福州鑄學(xué)教育9月數(shù)學(xué)月考試卷

福州鑄學(xué)訓(xùn)練9月數(shù)學(xué)月考試卷（理科）

二、填空題（本題共18道小題，每小題5分，共90分）

1.

集合A={xdw2'V』，xGR},B^xlx2-2tx+\<0},若AnB=A,則實(shí)數(shù)，的取值范圍是.

42

2.

己知命題〃：Vx￡之〃，命題,：三不￡A,x2+2QX+2-。=。，若命題"p且q”是真命

題,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

3.

若復(fù)數(shù)上吆的實(shí)部與虛部相等，則h=.

1-z2

4.

若方程f一如+加一1=0有兩根，其中一根大于2一根小于2的充要條件是.

5.

若等比數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和S“=2?3”+尸，則r=.

6.

—y=sin（2x+—）

函數(shù)y=cos（2x+e）（rF<e<4）的圖象向右平移2個(gè)單位后，與函數(shù)3的圖象

重合，則°=

7.點(diǎn)0在△ABC內(nèi)部，且滿意4標(biāo)+5技+6前=1,則AABC的面積與△AB0、△△?）面積之和的比

為.

2x-y>0

8.已知實(shí)數(shù)x,y滿意?x+2y-540,求的取值范圍

xy

”1

9,已知橢圓C卡+/=1（4>人>0）的左右焦點(diǎn)為小K，離心率為g，若尸為橢圓C上一點(diǎn),

且則△/=；2用的面積等于.

10.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)I到直線°（8se+Gsin?）=6的距離為.

11.已知卜，=1|=2,。與b的夾角為不，則a+b在a上的投影為.

12.（5分）直線y=l與曲線y=x?-lx|+a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是

tan/A2c

13.在A4BC中，A、B、C所對邊分別為a、b、c,若1+---+—=0,則4=______.

tan3b

X_x

x

14.已知a'+a~=5(。>0,xeR),則a?+。2=

15.16/17世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的進(jìn)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)

之急，約翰?納皮爾正是在討論天文學(xué)的過程中，為了簡化其中的計(jì)算而創(chuàng)造了對數(shù).后來天才數(shù)

學(xué)家歐拉發(fā)覺了對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即a'，=Nob=log”N.

現(xiàn)在已知2"=3,3&=4,則必=.

16.將/(%)=2、-二的圖像向右平移2個(gè)單位后得曲線G,將函數(shù)y=g(x)的圖像向下平移2

個(gè)單位后得曲線。2，G與0，關(guān)于x軸對稱，若尸(x)=」?+g(x)的最小值為，"，且

a

m>2+/j,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

|log3X1,0<X<3

17.已知函數(shù)/(x)=i1210，若存在實(shí)數(shù)a力,c,d，滿意

—x----x+8,x23

[33

/(?)=f(b)=/(c)=j\d),其中d〉c>>>a〉0,則abed的取值范圍是.

xi+x2

18.定義下凸函數(shù)如下：設(shè)f(x)為區(qū)間I上的函數(shù)，若對任意的X”X2《I總有f(-2~)

f(Xj)+f(x2)

~2,則稱f(x)為I上的下凸函數(shù)，某同學(xué)查閱資料后發(fā)覺了下凸函數(shù)有如下判定

定理和性質(zhì)定理：

判定定理：f(X)為下凸函數(shù)的充要條件是f"(x)NO,Xei,其中f"(x)為f(x)的導(dǎo)函

數(shù)f'(x)的導(dǎo)數(shù).

性質(zhì)定理：若函數(shù)f(X)為區(qū)間I上的下凸函數(shù)，則對I內(nèi)任意的X“X2,…，xn,都有

f(X1)+f(x2)+--+f(xn)X1+X2+…+x

--------------------------/(---------------/.

nn

請問：在aABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為.

三、解答題(本題共5道小題，第共60分)

19.設(shè)命題"：實(shí)數(shù)x滿意V—4奴+3〃<0,其中?！?；命題q:實(shí)數(shù)x滿意上，W0.

x-2

(1)若。=1,且鄉(xiāng)為真，求實(shí)數(shù)X的取值范圍;

(2)若力是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.已知二次函數(shù)/(x)滿意〃x+l)—/(x)=2x(xeR),且"0)=1。

(1)求“X)的解析式；

(2)當(dāng)時(shí)，不等式/(x)>2x+〃「恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍;

(3)設(shè)g(r)=/(2r+a),"[一1,1],求8(￡)的最大值。

21.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若a,,>0,a“=2￡—1.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若2=,，求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和

22.

在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且一‘L二王」

cosAcosB

(1)若/?=J^sin3,求a；

(2)若。=#，A4BC的面積為好，求處c.

2

23.如圖，矩形ABC。中，AB=6,AO=26，點(diǎn)尸是AC上的動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將矩形ABC。沿著對角

線AC折成二面角。'一AC-6,使得。'6=同.

