小學(xué)數(shù)學(xué)-人教版數(shù)學(xué)六年級下冊鴿巢問題教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

鴿巢原理教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)內(nèi)容】

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》六年級下冊第70-71頁的內(nèi)容。

【設(shè)計理念】

本課通過創(chuàng)設(shè)情境、直觀和實際操作，使學(xué)生進一步經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，并對

一些簡單的實際問題“模型化”，從而在用“抽屜原理”加以解決的過程中，促進邏輯推理能力

的發(fā)展，培養(yǎng)分析、推理、解決問題的能力以及探索數(shù)學(xué)問題的興趣，同時也使學(xué)生感受到

數(shù)學(xué)思想方法的奇妙與作用，在數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練中，逐步形成有序地、嚴(yán)密地思考問題的意

識。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，初步了解“鴿巢原理”，會用“鴿巢原理”解決簡單

的實際問題。

2.通過操作發(fā)展學(xué)生的類推能力，形成比較抽象的數(shù)學(xué)思維。

3.通過“鴿巢原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。

【教學(xué)重點】

經(jīng)歷“鴿巢原理”的探究過程，初步了解“鴿巢原理”。

【教學(xué)難點】

理解“鴿巢原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

【教學(xué)準(zhǔn)備】多媒體課件、每小組4個杯子、5根小棒。

【教學(xué)課時】一課時

【教學(xué)過程】

一、呈現(xiàn)問題，引出探究

“從1、2、3..............100中任意取51個不相同的數(shù)，總有兩個數(shù)一定是互質(zhì)

數(shù)。你知道這是為什么？”

1.出示名題。

師：今天老師給大家?guī)砹艘坏朗澜缂壝}，據(jù)說匈牙利有一個9歲神童波沙用了不到

10秒鐘的時間，就輕松解答出來了。想不想試一試？請看大屏幕：

2.師：時間到，誰能解釋一下？

3.師：這道題好像有些難，怎么辦呢？以前我們遇到復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，通常我們都會怎

么做？那好，今天我們就先從簡單問題開始研究。簡單到什么程度呢？就從王爺爺家養(yǎng)鴿子

的事情說起吧。養(yǎng)鴿子總少不了籠子板書：(鴿子、籠子)

二、操作探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

(一)探究一：研究鴿子比鴿籠多1的情況。

題目1：3只鴿子，有2個鴿籠，鴿子進籠，會有幾種不同的進法？有什么發(fā)

|現(xiàn)？

(1)師：3只鴿子，有2個鴿籠，鴿子全部進籠，有幾種不同的進法？有什么發(fā)現(xiàn)？

請同學(xué)們利用你手中的學(xué)具，以小組為單位，先擺一擺，再畫一畫，然后在小組里交流討論。

(2)師：下面哪個小組上來匯報一下，你們小組的學(xué)習(xí)過程。(1,2)(2,1)(3,

0)(0,3)

請同學(xué)們觀察：第一種進法，籠子里最多有幾只？第二種進法，籠子里最多有幾只？

(3)師：通過剛才的操作，觀察這兩種進法，鴿子最多的那個籠子里的只數(shù)有什么共

同點？你們有什么發(fā)現(xiàn)？

結(jié)論：不管怎么進，總有一個鴿籠里至少飛進了2只鴿子。

(4)師：總有和至少是什么意思？

題目2：4只鴿子，3個鴿籠，鴿子進籠，你又會有什么發(fā)現(xiàn)？

(1)師：依次推下去，4只鴿子，3個鴿籠，鴿子進籠，再來擺擺看，你又會有什么發(fā)

