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PAGEPAGE3折疊問題專題【軸對稱(折疊)思考層次全貌】1.全等變換:對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.2.對稱軸性質(zhì):對稱軸上的點到對應(yīng)點的距離相等,對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分.3.組合搭配:矩形背景下常出現(xiàn)等腰三角形、兩次折疊常出現(xiàn)直角,60°角、折疊會出現(xiàn)圓弧等.4.作圖:核心是找到對應(yīng)點,作對應(yīng)點連線的垂直平分線(折痕),補全圖形.【要求】①讀一讀操作要領(lǐng),按照操作要領(lǐng)去做題,思路受阻時回頭再看操作要領(lǐng),做完題對照操作要領(lǐng)思考一步步是如何進行操作的;②做題時,需要執(zhí)行讀題標注(如目標、條件),觀察特征,驗證取舍等動作.【第一次訓(xùn)練操作要領(lǐng):遇折疊,考慮全等變換;找折痕(對稱軸),利用對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等轉(zhuǎn)移條件,表達線段長,利用勾股定理(或相似、三角函數(shù))建方程;做題時常借助背景圖形提供的角度、線段長,對條件進行轉(zhuǎn)移、表達.ADMFNBEC【例題1】如圖,將邊長為8cm的正方形ABCD折疊,使點D落在BC邊的中點E處,點A落在點F處,折痕為M,則線段CNADMFNBEC分析思路:1.讀題標注、轉(zhuǎn)化;正方形,折疊,中點,目標,如右圖所示2.背景圖形;邊長為8的正方形;3.分析條件,組合特征;折疊是全等變換 對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等;E=D; +N=D+N=8,轉(zhuǎn)移,表達 設(shè)C=,則E=D= 4.求解目標:勾股定理列方程在Rt△ 中,勾股定理列方程為 ,解得= C= cm.【配套小練習(xí)】練習(xí)1:如圖,有一張直角三角形紙片,兩直角邊A=6cm,B=8cm,點D在BC邊上,將直角邊AC沿直線AD折疊,點C恰好落在斜邊AB上的點E處,則線段CD的長為 .DEBFCC DEBFCB E A練習(xí)2如圖折疊長方形的一邊A使點D落在BC邊上的點F處若A=4cm,B=5cm,則EF的長為 .【第二次訓(xùn)練操作要領(lǐng):①折疊屬于全等變換,找折痕,利用對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等轉(zhuǎn)移條件,表達線段長,利用勾股定理建方程;②上述思路進行不下去時,從“對稱軸上的點到對應(yīng)點的連線距離相等”,從折痕與背景圖形的交點處入手,結(jié)合所求目標,連接對應(yīng)線段,表達求解;或者考慮“折痕”為對稱軸,“對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分”,利用垂直平分(題目中會出現(xiàn)全等或相似)解題.(這兩條性質(zhì)可以逐一嘗試)【例題2】如圖,將長為4cm,寬為2cm的長方形紙片ABCD折疊,使點B落在FAMDEBNCCD邊的中點E處,壓平后得到折痕M,則線段FAMDEBNC分析思路:1.讀題標注、轉(zhuǎn)化;長方形,折疊,中點,目標,如右圖所示2.背景圖形;長為4,寬為2的長方形,D=E=1,E是定點;3.分析條件,組合特征;折疊是全等變換 對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等;上方:A=M,但MF所在的直角三角形無相關(guān)線段長信息,求解不出來;下方B=E +N=B+N=4在Rt△ 求B(N,NC等),但跟目標無關(guān),先不進行計算;4.求解目標;方式一:考慮折疊性質(zhì)“對稱軸上的點到對應(yīng)點的連線距離相等,連接MB和M,則M=M,可以用來表達列方程求解;如圖所示轉(zhuǎn)移表達 設(shè)A=,則D= ;在Rt△ 中,M2 (用含x的代數(shù)式表示;在Rt△ 中,E2 (用含x代數(shù)式表示;建立方程為 ,解得= ,即A= .方式二考慮折疊性“對應(yīng)點所連線段被對稱軸垂直平分連接B則 被 垂直平分;如圖所示過點M作M⊥BC于點,則△MG∽△ ,且相似比為1:2,由CE的長,可求GN的長,結(jié)合A=B=B-G(BN可通過第3條中的分析求出)即可求出AM的長.中間用到一個很重要的結(jié)論:“十字結(jié)構(gòu)”會出現(xiàn)全等或相似.而折疊中的直平分經(jīng)常會提供十字結(jié)構(gòu),以下是一般的“十字結(jié)構(gòu)”的圖形和結(jié)論.A D DB A DF FA FB E C E

