2018上海市崇明區(qū)高考數(shù)學(xué)一模的試卷

...wd......wd......wd...2018年上海市崇明區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、填空題〔本大題共有12題，總分值54分，其中1-6題每題4分，7-12題每題5分〕1．〔4分〕集合A={1，2，5}，B={2，a}，假設(shè)A∪B={1，2，3，5}，那么a=．2．〔4分〕拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．3．〔4分〕不等式＜0的解是．4．〔4分〕假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz=1+i〔i為虛數(shù)單位〕，那么z=．5．〔4分〕在代數(shù)式〔x﹣〕7的展開式中，一次項(xiàng)的系數(shù)是．〔用數(shù)字作答〕6．〔4分〕假設(shè)函數(shù)y=2sin〔ωx﹣〕+1〔ω＞0〕的最小正周期是π，那么ω=．7．〔5分〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕=xa的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)〔，〕，那么a=．8．〔5分〕將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為27πcm3，那么該幾何體的側(cè)面積為cm2．9．〔5分〕函數(shù)y=f〔x〕是奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f〔x〕=2x﹣ax，且f〔2〕=2，那么a=．10．〔5分〕假設(shè)無窮等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1=1，公比為a﹣，且Sn=a，那么a=．11．〔5分〕從5男3女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人志愿者服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有種不同的選法．〔用數(shù)字作答〕12．〔5分〕在ABC中，BC邊上的中垂線分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．假設(shè)?=6，||=2，那么AC=．二、選擇題〔本大題共有4題，總分值20分〕13．〔5分〕展開式為ad﹣bc的行列式是〔〕A． B． C． D．14．〔5分〕設(shè)a，b∈R，假設(shè)a＞b，那么〔〕A．＜ B．lga＞lgb C．sina＞sinb D．2a＞2b15．〔5分〕等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，那么“d＞0〞是“S4+S6＞2S5〞的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件16．〔5分〕直線x=2與雙曲線﹣y2=1的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上任一點(diǎn)，假設(shè)=a+b〔a，b∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)〕，那么以下不等式恒成立的是〔〕A．a(chǎn)2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答題〔本大題共有5題，總分值76分〕17．〔14分〕如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C與底面ABCD所成的角為60°，〔1〕求四棱錐A1﹣ABCD的體積；〔2〕求異面直線A1B與B1D1所成角的大?。?8．〔14分〕f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1．〔1〕求f〔x〕的最大值及該函數(shù)取得最大值時x的值；〔2〕在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，假設(shè)a=，b=，且f〔〕=，求邊c的值．19．〔14分〕2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游工程．規(guī)劃從2017年起，在今后的假設(shè)干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此工程.2016年該工程的凈收入為5百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均為上一年的根基上增長50%．記2016年為第1年，f〔n〕為第1年至此后第n〔n∈N*〕年的累計(jì)利潤〔注：含第n年，累計(jì)利潤=累計(jì)凈收入﹣累計(jì)投入，單位：千萬元〕，且當(dāng)f〔n〕為正值時，認(rèn)為該工程贏利．〔1〕試求f〔n〕的表達(dá)式；〔2〕根據(jù)預(yù)測，該工程將從哪一年開場并持續(xù)贏利請說明理由．20．〔16分〕在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：+y2=1〔a＞0，a≠1〕的兩個焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線l：y=kx+m〔k，m∈R〕與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．〔1〕假設(shè)M為橢圓短軸上的一個頂點(diǎn)，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；〔2〕假設(shè)k=1，且△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求a與m滿足的關(guān)系；〔3〕假設(shè)a=2，且kOA?kOB=﹣，求證：△OAB的面積為定值．21．〔18分〕假設(shè)存在常數(shù)k〔k＞0〕，使得對定義域D內(nèi)的任意x1，x2〔x1≠x2〕，都有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤k|x1﹣x2|成立，那么稱函數(shù)f〔x〕在其定義域D上是“k﹣利普希茲條件函數(shù)〞．〔1〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕=，〔1≤x≤4〕是“k﹣利普希茲條件函數(shù)〞，求常數(shù)k的最小值；〔2〕判斷函數(shù)f〔x〕=log2x是否是“2﹣利普希茲條件函數(shù)〞，假設(shè)是，請證明，假設(shè)不是，請說明理由；〔3〕假設(shè)y=f〔x〕〔x∈R〕是周期為2的“1﹣利普希茲條件函數(shù)〞，證明：對任意的實(shí)數(shù)x1，x2，都有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤1．2018年上海市崇明區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、填空題〔本大題共有12題，總分值54分，其中1-6題每題4分，7-12題每題5分〕1．〔4分〕集合A={1，2，5}，B={2，a}，假設(shè)A∪B={1，2，3，5}，那么a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案為：3．2．〔4分〕拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，0〕．