現(xiàn)？

(2)現(xiàn)在請每個小組的同學(xué)，注意分工，注意邊擺邊記錄下來。

(3)請一個小組的同學(xué)上臺完成發(fā)現(xiàn)過程。

題目3：6只鴿子，想飛進5個鴿籠，又會怎么飛呢？

(1)師：我們再往下想，6只鴿子，想飛進5個鴿籠，你感覺會有什么結(jié)果？

(2)你能不能只擺一種方法，就直接證明這個結(jié)論是對的。

(3)試試看，小組一起交流交流。

(4)請一個同學(xué)上臺展示學(xué)習(xí)過程。一邊擺一邊說。

(5)師問：你是怎么擺的？(強化平均分)，將6只鴿子飛入5個鴿巢中。為什么要這

樣擺呢？能不能用算式表示剛才分的過程。

（6）誰會用完整的話語再說一說6只鴿子飛進5個鴿籠的發(fā)現(xiàn)。

（7）電腦演示分的過程。

題目4：出示7只鴿子，想飛進6個鴿籠；10只鴿子，想飛進9個鴿籠里；100只鴿

子放到99個籠子里。

師：用這種方法，結(jié)果會怎么樣？理由是什么？

5.總結(jié)規(guī)律：這么大的數(shù)，你們一口就說出來，有什么規(guī)律呢？

規(guī)律：只要鴿子的數(shù)量比鴿籠的數(shù)量多1,就總有一個鴿籠里面至少有兩只鴿子。

師：如果用字母表示，你會嗎？

總結(jié)：你們太牛了，明日的數(shù)學(xué)家肯定就是你了！

（二）探究二：研究鴿子數(shù)比鴿巢數(shù)多2、多3的情況。

出示：如果5只鴿子飛進3個鴿巢里，會有什么結(jié)果？

L過渡語:我們發(fā)現(xiàn)了鴿子的數(shù)量比籠子的數(shù)量多1,總有一個籠子里至少有2只鴿子。

那如果鴿子的數(shù)量比鴿巢的數(shù)量多2、多3,多4又會有什么樣的結(jié)果呢？想不想試一試？

2.出示題目。

3.大家再來擺擺看，每個鴿巢里分得1只鴿子，余下的2只鴿子，要想求至少數(shù)，又該

怎么分呢？算式應(yīng)該怎么列？

4.回答：把5只鴿子放進3個鴿巢里，會有什么結(jié)果呢？

5.思考：剛才是鴿子數(shù)比鴿籠數(shù)多1的情況，現(xiàn)在鴿子數(shù)比鴿籠多2只，為什么還是''至

少有2只鴿子要飛進同一個鴿舍里”？

（三）探究三：研究鴿子數(shù)比鴿巢數(shù)的2倍多、3倍多…等情況。

題目：如果9只鴿子飛4個鴿巢里，把15根鴿子放在4個鴿巢里，分別又會

有什么結(jié)果？

1.小組內(nèi)討論，再請同學(xué)說結(jié)果和理由。

2.總結(jié)規(guī)律：研究到這里，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

規(guī)律：

把鴿子放入鴿巢里，平均分后有剩余，不管怎么放，總有一個鴿籠里至少放（商+1）個

鴿子。

（四）看有關(guān)抽屜原理資料，讓學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)文化。

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的這一規(guī)律，是一個非常著名的數(shù)學(xué)原理，也就是我們今天研究的第五

單元數(shù)學(xué)廣角“鴿巢問題”（板書課題）。關(guān)于鴿巢問題，還有一段歷史史料，我們一起看：

鴿巢原理，也稱為“抽屜原理”，是組合數(shù)學(xué)中的一個重要原理，最早發(fā)現(xiàn)

這一規(guī)律的人是19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄里克雷，人們?yōu)榱思o(jì)念他從這么平凡的

