云南省迪慶州維西縣第二中學2025屆高一下數(shù)學期末質量檢測模擬試題含解析

云南省迪慶州維西縣第二中學2025屆高一下數(shù)學期末質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個結論：①，，，則；②若，，，則；③若，，，則；④若，，，則.其中正確結論的序號是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④2．在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分別是0.1，0.2，0.3，0.4，則下列說法正確的是A．A+B與C是互斥事件，也是對立事件 B．B+C與D不是互斥事件，但是對立事件C．A+C與B+D是互斥事件，但不是對立事件 D．B+C+D與A是互斥事件，也是對立事件3．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．34．在前項和為的等差數(shù)列中，若，則=()A． B． C． D．5．已知向量，，若，則的值為（）A． B．1 C． D．6．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點A．向左平行移動個單位長度B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度D．向右平行移動個單位長度7．已知一個等比數(shù)列項數(shù)是偶數(shù)，其偶數(shù)項之和是奇數(shù)項之和的3倍，則這個數(shù)列的公比為（）A．2 B．3 C．4 D．68．若平面向量，滿足，，且，則等于（）A． B． C．2 D．89．已知等差數(shù)列的前n項和為，則A．140 B．70 C．154 D．7710．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比.若，，，數(shù)列的前n項和為，則當取最大值時，n的值為（）A．8 B．9 C．8或9 D．17二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中角所對的邊分別為，若則___________12．如圖，在內有一系列的正方形，它們的邊長依次為，若，，則所有正方形的面積的和為___________.13．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為“調和數(shù)列”，已知正項數(shù)列為“調和數(shù)列”，且，則的最大值是__________．14．已知，若角的終邊經過點，求的值.15．方程在區(qū)間的解為_______.16．設向量，若，，則.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．交通指數(shù)是指交通擁堵指數(shù)的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念性指數(shù)值，記交通指數(shù)為，其范圍為，分別有五個級別：，暢通；，基本暢通；，輕度擁堵；，中度擁堵；，嚴重擁堵.在晚高峰時段（），從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個交通路段，依據(jù)其交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段的個數(shù)；(2)用分層抽樣的方法從輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段中共抽取6個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數(shù)；(3)從(2)中抽取的6個路段中任取2個，求至少有1個路段為輕度擁堵的概率.18．已知圓經過點，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點，問在直線上是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.19．已知.（1）若三點共線，求實數(shù)的值；（2）證明：對任意實數(shù)，恒有成立.20．在公差不為零的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，設數(shù)列的前項和，求證.21．如圖，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，點E為AB的中點，點D、F在邊BC、AC上，且，，EF交AD于點P.(Ⅰ)若∠BAC=，求與所成角的余弦值；(Ⅱ)求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用面面垂直的判定定理判斷①；根據(jù)面面平行的判定定理判斷②；利用線面垂直和線面平行的性質判斷③；利用線面垂直和面面平行的性質判斷④【詳解】①，，或，又，則成立，故正確②若，，或和相交，并不一定平行于，故錯誤③若，，則或，若，則并不一定平行于，故錯誤④若，，，又，成立，故正確綜上所述，正確的命題的序號是①④故選【點睛】本題主要考查了命題的真假判斷和應用，解題的關鍵是理解線面，面面平行與垂直的判斷定理和性質定理，屬于基礎題．2、D【解析】

不可能同時發(fā)生的事件為互斥事件，當兩個互斥事件的概率和為1，則兩個事件為對立事件，易得答案.【詳解】因為事件彼此互斥，所以與是互斥事件，因為，，，所以與是對立事件，故選D.【點睛】本題考查互斥事件、對立事件的概念，注意對立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是對立事件.3、A【解析】

利用余弦定理推論得出a，b，c關系，在結合正弦定理邊角互換列出方程，解出結果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用．4、C【解析】

利用公式的到答案.【詳解】項和為的等差數(shù)列中，故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前N項和，等差數(shù)列的性質，利用可以簡化計算.5、B【解析】

直接利用向量的數(shù)量積列出方程求解即可．【詳解】向量，，若，可得2﹣2＝0，解得＝1，故選B．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的應用，考查計算能力，屬于基礎題．6、D【解析】試題分析：由題意，為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，故選D.【考點】三角函數(shù)圖象的平移【名師點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單位得的圖象，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，再向左平移個單位得的圖象．7、B【解析】

由數(shù)列為等比數(shù)列，則，結合題意即可得解.【詳解】解：因為數(shù)列為等比數(shù)列，設等比數(shù)列的公比為，則，又是奇數(shù)項之和的3倍，則，故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質，重點考查了等比數(shù)列公比的運算，屬基礎題.8、B【解析】

由，可得，再結合，展開可求出答案.【詳解】由，可知，展開可得，所以，又，，所以.故選：B.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的應用，考查學生的計算求解能力，注意向量的平方等于模的平方，屬于基礎題.9、D【解析】

利用等差數(shù)列的前n項和公式，及等差數(shù)列的性質，即可求出結果.【詳解】等差數(shù)列的前n項和為，.故選D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的前n項和的求法和等差數(shù)列的性質，屬于基礎題.10、C【解析】∵為等比數(shù)列，公比為，且∴∴，則∴∴∴，∴數(shù)列是以4為首項，公差為的等差數(shù)列∴數(shù)列的前項和為令當時，∴當或9時，取最大值.故選C點睛：（1）在解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路：一是利用基本量將多元問題簡化為一元問題；二是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質，性質是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的快捷方便的工具；（2）求等差數(shù)列的前項和最值的兩種方法：①函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項和的函數(shù)表達式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解；②鄰項變號法：當時，滿足的項數(shù)使得取得最大值為；當時，滿足的項數(shù)使得取得最小值為.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】,；由正弦定理，得，解得.考點：正弦定理.12、【解析】

