新工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三 線性代數(shù)及Python實現(xiàn) 課件 4.4 向量空間

§4.4

向量空間數(shù)域的概念定義12：數(shù)集F如果滿足條件：(1)0與1在F中；

(2)F中任意兩個數(shù)的和、差、積、商仍在F中，則稱數(shù)集F為數(shù)域.例如：全體實數(shù)的集合R是數(shù)域;

全體有理數(shù)的集合Q也是數(shù)域

向量空間的概念向量空間的概念定義：設(shè)V

是n

維向量的集合，如果①集合V

非空，②集合V

對于向量的加法和乘數(shù)兩種運算封閉，具體地說，就是：若a

∈

V，b

∈

V，則a+b

∈

V．（對加法封閉）若a

∈

V，l

∈

R，則l

a

∈

V．（對乘數(shù)封閉）那么就稱集合V為向量空間．例：下列哪些向量組構(gòu)成向量空間？

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}非齊次線性方程組的解集S2={x|Ax=b}解：集合Rn，V1，S1是向量空間，集合V2，S2不是向量空間．定義：齊次線性方程組的解集稱為齊次線性方程組的解空間.例：設(shè)a,b為兩個已知的n維向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一個向量空間嗎？解：設(shè)x1,x2∈L，k∈R，因為x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一個向量空間．定義：把集合L={la+mb|l,m∈R}稱為由向量a,b所生成的向量空間．一般地，把集合

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}稱為由向量a1

,a2

,...,am所生成的向量空間．a(chǎn)laL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablambalaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablamba1a2L1={l1a1+l2a2|l1,l2∈R}L2={m1b1+m2b2|m1,m2∈R}則

L1=L2L3={m1b1+m2b2+m3b3|m1,m2,m3∈R}問題：L1=L2=L3?b1b2b3返回向量空間的基的概念定義14：設(shè)V是一個向量空間，如果在V

中能選出r個向量a1,a2,…,ar，滿足①a1,a2,…,ar線性無關(guān)；②V

中任意一個向量都能由a1,a2,…,ar線性表示；那么稱向量組a1,a2,…,ar

是向量空間V

的一組基底，簡稱基．r

稱為向量空間V

的維數(shù)，記為dimV.即dimV=r,并稱V

為r

維向量空間

．

向量空間向量空間的基向量空間的維數(shù)向量組向量組的最大無關(guān)組向量組的秩

n

維向量的全體Rn解：En

的列向量組是Rn的一個基，故Rn

的維數(shù)等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：En

的后n－1個列向量是V1的一個基，故

V1的維數(shù)等于n－1

．

n

元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}解：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是S1的一個基，故

S1的維數(shù)等于n－R(A)．由a1

,a2

,...,am所生成的向量空間L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}若a1

,a2

,...,am線性無關(guān)，則

a1

,a2

,...,am是向量空間L

的一個基．若a1

,a2

,...,am線性相關(guān)，則

向量組A：a1

,a2

,...,am等價于 向量組A的最大無關(guān)組A0：a1

,a2

,...,ar從而L=L1={l1a1+l2a2+…+lr

ar|l1,l2,...,lr∈R}故向量組A0就是L的一個基，A0中向量的個數(shù)就是L的維數(shù).L={l1a1+l2a2+l3a3|l1,l2,l3∈R}

向量組a1,a2,a3

等價于 相應(yīng)的最大無關(guān)組a1,a2所以L={m1a1+m2a2|m1,m2∈R}從而a1,a2就是

L的一個基，L的維數(shù)等于2．a(chǎn)3a1a2結(jié)論：等價的向量組所生成的空間相等．

例：的列向量組是R3

的一個基，那么b

在基e1,e2,e3中的坐標(biāo)n

階單位矩陣En

的列向量組稱為Rn的基．上三角形矩陣的列向量組也是R3

的一個基，那么結(jié)論：同一個向量在不同基中的坐標(biāo)是不同的．例：設(shè)驗證a1,a2,a3是R3的一個基，并求b1,b2在這個基中的坐標(biāo).分析：a1,a2,a3是R3的一個基R(a1,a2,a3)=3b1,b2在這個基中的坐標(biāo)用a1,a2,a3

表示b1,b2當(dāng)時，A

的列向量組與B

的列向量組有相同的線性關(guān)系．為此，考慮把(A,B)=(a1,a2,a3,

b1,b2)化為行最簡形矩陣．解：于是例：設(shè)驗證a1,a2,a3是R3的一個基，并求b1,b2在這個基中的坐標(biāo).

基變換與坐標(biāo)變換

基變換與坐標(biāo)變換

基變換與坐標(biāo)變換

例：在R3中取定一個基a1,a2,a3

，再取一個新基b1,b2,b3，設(shè)A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)．①求用a1,a2,a3

表示b1,b2,b3的表示式（基變換公式）；②求向量在兩個基中的坐標(biāo)之間的關(guān)系式（坐標(biāo)變換公式）.

封閉的概念定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結(jié)果仍屬于該集合．例：試討論下列數(shù)集對四則運算是否封閉？整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R子空間的概念定義17：如果向量空間V

的非空子集合V1對于V

中所定義的加法及乘數(shù)兩種運算是封閉的，則稱V1是V

的子空間．定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結(jié)果仍屬于該集合．例：試討論下列數(shù)集對四則運算是否封閉？整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R子空間的概念例：

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：V1是Rn

的子空間，V2不是Rn

的子空間．

n

維向量的全體Rn解：En

的列向量組是Rn的一個基，故Rn

的維數(shù)等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：En

的后n－1個列向量是V1的一個基，故

V1的維數(shù)等于n－1

．結(jié)論：若V1是V

的子空間，則V1的維數(shù)不超過V的維數(shù)．

n

元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}解：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是S1的一個基，故

S1的維數(shù)等于n－R(A)．由a1

,a2

,...,am所生成的向量空間L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}解：

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}

向量組A：a1

,a2

,...,am等價于 向量組A的最大無關(guān)組A0：a1

,a2

,...,ar故向量組A0就是L的一個基，A0中向量的個數(shù)就是L的維數(shù).一般來說，若a1

,a2

,...,am∈V，則L

是V

的子空間．若向量組a1

,a2

,...,am是向量空間V

的一個基，那么V={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}例：設(shè)向