(1)求證：當(dāng)AF=G時(shí)，D'FVBCx

7T

(2)試求CF的長，使得二面角A-O'歹一3的大小為上.

4

試卷答案

_5

1.(-00,-4].

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.

【分析】首先求出集合A,依據(jù)ACB=A,得至IJAUB,設(shè)f(x)=x2-2tx+l,則應(yīng)滿意

ff(-2)<0

求出t的范圍即可.

If(-1XO

【解答］解：A={X|4<2X<4，xeR)={x|-2<x<-1},B={x|x2-2tx+l<0},

42

由于ACB=A,所以AUB,

p(-2)<0(4+4t+l40

設(shè)f(x)-x2-2tx+1,滿意解得

\f(-lXOll+2t+l<0,i41

故答案為：(-8,-昌.

4

2.a=1或。<—2

3.2

4.m>3

試題分析：令/(%)=/-如+根一1,則“方程/一3+加_1=0有兩根，其中一根大于2—

根小于2"<=>/(2)=3-加<0<=>6>3,故應(yīng)填，%>3.

考點(diǎn)：函數(shù)與方程.

5.12

7.15：11

【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用.

【分析】可作5而=6羽，從而可得到神+而=-奇，然后以O(shè)A,0D為鄰邊作平行四邊形

5

OAED,并連接0E,設(shè)交BC于點(diǎn)N,這樣畫出圖形，依據(jù)三角形的相像便可得出膽進(jìn)而便可

NE6

求出黑的值，這樣即可求出跳股的值，從而得出AABC的面積與△ABO、△ACO面積之和的比

ONSA0BC

值.

【解答】解：作5OD=6OC'則5OB+5OD=-瘋；

?e-5(0B+0D)=-40A；

???OB+OD=-^-OA：

5

以水，而為鄰邊作平行四邊形OAED,連接0E,交BC于N,如圖所示：

A

依據(jù)三角形相像得,器q,黑哈;

.ON_4

"OA^ll

.ON4

"AN^

.AN15

??—;

ON4

.S/kABC_15

^AOBC4

.??△ABC的面積與△ABO、△ACO面積之和的比為15：11.

故答案為：15：11.

9.4

解：由題意a=4,e=—=>得a=4,h=2>c=2\/3,

a2

為橢圓C上一點(diǎn)，且4戶鳥=90。，

22

A\PF,\+\PF2\=2a=8,\PF^+\PF2|=4c=48,

（|PG|+|「乙|）2一2|Pg|=48,B|J64-2|町|?|尸瑪|=48,得|/Y；||「思|=8,

故△EPg的面積S=3「耳|"Pg|=gx8=4.

10.^

2

直角坐標(biāo)系中，直線方程為x+6y=G，

點(diǎn)坐標(biāo)為12cos/2si?卜(6,1),

,|x/3+V3-^|X/3

到直線距離”=—/2廠2=V-

#+(a22

11.3

12.(1,

4

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì).

專題：作圖題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

分析：在同始終角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線y=l與曲線y=(-|x|+a的圖象，觀看求解.

解答：解：如圖，在同始終角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線y=l與曲線y=x、|x|+a,

'a>l

觀圖可知，a的取值必需滿意,4a-1<］，

4

解得l<a<3

4

故答案為：(1,至)

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法，著重考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

14.77

15.2

42)

17

【答案】(2L24).

【解析】

試題分析：如下圖所示，由圖形易知1<6<3,則=|log3H=—log3G=|log3b\

=log3b,丁/(a)=/(b),-log3(7=log3b,ab=\f令;/一號(hào)工+8=0,即V—10x+24=0,

解得x=4或x=6,而二次函數(shù)》=3/一￥工+8的圖象的對稱軸為直線乂=5,由圖象知，3<c<5,

d>5,點(diǎn)值/(c))和點(diǎn)均在二次函數(shù)y=x+8的圖象上，故有一=5,

：.d=10—c>由于/ObgxB。一?x3+8=l,當(dāng)lvx<3時(shí)，/(x)=|log3x^log^x.二Ovlog/vL

???1v5v3,二0v/㈤v1,0</(c)<1,由于函數(shù)〃x)在(3,5)上單調(diào)遞夠,且〃3)=1,

/(4)=0,/.3<c<4,abed=lxc4/=c^/=c(10—c)=-c"4-10c

rr

=-(c-5)*+25,?.-3<c<4,.-.21<-(c-5)*+25<24,即21cMed<24.

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象、對致函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性

略

373

18.2

【考點(diǎn)】采用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=sinx,xe(0,n),求導(dǎo)，則f"(x)W-sinx,由正弦函數(shù)的圖

象可知f"(x)<0成立，則f(x)=sinx,xG(0,n)是凸函數(shù)，依據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)

sinA+sinB+sinCW3sin(''+"+一),即可求得sinA+sinB+sinC的最大值.