事情發(fā)現(xiàn)規(guī)律，所以該原理又稱“狄里克雷原理”。

對于這段歷史史料，我們中國人多多少少還是有那么一些遺憾的，我國古代文獻中，有

不少成功運用鴿巢原理來分析問題的例子，如：宋代學(xué)者費袞在《梁溪漫志》中就曾運用抽

屜原理來批駁過“算命”。清代的《潛研堂文集》《茶余客話》中都有類似的文字，但中國

的學(xué)者沒將它及時抽象成一條普遍的原理，最后不得不將這一原理冠以數(shù)百年后西文學(xué)者狄

里克雷的名字。

（五）質(zhì)疑引思：

1.通過剛才的學(xué)習(xí)，鴿巢問題都會解釋了嗎？有沒有什么疑問？

2.那老師現(xiàn)有一個疑問：鴿巢問題在生活中是平凡的的不能再平凡的小事，為什么會從

遙遠的德國流傳到中國？200多年過去了，這個問題還像寶物似被專家引起我們的課本？我

想問同學(xué)們：“鴿巢問題”有什么獨特的魅力呢？（課件出示）

三、應(yīng)用“鴿巢原理”，感受數(shù)學(xué)的魅力。

1.完成做一做第2題。

（1）出示做一做第2題。

思考：這個問題和我們研究的鴿巢問題有聯(lián)系嗎？有什么聯(lián)系？在這道題中，可以把什

么當(dāng)作鴿籠？把什么當(dāng)作鴿子呢？

（2）通過這個游戲，你發(fā)現(xiàn)鴿巢問題有什么魅力？

總結(jié)：鴿巢問題它不只是代表鴿巢問題，就像我們原來學(xué)過的雞兔同籠問題一樣，它好

像是一個模型，代表的是一類數(shù)學(xué)問題。把人比作鴿子雖然不雅，但是從研究的角度大家確

實是找到了他們數(shù)量間的聯(lián)系。

2.三人行，必有兩人性別一定相同，行嗎？說說你的理由。

師：從剛才大家的課堂表現(xiàn)，我突然想起圣人孔子的一句話：三人行，必有我?guī)?。今天?/p>

我想把這句至理名言改一改：三人行，必有兩人性別一定相同，行嗎？說說你的理由。

4.解決課前的問題。

師：是呀，鴿巢問題不只是代表鴿巢問題，它是一個模型，在生活中，我們都能找到他

的影子，現(xiàn)在讓我們再回到課前的那道世界名題，想一想，能不能用模型的思想解決這個問

題。找找看，誰代表鴿子，誰又代表籠子呢？這就是模型的力量。

3.鴿巢問題有什么魅力？

四、全課小結(jié)。

師:現(xiàn)在我們一起來回憶一下我們的研究過程。剛才我們通過一個具體的數(shù)學(xué)問題出發(fā),

研究解法，并上升到一種模型，最后進行應(yīng)用，其實數(shù)學(xué)就是這樣發(fā)展起來的，如果我們在

學(xué)習(xí)各種數(shù)學(xué)問題時能有一種“模型”意識，舉一反三，觸類旁通，那么你必將會走向數(shù)學(xué)

學(xué)習(xí)的自由王國。

五、推薦讀物：

《晏子春秋》里的“二桃殺三士”的故事。

六、板書設(shè)計。

“鴿巢問題”

問題—方法----模型----應(yīng)用

鴿子+籠子=商……余數(shù)至少數(shù)=商+1

322=1

+1

432=1

+1

64-5=1...12=1+1

54-3=1...22=1+1

74-4=1...32=1+1

94-4=2...13=2+1

154-4=3...34=3+1

m4-n=k...c(m>ncWO)k+1

【鴿巢問題】學(xué)情分析

《鴿巢問題》在生活中應(yīng)用廣泛，是一類較為抽象和艱澀的數(shù)學(xué)問題，六年級的學(xué)生

既好動又內(nèi)斂，學(xué)生理解能力、學(xué)習(xí)能力和生活經(jīng)驗己達到能夠掌握本章內(nèi)容的程度。但并

不能從數(shù)學(xué)的角度來理解和運用“抽屜原理”，因此教學(xué)中應(yīng)有意識地讓學(xué)生理解“鴿巢問

題”的“一般化模型”。應(yīng)該說理解并抽象出抽屜原理具有一定的難度。

抽屜原理之所以難，一是難在模型的建立上，比如，思維能力較弱的學(xué)生不能靈活、準(zhǔn)