B E CAB≌△BCF △DC≌△ABF △AB∽△BCF【配套小練習(xí)】 練習(xí)3和練習(xí)4均要求用折疊的兩種性質(zhì)解題(每種圖中展示一種方法)練習(xí)3:如圖,四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片,將該紙片折疊,使點B落在CD邊上的點'處,點A的對應(yīng)點為',折痕為M.若C3,則AM的長 .AAMDB'AMDB'B N C B N C練習(xí)4:如圖,將正方形紙片ABCD沿MN折疊,使點D落在邊AB上,對應(yīng)點為′點C落在′處若A=6A′=2則MN的長為 BN的長為 D C D CNBNBNC'BM MA A練習(xí)5:如圖,在長方形ABCD中,A=3,A=9,將此長方形折疊,使點D與點B重合,折痕為E,則EF的長為 .(要求用“對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分”解題,有其余方法可自行嘗試)A E D A E DBFCBFBFCBFC練習(xí)6片ABCA=5B=10CD上有一點E=2AD上有一點P=3,過P作P⊥AD交BC于,將紙片折疊,使P點與E點重合,折痕與PF交于Q點,與AD交于點,則PQ的長是()(要求用“對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分”解題,有其余方法可自行嘗試)5 13 7. .3 . .G2 4 2GQC F QE

A F DEDG P A B C練習(xí)7:如圖,將邊長為12cm的正方形ABCD折疊,使得A點落在邊CD上的E點,然后壓平得折痕F若GF的長為13cm段CE的長為 .【第三次訓(xùn)練操作要領(lǐng):當上述兩種思路都進行不下去的時候考慮背景提供的條件,如長方形中折疊會出現(xiàn)等腰三角形(以折痕為底);(原理是:平行+角平分線出現(xiàn)等腰三角形)【例題3】用長方形下的折疊會出現(xiàn)等腰三角形,快速求BF的長如圖,在長方形ABCD中,A=3,A=9,將此長方形折疊,使點D與點B重合,折痕為E,則BF的長為 .BFCAMDEA BFCAMDEC' B N C題2進行體現(xiàn),并用此思路嘗試求AM的長;為4cm為2cm的長方形紙片ABCD點B落在CD邊的中點E處,壓平后得到折痕M,則線段AM的長為 .【配套小練習(xí)】練習(xí)8:如圖,長方形ABCD中,A=15cm,點E在AD上,且A=9cm,連接E,將長方形ABCD沿直線BE翻折點A恰好落在EC上的點A處則A'= cm.A E DA P BQB C O D C練習(xí)9片OABO=點P為AB邊上一點A=2OAP沿OP點A落在點A長PA交邊OC與點點P再次折疊紙片,使點B落在邊OC上的點D處,則AB的長為 .AMDB'練習(xí)10:如圖,四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片,將該紙片折疊,使點B落在CD邊上的點'處,點A的對應(yīng)點為',折痕為M.若C3,則AMAMDB'B N C【第四次訓(xùn)練】折疊作圖訓(xùn)練及計算求解①題目中給出已知的對應(yīng)點,直接作垂直平分線,找折痕;②題目中沒有直接給出的對應(yīng)點,而是給出對應(yīng)點滿足的條件;此時往往“折痕過定點”,題目往往會產(chǎn)生圓(圓?。?,通過作圓弧找到對應(yīng)點的位置,再作垂直平分線找折痕.練習(xí)11:如圖,在矩形ABCD中,已知A=12A=8,如果將矩形沿直線l翻折后,點A落在邊CD的中點E處,直線l分別與邊AAD交于點,,那么MN的長為 .A D A DE EB C B C練習(xí)12:在矩形ABCD中,A=4B=3點P在線段AB上.若將△DAP沿DP折疊,使點A落在對角線AC上的A處,則AP的長為 .A D A DB C B C練習(xí)13如圖矩形ABCD中A=2A=6A=B=2點G是線段AD上的動點,將矩形ABCD沿直線EG折疊.當點C的對應(yīng)點C落在四邊形ABEF對角線所在直線上時,求AC的長為 .A F G D A F G DB E C B E C練習(xí)14:如圖,矩形紙片ABCD中,A=8cm,B=20cm,O是BC的中點,沿過O的直線翻折.若點B恰好落在AD上,那么折痕的長度為 .A D A DB O C B O C練習(xí)15:在矩形ABCD中,B=6C=8點P在線段AB上(不含端點)任意一點.若將△PBC沿PC折疊,使點B的對應(yīng)點′落在矩形ABCD對角線上時,BP的長為 .A D A DB C B C用你學(xué)到的內(nèi)容,嘗試用多種方法解題。形ABCD中A=12B=10點E是BC上一

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