【解答】解：∵拋物線y2=4x是焦點(diǎn)在x軸正半軸的標(biāo)準(zhǔn)方程，p=2∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為：〔1，0〕故答案為：〔1，0〕3．〔4分〕不等式＜0的解是〔﹣1，0〕．【解答】解：不等式＜0，即x〔x+1〕＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案為：〔﹣1，0〕．4．〔4分〕假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz=1+i〔i為虛數(shù)單位〕，那么z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案為：1﹣i．5．〔4分〕在代數(shù)式〔x﹣〕7的展開式中，一次項(xiàng)的系數(shù)是21．〔用數(shù)字作答〕【解答】解：〔x﹣〕7的展開式的通項(xiàng)為=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次項(xiàng)的系數(shù)是．故答案為：21．6．〔4分〕假設(shè)函數(shù)y=2sin〔ωx﹣〕+1〔ω＞0〕的最小正周期是π，那么ω=2．【解答】解：根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，知函數(shù)y=2sin〔ωx﹣〕+1〔ω＞0〕的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案為：2．7．〔5分〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕=xa的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)〔，〕，那么a=．【解答】解：假設(shè)函數(shù)f〔x〕=xa的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)〔，〕，那么：〔，〕滿足f〔x〕=xα，所以：，解得：，故答案為：．8．〔5分〕將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的體積為27πcm3，那么該幾何體的側(cè)面積為18πcm2．【解答】解：將一個正方形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是圓柱體，設(shè)正方形的邊長為acm，那么圓柱體的體積為V=πa2?a=27π，解得a=3cm；∴該圓柱的側(cè)面積為S=2π×3×3=18πcm2．故答案為：18π．9．〔5分〕函數(shù)y=f〔x〕是奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f〔x〕=2x﹣ax，且f〔2〕=2，那么a=﹣．【解答】解：∵函數(shù)y=f〔x〕是奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f〔x〕=2x﹣ax，∴x＞0時，﹣f〔x〕=2﹣x﹣a〔﹣x〕，∴f〔x〕=﹣2﹣x﹣ax，∵f〔2〕=2，∴f〔2〕=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案為：﹣．10．〔5分〕假設(shè)無窮等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1=1，公比為a﹣，且Sn=a，那么a=2．【解答】解：無窮等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1=1，公比為a﹣，且Sn=a，可得=a，即有=a，即為2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由題意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，檢驗(yàn)a=2成立；a=不成立．故答案為：2．11．〔5分〕從5男3女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人志愿者服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有780種不同的選法．〔用數(shù)字作答〕【解答】解：根據(jù)題意，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，那么分3種情況討論：①、選出志愿者服務(wù)隊(duì)的4人中有1名女生，有C53C31=30種選法，這4人選2人作為隊(duì)長和副隊(duì)有A42=12種，其余2人為普通隊(duì)員，有1種情況，此時有30×12=360種不同的選法，②、選出志愿者服務(wù)隊(duì)的4人中有2名女生，有C52C32=30種選法，這4人選2人作為隊(duì)長和副隊(duì)有A42=12種，其余2人為普通隊(duì)員，有1種情況，此時有30×12=360種不同的選法，③、選出志愿者服務(wù)隊(duì)的4人中有3名女生，有C51C33=5種選法，這4人選2人作為隊(duì)長和副隊(duì)有A42=12種，其余2人為普通隊(duì)員，有1種情況，此時有5×12=60種不同的選法，那么一共有360+360+60=780；故答案為：780．12．〔5分〕在ABC中，BC邊上的中垂線分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．假設(shè)?=6，||=2，那么AC=4．【解答】解：建設(shè)平面直角坐標(biāo)系如以以下圖，設(shè)B〔﹣a，0〕，C〔a，0〕，E〔0，b〕，∠ABC=α，由||=2，知A〔﹣a+2cosα，2sinα〕，∴=〔a﹣2cosα，b﹣2sinα〕，=〔2a，0〕，∴?=2a〔a﹣2cosα〕+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=〔2a﹣2cosα，﹣2sinα〕，∴=〔2a﹣2cosα〕2+〔﹣2sinα〕2=4a2﹣8acosα+4=4〔a2﹣2acosα〕+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案為：4．二、選擇題〔本大題共有4題，總分值20分〕13．〔5分〕展開式為ad﹣bc的行列式是〔〕A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)叫做二階行列式，它的算法是：ad﹣bc，由題意得，=ad﹣bc．應(yīng)選B．14．〔5分〕設(shè)a，b∈R，假設(shè)a＞b，那么〔〕A．＜ B．lga＞lgb C．sina＞sinb D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：2a＞2b．再利用不等式的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性、三角函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出A，B，C不正確．應(yīng)選：D．15．〔5分〕等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，那么“d＞0〞是“S4+S6＞2S5〞的〔〕A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2〔5a1+10d〕，∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0〞是“S4+S6＞2S5〞充分必要條件，應(yīng)選：C16．