交.解：若a1⊥a2

，a1⊥a3，則

[a1,a2]=a1T

a2=x1+x2+x3=0[a1,a3]=a1T

a3=x1+x2+x3=0即a2,a3

應(yīng)滿足方程x1+x2+x3=0．基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系正交化即為所求．（以保證a2⊥a3成立）定義：如果

n階矩陣A滿足ATA=E，則稱矩陣A

為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣．9即A?1=AT，于是從而可得方陣A

為正交陣的充分必要條件是A

的列向量都是單位向量，且兩兩正交．

即

A

的列向量組構(gòu)成Rn

的標(biāo)準(zhǔn)正交基．定義：如果

n階矩陣A滿足ATA=E，即A－1=AT，則稱矩陣A

為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣．

方陣A

為正交陣的充分必要條件是A

的列向量都是單位向量，且兩兩正交．即

A

的列向量組構(gòu)成Rn

的標(biāo)準(zhǔn)正交基.因?yàn)锳TA=E與AAT=E等價(jià)，所以定義：如果

n階矩陣A滿足ATA=E，即A－1=AT，則稱矩陣A

為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣．方陣A

為正交陣的充分必要條件是A

的列向量都是單位向量，且兩兩正交．即

A

的列向量組構(gòu)成Rn

的標(biāo)準(zhǔn)正交基．方陣A

為正交陣的充分必要條件是A

的行向量都是單位向量，且兩兩正交．

即

A

的行向量組構(gòu)成Rn

的標(biāo)準(zhǔn)正交基.P147定理4例：正交矩陣R4的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基正交矩陣具有下列性質(zhì)：若A

是正交陣，則A?1

也是正交陣，且|A|=1或－1．若A

和B是正交陣，則

A

和B也是正交陣．§5.3.2

實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量性質(zhì)1

實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)，其特征向量一定是實(shí)向量。證明略定理1的意義性質(zhì)：設(shè)l1,l2,…,lm

是方陣A

的特征值，p1,p2,…,pm依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果l1,l2,…,lm

各不相同，則p1,p2,…,pm

線性無(wú)關(guān)．（P.134性質(zhì)3）性質(zhì)2

設(shè)l1和l2

是實(shí)對(duì)稱陣A

的特征值，p1,p2

是對(duì)應(yīng)的特征向量，如果l1≠

l2

，則

p1,p2

正交．（P.148性質(zhì)2）證明：A

p1=l1p1，

A

p2=l2

p2

，l1≠

l2

l1p1T

=(l1p1)T=(A

p1)T=p1TAT

=p1TA（A是對(duì)稱陣）l1p1T

p2=p1TA

p2=p1T

(l2

p2

)=l2p1T

p2(l1?l2)p1T

p2=0因?yàn)閘1≠

l2

，則p1T

p2=0，即

p1,p2

正交．性質(zhì)3

設(shè)

A為n階實(shí)對(duì)稱陣，l是A的特征方程的k重根，則矩陣A

?lE

的秩等于

n?k，恰有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量與特征值l對(duì)應(yīng)．§5.3.3

實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定理5：設(shè)

A為n階實(shí)對(duì)稱陣，則必有正交陣P，使得P

?1AP=PTAP=L，其中L

是以A

的n

個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣（P不唯一）.（P.149定理5）定理1：n階矩陣A

和對(duì)角陣相似（即A能對(duì)角化）的充分必要條件是A

有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．（P.138定理1）性質(zhì)3

設(shè)

A為n階實(shí)對(duì)稱陣，l

是A的特征方程的k重根，則矩陣

A

?lE

的秩等于n?k，恰有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量與特征值l

對(duì)應(yīng)．（P148）

例：設(shè)，求正交陣P，使P?1AP=L對(duì)角陣.解：因?yàn)?/p>

A是對(duì)稱陣，所以A

可以對(duì)角化．求得A

的特征值l1=?2，l2=l3=1．當(dāng)l1=?2時(shí)，解方程組(A+2E)x=0．

，得基礎(chǔ)解系．當(dāng)l2=l3=1時(shí)，解方程組(A?E)x=0．

，得．令，則.問(wèn)題：這樣的解法對(duì)嗎？當(dāng)l1=?2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)l2=l3=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為.顯然，必有x1⊥x2

，x1⊥x3

，但x2⊥x3

未必成立．于是把x2,x3正交化：此時(shí)x1⊥h2

，x1⊥h3

，h2⊥h3

．單位化：當(dāng)l1=?2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)l2=l3=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為.當(dāng)l1=?2時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)l2=l3=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為于是

p1,p2,p3

構(gòu)成正交陣從而．把對(duì)稱陣A

對(duì)角化的步驟為：求出A

的所有各不相同的特征值l1,l2,…,ls

，它們的重?cái)?shù)依次為k1,k2,…,ks

（k1+k2+…+ks=n）．對(duì)每個(gè)ki

重特征值li

，求方程組|A?li

E|=0的基礎(chǔ)解系，得ki

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量