理學(xué)高數(shù)函數(shù)的極限

一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義1

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱常數(shù)時(shí)的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束A

為函數(shù)兩種特殊情況:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

證明證:取因此注:就有故欲使即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1.時(shí)函數(shù)極限的定義引例.

測(cè)量正方形面積.面積為A)邊長(zhǎng)為(真值:邊長(zhǎng)面積直接觀測(cè)值間接觀測(cè)值任給精度

,要求確定直接觀測(cè)值精度

:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.證明證:故對(duì)任意的當(dāng)時(shí),因此總有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.局部保號(hào)性定理定理1.若且

A>0,證:

已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)

A>0時(shí),取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域上若則存在使當(dāng)時(shí),有推論:分析:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2.

若在的某去心鄰域內(nèi),且則證:

用反證法.則由定理1,的某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真,(同樣可證的情形)思考:

若定理2中的條件改為是否必有不能!存在如假設(shè)A<0,條件矛盾,故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.左極限與右極限左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有定理3.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:

利用定理3.因?yàn)轱@然所以不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、極限的四則運(yùn)算法則則有定理1.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論:

若且則利用保號(hào)性定理證明.說(shuō)明:

定理1可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:

令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2

.若則有說(shuō)明:

定理2可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例1.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(詳見P44)定理3.

若且B≠0,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

x=3時(shí)分母為0!例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說(shuō)明:

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.

若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

求解:

x=1時(shí)分母=0,分子≠0,但因機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5

.

求解:時(shí),分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理4.

設(shè)且

x滿足時(shí),又則有證:

當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理4.

設(shè)且x

滿足時(shí),又則有

說(shuō)明:若定理中則類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求解:

令已知∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求解:

方法1則令∴原式方法2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、兩個(gè)重要極限一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則第五節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限

第二章一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理1.有定義,為確定起見,僅討論的情形.有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.有定義,且設(shè)即當(dāng)有有定義,且對(duì)上述

,時(shí),有于是當(dāng)時(shí)故可用反證法證明.(略)有證：當(dāng)“”“”機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1.有定義且有說(shuō)明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個(gè)數(shù)列不存在.法2

找兩個(gè)趨于的不同數(shù)列及使機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

證明不存在.證:

取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理2.且(利用定理1及數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則可證)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束圓扇形AOB的面積二、兩個(gè)重要極限證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注注目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)時(shí)注例2.

求解:例3.

求解:

令則因此原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

解:

原式=例5.

已知圓內(nèi)接正n

邊形面積為證明:證:說(shuō)明:計(jì)算中注意利用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.證:當(dāng)時(shí),設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)則從而有故說(shuō)明:

此極限也可寫為時(shí),令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

求解:

令則說(shuō)明

：若利用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則原式例7.求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1)利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在(2)數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則法