確的使用特定的術(shù)語（總有、至少）來表述結(jié)論；二是難在它的具體應(yīng)用上，如何找到一些

實際問題與抽屜原理模型之間的聯(lián)系，如何來思考一些變式的情況，有時學(xué)生常常會感到無

從下手。

根據(jù)學(xué)生的實際情況，在教學(xué)時，我們一方面要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，選擇學(xué)生感興趣

的材料作為學(xué)習(xí)素材，緩解學(xué)習(xí)難度帶來的壓力，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性,鼓勵學(xué)生借助學(xué)具、

實物操作、或畫草圖的的方式進行“說理”。另一方面要發(fā)揮學(xué)生的主體性，六年級學(xué)生的

邏輯思維能力、小組合作能力和動手操作能力都有了較大的提高，在教學(xué)中要創(chuàng)造條件和機

會,讓學(xué)生充分發(fā)表自己的見解,發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性,將具體實際與數(shù)學(xué)原理結(jié)合起來，

有助于提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。

“鴿巢問題”教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生，先判斷某個問題是不是鴿巢問題解決的范疇，能不能

將這個問題同“鴿巢原理”結(jié)合起來，是本次教學(xué)能否成功的關(guān)鍵。所以，在教學(xué)中，應(yīng)有

意識地讓學(xué)生理解“鴿巢原理”的“一般化模型”。

《鴿巢問題》的效果分析

鴿巢問題是學(xué)生從未接觸過的新知識，難以理解其真正含義，所以本節(jié)課只有學(xué)生主

動參與到學(xué)習(xí)活動中，才是有效的教學(xué)。

這節(jié)課我讓學(xué)生充分利用學(xué)具操作，為學(xué)生提供主動參與的機會，讓學(xué)生想一想、分一

分通過小組合作，把抽象的數(shù)學(xué)知識同具體的實物結(jié)合起來，化難為易，化抽象為具體，讓

學(xué)生體驗和感悟數(shù)學(xué)。這節(jié)課我還充分為學(xué)生營造寬松自由的學(xué)習(xí)氛圍和學(xué)習(xí)空間，能讓學(xué)

生自己動腦解決一些實際問題，從而更好的理解鴿巢問題。

知識掌握上，六年級的學(xué)生對于總結(jié)規(guī)律的方法接觸比較少，尤其對于“數(shù)學(xué)證明”。

因此，在教學(xué)中，我耐心細致的引導(dǎo)，重在讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和過程，而不是生

搬硬套，只求結(jié)論，力爭讓學(xué)生不但要知其然，更要知其所以然。

創(chuàng)設(shè)情境中，我利用了一道世界級的名題，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)了學(xué)生的求知

欲。在整個教學(xué)過程中，學(xué)生的思維火花一次次閃亮，學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)

模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，體會到數(shù)學(xué)就在身邊。活動化的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生在生動、活

潑的數(shù)學(xué)活動中主動參與、主動實踐、主動思考、主動探索、主動創(chuàng)造；學(xué)生的數(shù)學(xué)知識、

數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)情感得到充分的發(fā)展，從而達到動智與動情的完美結(jié)合，全面提

高學(xué)生的整體素質(zhì)。

不足之處在于教學(xué)過程中沒能夠更多的關(guān)注學(xué)困生的思維活動，一節(jié)課一直擔(dān)心時間問

題，所以很多環(huán)節(jié)優(yōu)生代替了學(xué)困生，缺少了對學(xué)困生及時的給予認(rèn)可和指導(dǎo)。

《鴿巢問題》教后反思

《抽屜原理》以前是奧數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，自從人教數(shù)學(xué)課本中增添了數(shù)學(xué)廣角后，《抽

屜原理》就走進了孩子們的視線中，反復(fù)改編教材后，《抽屜原理》又被改為《鴿巢問題》,

為了上好這一內(nèi)容，我搜集學(xué)習(xí)了很多資料，對我?guī)椭容^大的是教參上一篇題為《解讀“抽

屜原理”教材——對人教版六年級下冊第五單元《數(shù)學(xué)廣角》的剖析》的文章，解決了我的

很多疑惑。

疑惑：

疑惑一：為什么教材上原來叫做《抽屜原理》，現(xiàn)在卻改為《鴿巢問題》？

疑惑二：《鴿巢問題》有什么獨特的魅力？如何幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)學(xué)模型？