〔5分〕直線x=2與雙曲線﹣y2=1的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上任一點(diǎn)，假設(shè)=a+b〔a，b∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)〕，那么以下不等式恒成立的是〔〕A．a(chǎn)2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：雙曲線﹣y2=1的漸近線為：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A〔2，1〕，B〔2，﹣1〕．=a+b=〔2a+2b，a﹣b〕．代入雙曲線方程可得：﹣〔a﹣b〕2=1，化為ab=．∴=ab，化為：|a+b|≥1．應(yīng)選：C．三、解答題〔本大題共有5題，總分值76分〕17．〔14分〕如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C與底面ABCD所成的角為60°，〔1〕求四棱錐A1﹣ABCD的體積；〔2〕求異面直線A1B與B1D1所成角的大?。窘獯稹拷猓骸?〕∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C與底面ABCD所成的角，∵A1C與底面ABCD所成的角為60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC?tan60°=2?=2，∵S正方形ABCD=AB×BC=2×2=4，∴四棱錐A1﹣ABCD的體積：V===．〔2〕∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是異面直線A1B與B1D1所成角〔或所成角的補(bǔ)角〕．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴異面直線A1B與B1D1所成角是arccos．18．〔14分〕f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1．〔1〕求f〔x〕的最大值及該函數(shù)取得最大值時x的值；〔2〕在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，假設(shè)a=，b=，且f〔〕=，求邊c的值．【解答】解：f〔x〕=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin〔2x+〕〔1〕當(dāng)2x+=時，即x=〔k∈Z〕，f〔x〕取得最大值為2；〔2〕由f〔〕=，即2sin〔A+〕=可得sin〔A+〕=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或當(dāng)A=時，cosA==∵a=，b=，解得：c=4當(dāng)A=時，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．〔14分〕2016年崇明區(qū)政府投資8千萬元啟動休閑體育新鄉(xiāng)村旅游工程．規(guī)劃從2017年起，在今后的假設(shè)干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此工程.2016年該工程的凈收入為5百萬元，并預(yù)測在相當(dāng)長的年份里，每年的凈收入均為上一年的根基上增長50%．記2016年為第1年，f〔n〕為第1年至此后第n〔n∈N*〕年的累計(jì)利潤〔注：含第n年，累計(jì)利潤=累計(jì)凈收入﹣累計(jì)投入，單位：千萬元〕，且當(dāng)f〔n〕為正值時，認(rèn)為該工程贏利．〔1〕試求f〔n〕的表達(dá)式；〔2〕根據(jù)預(yù)測，該工程將從哪一年開場并持續(xù)贏利請說明理由．【解答】解：〔1〕由題意知，第1年至此后第n〔n∈N*〕年的累計(jì)投入為8+2〔n﹣1〕=2n+6〔千萬元〕，第1年至此后第n〔n∈N*〕年的累計(jì)凈收入為+×+×+…+×=〔千萬元〕．∴f〔n〕=﹣〔2n+6〕=﹣2n﹣7〔千萬元〕．〔2〕方法一：∵f〔n+1〕﹣f〔n〕=[﹣2〔n+1〕﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴當(dāng)n≤3時，f〔n+1〕﹣f〔n〕＜0，故當(dāng)n≤4時，f〔n〕遞減；當(dāng)n≥4時，f〔n+1〕﹣f〔n〕＞0，故當(dāng)n≥4時，f〔n〕遞增．又f〔1〕=﹣＜0，f〔7〕=≈5×﹣21=﹣＜0，f〔8〕=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴該工程將從第8年開場并持續(xù)贏利．答：該工程將從2023年開場并持續(xù)贏利；方法二：設(shè)f〔x〕=﹣2x﹣7〔x≥1〕，那么f′〔x〕=，令f'〔x〕=0，得=≈=5，∴x≈4．從而當(dāng)x∈[1，4〕時，f'〔x〕＜0，f〔x〕遞減；當(dāng)x∈〔4，+∞〕時，f'〔x〕＞0，f〔x〕遞增．又f〔1〕=﹣＜0，f〔7〕=≈5×﹣21=﹣＜0，f〔8〕=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴該工程將從第8年開場并持續(xù)贏利．答：該工程將從2023年開場并持續(xù)贏利．20．〔16分〕在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：+y2=1〔a＞0，a≠1〕的兩個焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，直線l：y=kx+m〔k，m∈R〕與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．〔1〕假設(shè)M為橢圓短軸上的一個頂點(diǎn)，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；〔2〕假設(shè)k=1，且△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求a與m滿足的關(guān)系；〔3〕假設(shè)a=2，且kOA?kOB=﹣，求證：△OAB的面積為定值．【解答】解：〔1〕∵M(jìn)為橢圓短軸上的一個頂點(diǎn)，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2為等腰直角三角形，∴OF1=OM，當(dāng)a＞1時，=1，解得a=，當(dāng)0＜a＜1時，=a，解得a=，〔2〕當(dāng)k=1時，y=x+m，設(shè)A〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，由，即〔1+a2〕x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=〔x1+m〕〔x2+m〕=x1x2+m〔x1+x2〕+m2=，∵△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴?=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2〔a2+1〕=2a2，〔3〕證明：當(dāng)a=2時，x2+4y2=4，設(shè)A〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，∵kOA?kOB=﹣，∴?=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，〔1+4k2〕x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=〔kx1+m〕〔kx2+m〕=k2x1x2+km〔x1+x2〕+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=?=?=2?=∵O到直線y=kx+m的距離d==，∴S△OAB