3

【解答】解：設(shè)f(x)=sinx,x?(0,Jt),則f'(x)=cosx,則f"(x)W-sinx,xG

(0,n),

由當(dāng)XG(0,n),OVsinWl,則f"(x)VO成立，則f(x)=sinx,xG(0,n)是凸函

數(shù)，

由凸函數(shù)的性質(zhì)可知：f(xP+f(x-wf(Xi+X2+—Xn)

nn

則sinA+sinB+sinCW3sin(至1W)yxsin3-二孑心■,

332

/.sinA+sinB+sinC的最大值為:"°,

2

故答案為：也.

2

19.

(1)由f-4改+3。2<0得(％一3。)(1—。)<0，又〃>0，所以QVX<3〃，

當(dāng)。=1時(shí)，1<X<3,即p為真時(shí)實(shí)數(shù)天的取值范圍是l<x<3.

x-3fx-2w0

4為真時(shí)——《0等價(jià)于彳,得2<x<3,

x-2[(x-2)(%-3)<0

即鄉(xiāng)為真時(shí)實(shí)數(shù)次的取值范圍是2Vx43

若〃八4為真，則〃真且9真，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(2,3)

(2)「p是r的充分不必要條件，即r?nr，且「pwr，等于價(jià)〃=>4，且夕工4,

設(shè)A={xk<xv3a},B={x|2<x<3},則

則0<。<2,且3。>3所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(1,2].

20.

(1)設(shè)+云+0(。工0),代入/(x+1)-/(x)=2x和"0)=1,

[2ax+a-\-b=2x(xeR7\,/、2、

并化簡得<I,/.6Z=l.Z?=-l,c=l,/./(x)=x-x+lo4分

[c=l

(2)當(dāng)工￡[一1,1]時(shí)，不等/(x)>2x+機(jī)式恒成馬上不等式/一3%+1>加恒成立，

令g(x)=j?_3x+l,則且(1)=(工_1)_1，當(dāng)時(shí)，g(x)niin=-1?：.m<-\o

8分

(3)g(f)=/(2f+a)=4/+(4a—2"+Q2一a+i,/e[—1,1],對稱軸是x=i^。

10分

①當(dāng)時(shí)，即.4；時(shí)，g〃)^=g(—i)=4-(而-2)+/一a+i=/-5a+7；時(shí)分

②當(dāng)￡^￡<0時(shí)，即時(shí)，g(f)m”=g(i)=4+(4a—2)+02-4+1=02+34+3.14分

1

礦—5ci+7,a-2,

綜上所述：g(f)=?。16分

o\/max1

cr+3ct+3,a>—,

2

21.

解法一：(1)?.““=2底-1,.-^S^^+l)2.

當(dāng)〃=1時(shí)，4s1=(q+l)2,得q=l.

當(dāng)“N2時(shí)，4S,i=(《i+l)2,

???4(S,,-S,T)=(4,+1)2-(%+1)2，

22

4%=a?+2a?-a?_,-2a?_,，即(tz?Xa?-an_,)=2(a?+a?_,)，

?/an>0,an-%=2.........................4分

???數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為4=1,公差為2,

:.an=1+2(〃-1)=2〃-1..........................6分

(2)由(1)可知，"=(2〃-1)?!，

???1=1xg+3x/+5x/+…+(2〃-1>",--@.........................7分

=lx:+3x(+…+(2〃-3).：+(2〃-1).擊,----@.........................8分

①-②得V=3+2(/+/+—+/)-(2"-1>擊........................9分

J____1^

=-+2x^~..........................10分

3.13*'

1------

3

化簡得＜=1一*................12分

解法二：(1)同解法一.

(2)由(1)可知，bn=(2n-\)~,

設(shè)2=(2〃—1)."=(4+8)]一5(〃—1)+用.=(-2加+34—23).1

-2A=2,A=T,

解得

3A-2B=-1,B=-\.

.?也=(2〃-1).最=(_〃_1).持_(_力擊=".擊一(〃+1).上,9分

:.Tn=b}+b2+---+bn

=(1'"-2、》+(2*卜3、最)+~+[”,9-(〃+1>"1

22.

2a3c-2b2sinA3sinC-2sinB

(1)由正弦定理得:------=---------=>---------=-------------------

cosAcosBcosAcosB

即2sinAcos5=3sinCcosA-2sin5cosA,

2(sinAcosB+sinBcosA)=2sinC=3sinCcosA,VsinC0,?‘'?cosA=—,

3

則sinA=@，：人=店紅門呂，.?.由正弦定理得：a=sinA?二一二_5

3sinB-3

(2),.?^45。的面積為好，；.工從4114=好，得6c，=3,

222

工(+。)即(/?+

*.*a=,J.A?+/—gbc=6,82—?bc=6,c)?二16

*/Z?>0,c>0,Jb+c=4

23.

(1)連結(jié)BF.

在矩形ABCD中，AD=2瓜CD=6,

AC=ZCAB=30°,ADAC=60°............................1分

在AADP中，VAF^