第一個疑惑。

為什么教材上原來叫做《抽屜原理》，現(xiàn)在卻改為《鴿巢問題》？

我上網(wǎng)查閱資料，沒見到相關(guān)資料，很多資料上都提到關(guān)于狄里克雷原理，也叫做抽屜

原理，還叫做鴿巢原理，至于，原來教材上稱為《抽屜原理》，現(xiàn)在為什么改為《鴿巢問題》

沒作解釋，于是我就到我們臨沂數(shù)學(xué)智慧坊里問老師們，結(jié)果老師們給我的解釋是：抽屜物

體太抽象，鴿子籠子更形象。聽了他們的解釋，感覺有道理，于是我的整個教學(xué)過程就圍繞

著鴿子和籠子展開教學(xué)，事實證明，孩子是挺喜歡的。課堂上出現(xiàn)很多有趣的童言，如：六

只鴿子放進五個籠子里面，每個籠子里面放一只，剩下的一只你總不能讓它在外面過夜吧,

所以，不管怎么放，總有一個籠子里面至少放2只鴿子……

第二個疑惑。

《鴿巢問題》有什么獨特的魅力？如何幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)學(xué)模型？

“解惑”需要先“知惑”，教學(xué)要從學(xué)生的視角望出去，瞄準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知障礙，否則會

造成“學(xué)生癢的地方?jīng)]抓到，不癢的地方倒是抓到了，結(jié)果還是癢?！痹趥湔n的時候，我反

復(fù)思考?，學(xué)習(xí)鴿巢問題的意義在哪？這節(jié)課的教學(xué)重點在哪？最后我確定，本節(jié)課的教學(xué)應(yīng)

該注重為學(xué)生提供自主探索的空間，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、猜測、操作、推理和交流等數(shù)學(xué)活動

中初步了解“抽屜原理”，學(xué)會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。如何幫助學(xué)生建立清

晰的數(shù)學(xué)模型？

1、經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程。

本節(jié)課運用“感知模型——建立模型一一驗證模型一一應(yīng)用模型”這一模式，讓學(xué)生經(jīng)

歷“鴿巢問題”的探究過程，從探究具體問題到類推得出一般結(jié)論，初步了解“抽屜原理”，

再到實際生活中加以應(yīng)用，找到實際問題和“抽屜原理”之間的聯(lián)系，靈活地解決實際問題。

讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過程，學(xué)會思考數(shù)學(xué)問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

2、提供探索空間。

在試教的過程中，我采用的是四人一個學(xué)習(xí)小組，結(jié)果每個小組中有兩個同學(xué)是非常被

動的，所以在本節(jié)課我就讓兩人一個小組，一個擺，一個作記錄，充分放手，讓學(xué)生自主思

考，采用自己的方法“證明”“把3只鴿子放入2個籠子中，不管怎么放，總有一個籠子

里至少放進2只鴿子”，然后交流展示，評價各種“證明”方法，針對學(xué)生的不同方法教師

給予針對性的鼓勵和指導(dǎo)，讓學(xué)生在自主探索中體驗成功，獲得發(fā)展。

3、注重引導(dǎo)提升。

本節(jié)課的教學(xué)，我通過三次反復(fù)地問：《鴿巢問題》有什么獨特的魅力？很順利地完成

整個數(shù)學(xué)建模的過程。

第一次：”《鴿巢問題》有什么獨特的魅力”——感受模型

本節(jié)課經(jīng)過學(xué)生的動手操作，探索交流，小組合作后，學(xué)生探索出用一一列舉法、假設(shè)