根據(jù)題意可知，可得，依次計算，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，構成是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，正方形的面積構成是公比為的等比數(shù)列．利用無窮等比數(shù)列的和公式可得所有正方形的面積的和．【詳解】根據(jù)題意可知，可得，依次計算，，是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，邊長依次為，，，，正方形的面積構成是公比為的等比數(shù)列．所有正方形的面積的和．故答案為：【點睛】本題考查了無窮等比數(shù)列的和公式的運用．利用邊長關系建立等式，找到公比是解題的關鍵．屬于中檔題．13、1【解析】因為數(shù)列是“調和數(shù)列”，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以，，當且僅當時等號成立，因此的最大值為1．點睛：本題考查創(chuàng)新意識，關鍵是對新定義的理解與轉化，由“調和數(shù)列”的定義及已知是“調和數(shù)列”，得數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質可化簡已知數(shù)列的和，結合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識較多，要熟練掌握各方面的知識與方法，才能正確求解．14、【解析】

由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得和的值，從而可得的值.【詳解】因為角的終邊經過點，所以，，則.故答案為：【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．15、或【解析】

由題意求得，利用反三角函數(shù)求出方程在區(qū)間的解．【詳解】解：，得，，或，；方程在區(qū)間的解為：或．故答案為：或．【點睛】本題考查了三角函數(shù)方程的解法與應用問題，是基礎題．16、【解析】

利用向量垂直數(shù)量積為零列等式可得，從而可得結果.【詳解】因為，且，所以，可得，又因為，所以，故答案為.【點睛】利用向量的位置關系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵的路段的個數(shù)分別為6，9，3；（2）從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個數(shù)為2,3,1；（3）【解析】

（1）根據(jù)在頻率分布直方圖中，小長方形的面積表示各組的頻率，可以求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量，求出頻數(shù)；（2）根據(jù)（1）求出擁堵路段的個數(shù)，求出每層之間的占有比例，然后求出每層的個數(shù)；（3）先求出從(2)中抽取的6個路段中任取2個，有多少種可能情況，然后求出至少有1個路段為輕度擁堵有多少種可能情況，根據(jù)古典概型概率公式求出.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得，這20個交通路段中，輕度擁堵的路段有(0.1＋0.2)×1×20＝6(個)，中度擁堵的路段有(0.25＋0.2)×1×20＝9(個)，嚴重擁堵的路段有(0.1＋0.05)×1×20＝3(個).(2)由(1)知，擁堵路段共有6＋9＋3＝18(個)，按分層抽樣，從18個路段抽取6個，則抽取的三個級別路段的個數(shù)分別為，，，即從交通指數(shù)在[4,6)，[6,8)，[8,10]的路段中分別抽取的個數(shù)為2,3,1.(3)記抽取的2個輕度擁堵路段為，，抽取的3個中度擁堵路段為，，，抽取的1個嚴重擁堵路段為，則從這6個路段中抽取2個路段的所有可能情況為：，共15種，其中至少有1個路段為輕度擁堵的情況為：，共9種.所以所抽取的2個路段中至少有1個路段為輕度擁堵的概率為.【點睛】本題考查了頻率直方圖的應用、分層抽樣、古典概型概率的求法.解決本題的關鍵是對頻率直方圖所表示的意義要了解，分層抽樣的原則要知道，要能識別古典概型.18、（1）（2）在直線上存在定點，使得恒成立，詳見解析【解析】

（1）求出弦中垂線方程，由中垂線和直線相交得圓心坐標，再求出圓半徑，從而得圓標準方程；（2）直線斜率存在時，設方程為，代入圓的方程，得的一元二次方程，同時設交點為由韋達定理得，假設定點存在，設其為，由求得，再驗證所作直線斜率不存在時，點也滿足題意．【詳解】（1）的中點為，∴的垂直平分線的斜率為，∴的垂直平分線的方程為，∴的垂直平分線與直線交點為圓心，則，解得，又．∴圓的方程為.（2）當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，則過點的直線方程為，故由，整理得，設，設，則，，，即，當斜率不存在時，成立，∴在直線上存在定點，使得恒成立【點睛】本題考查求圓的標準方程，考查與圓有關的定點問題．求圓的標準方程可先求出圓心坐標和圓的半徑，然后得標準方程，注意圓心一定在弦的中垂線上．定點問題，通常用設而不求思想，即設直線方程與圓方程聯(lián)立消元后得一元二次方程，設直線與圓的交點坐標為，由韋達定理得，然后設定點坐標如本題，再由條件求出，若不能求出說明定點不存在，如能求出值，注意驗證直線斜率不存在時，此定點也滿足題意．19、(1)-3；(2)證明見解析.【解析】分析：（1）由題意可得，結合三點共線的充分必要條件可得.（2）由題意結合平面向量數(shù)量積的坐標運算法則可得，則恒有成立.詳解：（1），∵三點共線，∴，∴.（2），∴，∴恒有成立.點睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算法則，二次函數(shù)的性質及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出方程組，利用等差數(shù)列的通項公式化簡求解即可；（Ⅱ）將的通項公式代入所給等式化簡求出的通項公式，利用裂項相消法求出，由推出，由數(shù)列是遞增數(shù)列推出.【詳解】（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為（），因為，所以解得，所以.（Ⅱ），.因為，所以，又因為，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，于是.綜上，.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，裂項相消法求