法等方法解決《鴿巢問題》，這時候我提出：老師有一個疑問，鴿巢問題在生活中是平凡的

的不能再平凡的小事，為什么會從遙遠的德國流傳到中國？200多年過去了，這個問題還像

寶物似被專家引起我們的課本？我想問同學(xué)們：“鴿巢問題”有什么獨特的魅力呢？這個問

題提出來后，同學(xué)們一臉的困惑，一臉的不解，終于有那么一兩個同學(xué)舉起了手，膽膽怯怯

地說：“莫非鴿巢問題問題是一類問題？”

第一次發(fā)問，主要就是針對具體的、'‘原汁原味”的鴿巢問題問題發(fā)問，目的是激發(fā)學(xué)

生的探究欲望，向更高的學(xué)習(xí)層次邁進；

第二次：“鴿籠問題有什么獨特的魅力”一一體驗?zāi)Ｐ?/p>

同學(xué)們帶著這些疑問，我出示了兩道練習(xí)題：

1.5個人坐4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人，這是為什么？

2.解釋：三人行，總有一種性別至少是兩個人。

經(jīng)過研究和對比，鴿巢問題不只是代表著鴿巢問題的問題，它就好像是一個模型！我們

可以找到很多它的影子。第二次發(fā)問：“鴿巢問題有什么獨特的魅力嗎？”進一步明確“鴿

巢問題”問題的結(jié)構(gòu)、模型，同時，又讓學(xué)生很好地經(jīng)歷更高層次“數(shù)學(xué)化”的過程；

第三次：“鴿巢問題有什么獨特的魅力”一一應(yīng)用模型

完成初步建模，體驗建模，我出示了課前一道題：

從1、2、3、……、100中任意取51個不相同的數(shù)，總有兩個數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。你知道

這是為什么？

學(xué)生抽象變題：鴿51只，籠50個

第三次發(fā)問，“鴿巢問題有什么獨特的魅力嗎？”更深層次地幫助學(xué)生實現(xiàn)完整的“模

型”建構(gòu)，實現(xiàn)“形式的"數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活的“復(fù)歸”

上述教學(xué)通過對“鴿巢問題有什么獨特的魅力？”這一問題的三次追問把整節(jié)課串聯(lián)起

來，雖然每一次追問的層次和目標(biāo)是不一樣，但是，其核心都是讓學(xué)生完成從“模型思想”

的角度來親近數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)。

不足：

本節(jié)課多數(shù)學(xué)生能積極參與，教學(xué)效果較好，多數(shù)學(xué)生理解鴿巢問題的原理，會用算式

解釋其原理。但是也存在一些不足：

1.因為課前一直擔(dān)心時間可能緊張，所以預(yù)設(shè)只研究鴿子數(shù)平均分到籠子里，平均分后

有剩余的情況，結(jié)果出乎我的意料，平均分后沒有剩余的情況學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，所以課件

是預(yù)設(shè)好的，顯得有些被動。

2.總結(jié)完規(guī)律后，如果再讓學(xué)生用字母把這個原理表示出來就更好了！

3.教學(xué)節(jié)奏有點快，個別學(xué)生思維跟不上。

【數(shù)學(xué)廣角--鴿巢問題】教材分析

一、教學(xué)內(nèi)容和作用。

抽屜原理是人教版六年級下冊第五單元數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容?！俺閷显怼笔菙?shù)學(xué)的重要原

理之一，使學(xué)生在理解“抽屜原理”這一數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，對一些簡單的實際問題加以“模

型化”，在數(shù)論、集合論和組合論中有很多應(yīng)用。它也被廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)實生活中，如招生

錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評定等方面，我們經(jīng)常會看到隱含在其中的“抽屜原理”。

抽屜原理”來源于一個基本的數(shù)學(xué)事實。本單元內(nèi)容通過幾個直觀的例子，借助實際操作,

向?qū)W生介紹“抽屜原理”，得出結(jié)論：

原理一：假如把多于花個元素按任一確定的方式分成正個集合，那么有一個集合中至少

含有2個元素。

原理二:：把多于胸（化是正整數(shù)）個元素按任一確定的方式分成％個集合，那么一定有

一個集合中至少含有（化+1）個元素。

由此可見，所謂“抽屜原理”，實際上是一種解決某種特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)或生活問題的模

型,體現(xiàn)了一種數(shù)學(xué)的思想方法。讓學(xué)生經(jīng)歷將具體問題數(shù)學(xué)化的過程,初步形成模型思想，

體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力、推理能力和應(yīng)用能力，這是《義務(wù)

教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的重要要求，也是本單元的編排意圖和價值取向。

教材編排的“抽屜原理”涉及三種基本的形式：第一種，只要物體的數(shù)量比抽屜多，那

么一定有一個抽屜放進了至少兩個物體。那么，這里的“一定有一個抽屜”是什么意思？“至

少兩個物體”是什么意思？“一定有一個抽屜”是存在性；”至少兩個物體”是可以多于兩

個物體，可以是兩個，也可以是三個、四個甚至更多。第二種，即是“把多于kn（k是正整

數(shù)）個元素放入n個集合，總有一個集合里至少有（k+1）元素”。若k為1,就是第一種情

況，可見第一種情形實際是第二種情形的特例。第三種情況是把無限多個物體（如紅球、藍

球各4個）放進有限多個抽屜（兩種顏色），那么一定有一個抽屜放進了無限多個物體（至

少2個同色的球）。

二、教材例題分析

例1：本例描述“抽屜原理”的最簡單的情況。著重探討為什么這樣的結(jié)論是成立的。

教材呈現(xiàn)了兩種思考方法：第一種方法是用操作的方法，羅列所有的方法，通過完全歸納的

方法看到在這四種情況都是滿足結(jié)論的；還可以是說理的方式，先放3支，在每個筆筒里放

1支，這時剩下1支。剩下的1支不管放入哪一個筆筒中，這時都會有一個筆筒里有2支鉛

筆。這種方法比第一種方法更為抽象，更具有一般性。

通過本例的教學(xué)，使學(xué)生感知這類問題的基本結(jié)構(gòu)，掌握兩種思考的方法——枚舉和假

設(shè)，理解問題中關(guān)鍵詞語“總有”和“至少”的含義，形成對“抽屜原理”的初步認(rèn)識。

例2：本例描述“抽屜原理”更為一般的形式，即“把多于胸（上是正整數(shù)）個物體

任意分放進％個空抽屜里，那么一定有一個抽屜中放進了至少（上+1）個物體”。教材首先

探究把7本書放進3個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進3本書的情形。當(dāng)數(shù)據(jù)變得越來越

大時，如果還用完全歸納的方法把所有的情形羅列出來的話，對于學(xué)生來說是有困難的。這

時需要學(xué)生用到“反證法”這樣一種思想，即如果所有的抽屜最多放2本，那么3個抽屜里

最多放6本書，可是題目中是7本書，還剩1本書，怎么辦？這就使學(xué)生明白只要放到任意

一個抽屜里即可，總有一個抽屜里至少放進3本書。通過這樣的方式，實際上學(xué)生是在經(jīng)歷

“反證法”的這樣一個過程。在具體編排這道例題的時候，在數(shù)據(jù)上進行了一個很細微的調(diào)

整。在過去，由于數(shù)據(jù)的問題，學(xué)生會得到不太正確的推論，比如說如果是兩個抽屜的話,

最后得到的余數(shù)總是I,那么學(xué)生很容易得到一個錯誤的結(jié)論：總有一個抽屜里放進“商+

余數(shù)”本書（因為余數(shù)正好是1）。而實際上，這里的結(jié)論應(yīng)該是“商+1”本書，所以教材

在這里呈現(xiàn)了8除以3余2的情況，這時候余數(shù)是2,可是最后的結(jié)論還是“把8本書放進

3個抽屜里，總有一個抽屜至少放進了3本書”。通過這樣的數(shù)據(jù)方面的調(diào)整，可以讓學(xué)生

得到一個更加正確的推論。

三、教學(xué)中應(yīng)該注意的問題。

在教學(xué)中要注意的問題：第一，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明的過程，在這里不是讓學(xué)生計算

抽屜原理，去應(yīng)用，而更多的是給出一個結(jié)論，讓學(xué)生去證明這種結(jié)論的正確性，這就是一

種數(shù)學(xué)證明的思想；第二，要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。因為“抽屜原理”在生活中的

變式是多樣的，比如讓學(xué)生判斷13個孩子中一定有兩個人的生日在同一個月份，讓學(xué)生去

判斷367個孩子中一定有兩個人的生日是同一天……在解決這些問題的過程中，教師要引導(dǎo)

學(xué)生明確什么是抽屜原理中的“物體”，什么是“抽屜”，讓學(xué)生把這些具體問題模型化成一

個“抽屜問題”。第三，重視實踐活動，幫助學(xué)生在自主探究中理解原理，將具體的情況推

廣到一般。在例1中給出具體的問題（4支鉛筆放到3個筆筒里），讓學(xué)生在探究的過程中，

逐漸找到一般的規(guī)律。第四，恰當(dāng)保持教學(xué)要求，因為數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容只是讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的

數(shù)學(xué)思想的感悟，在評價上不做特別高的要求。

1.在直觀操作中理解“抽屜原理”的有關(guān)概念，初步了解“抽屜原理”的結(jié)構(gòu)特征。

教學(xué)時要借助直觀，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷（看到、摸到）的基礎(chǔ)上，深刻感受分的過程和分的

結(jié)果，積累對“抽屜原理”的感性認(rèn)識。這既可降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，又可使學(xué)生充分地理

解“總有”“至少”等特定術(shù)語的含義，清晰地建立“待分物品”和“抽屜”之間的關(guān)系。

2.引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷猜測、嘗試、驗證的過程中逐步從直觀走向抽象。本單元的學(xué)習(xí)，

教學(xué)的目的不是讓學(xué)生計算抽屜原理，去應(yīng)用，而更多的是給出一個結(jié)論，讓學(xué)生去證明這

種結(jié)論的正確性。這樣，這實質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)證明的思想的滲透教學(xué)。因此，教學(xué)時應(yīng)讓學(xué)

生經(jīng)歷猜測、嘗試、驗證的探究過程，并在此過程中引導(dǎo)學(xué)生逐步從直觀走向抽象。。

《數(shù)學(xué)廣角一鴿巢原理》評測練習(xí)

1.完成課本做一做第2題。

（1）出示做一做第2題。有5個人，只有4把椅子，總有一把椅子上至少坐2人，這是為

什么？

思考：這個問題和我們研究的鴿巢問題有聯(lián)系嗎？有什么聯(lián)系？在這道題中，可以把什么當(dāng)

作鴿籠？把什么當(dāng)作鴿子呢？

（2）通過這個游戲，你發(fā)現(xiàn)鴿巢問題有什么魅力？

解析：鴿巢問題它不只是代表鴿巢問題，就像我們原來學(xué)過的雞兔同籠問題一樣，它好像是

一個模型，代表的是一類數(shù)學(xué)問題。把人比作鴿子雖然不雅，但是從研究的角度大家確實是

找到了他們數(shù)量間的聯(lián)系。

2.三人行，必然至少有兩人性別一定相同，對嗎？說說你的理由。

師：從剛才大家的課堂表現(xiàn)，我突然想起圣人孔子的一句話：三人行，必有我?guī)?。今天，?/p>

想把這句至理名言改一改：三人行，必有至少兩人性別一定相同，行嗎？說說你的理由。

3.解決課前的問題。

從1、2、3、……、100中任意取51個不相同的數(shù)，總有兩個數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。你知道

這是為什么？

師：是呀，鴿巢問題不只是代表鴿巢問題，它是一個模型，在生活中，我們都能找到他的影

子，現(xiàn)在讓我們再回到課前的那道世界名題，想一想，能不能用模型的思想解決這個問題。

找找看，誰代表鴿子，誰又代表籠子呢？這就是模型的力量。