滬教版 九年級數(shù)學(xué) 代數(shù)與方程的?？紖R編復(fù)習(xí)

』代數(shù)與方丹的謨考匯編復(fù)習(xí)＞

麴知識定位

-----------------------------------------------、

?,、、

?X

/

/

?

/考格分析：

/

函數(shù)、方程與不等式作為中學(xué)階段最核心的考點之一常常分布于選擇題、

填空題以及簡答題，其中代數(shù)與方程相關(guān)的知識點包括整式方程、分式方程、

無理方程以及方程組和不等式組等等，考察的內(nèi)容包括方程及不等式（組）

的解法以及應(yīng)用，由于這部分知識點單獨考查時比較簡單，因而需要各位學(xué)

生熟練理解各種方程之間的區(qū)別，掌握各種方程的常規(guī)解法，能夠在實際問

題中針對已知條件設(shè)置等量關(guān)系式進(jìn)行列方程求解。本講義選取近幾年模擬

考原題進(jìn)行講解，并對不同題型進(jìn)行歸納，以幫助學(xué)生盡快掌握相關(guān)內(nèi)容。

考試占比：

模擬考以及中考中單純考察代數(shù)與方程相關(guān)內(nèi)容的試題分值至少在20

分左右，此外在綜合題中還可以涉及代數(shù)方程的求解，因而這部分的內(nèi)容在

整個中學(xué)階段顯得格外重要，由于這部分內(nèi)容難點較少，各位同學(xué)在學(xué)習(xí)的

過程中應(yīng)掌握各種方程的常規(guī)解法和實際應(yīng)用，盡量做到不失分??！

童鞋，你做好學(xué)習(xí)本節(jié)課的準(zhǔn)備了么？

Areyouready?

e題型梳理

3曾三麗即精第

-：0-題型梳理1：一元二次方程及其解法

【題目】

[2016金山區(qū)二模】如果關(guān)于x的方程mx2+mx+l=0有兩個相等的實數(shù)根，那么m等

于（）

A.4或。B,-C.4D.±4

4

【題目分析】

本題主要考查一元二次方程的定義及根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△之

間的關(guān)系：①△>0。方程有兩個不相等的實數(shù)根；②&=0。方程有兩個相等的實數(shù)根；③△

<0=方程沒有實數(shù)根，此外需要注意一元二次方程的二次項系數(shù)不為0。

【答案】C

【解析】

解：?關(guān)于X的方程mx2+mx+l=0有兩個相等的實數(shù)根，

.,.△=b2-4ac=0，即rr）2-4xmxl=0,解得：m=0或m=4,

又.?二次項的系數(shù)不能為0，,m=4,

故選：C.

【難度系數(shù)】3

:工俐就晡昧

【題目】

[2018楊浦區(qū)二模】當(dāng)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根，且其中一個根為另

一個根的2倍時,稱之為“倍根方程"，如果關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0

是"倍根方程"，那么m的值為。

【答案】-4或-1

【解析】

解:?/x2+(m-2)x-2m=0,(x+m)(x-2)=0,.,.xi=-m,X2=2,

由題意-m=2x2或2=2(-m),;.m=-4或-1,

故答案為-4或-1。

總結(jié)：本題考查了求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是學(xué)會因式分解法解方程，屬于基礎(chǔ)題型。

【難度系數(shù)】3

題型梳理2：一元二次方程的應(yīng)用

【題目】

【2017浦東新區(qū)二模】某文具店有一種練習(xí)簿出售，每本的成本價為2元，在銷售的過程

中價格有些調(diào)整，按原來的價格每本8.25元，賣出36本；經(jīng)過兩次漲價，按第二次漲價

后的價格賣出了25本，發(fā)現(xiàn)按原價格和第二次漲價后的價格銷售，分別獲得的銷售利潤恰

好相等。

(1)求第二次漲價后每本練習(xí)簿的價格；

(2)在兩次漲價過程中，假設(shè)每本練習(xí)簿平均獲得利潤的增長率完全相同，求這個增長率。

(注：利潤增長率=(后一次野Mg%'么F的利潤)xlOO%)

【題目分析】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵根據(jù)已知條件找

出等量關(guān)系，其中第一問根據(jù)總利潤=單本利潤x數(shù)量結(jié)合兩次銷售總利潤相等，列出關(guān)于

X的一元一次方程；而第二問根據(jù)漲價前單本利潤等于已經(jīng)連續(xù)兩次漲價后的單本利潤，列

出關(guān)于y的一元二次方程。

【答案】(1)11；(2)20%

【解析】

解：(1)設(shè)第二次漲價后每本練習(xí)簿的價格為X元，

根據(jù)題意得：(8.25-2)x36=(x-2)x25,解得：x=ll,

答：第二次漲價后每本練習(xí)簿的價格為11元。

(2)設(shè)每本練習(xí)簿平均獲得利潤的增長率為y,

根據(jù)題意得:(8.25-2)(1+y)2=11-2,解得：yi=0.2=20%,y2=-2.2(舍去)，

答：每本練習(xí)簿平均獲得利潤的增長率為20%。

【難度系數(shù)】3

丁俐就晡底

【題目】

[2015閘北區(qū)模擬】某賓館有客房200間供游客居住，當(dāng)每間客房的定價為每天180元

時，客房恰好全部住滿；如果每間客房每天的定價每增加10元，就會減少4間客房出租。

設(shè)每間客房每天的定價增加x元，賓館出租的客房為y間，求：

(l)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果某天賓館客房收入38400元，那么這天每間客房的價格是多少元？

2

【答案】(1)y=--x+200;(2)200元或480元

【解析】

解：(1)設(shè)每間客房每天的定價增加x元，賓館出租的客房為y間，

X2

根據(jù)題意，得：y=200-4x—,.-.y=--x+200o

(2)設(shè)每間客房每天的定價增加x元

根據(jù)題意，得(180+x)(—|龍+200)=38400,整理后，得x?-320x+6000=0,

解得xi=20,X2=300,

當(dāng)x=20時，x+180=200(元);

當(dāng)x=300時，x+180=480(元),

答：這天的每間客房的價格是200元或480元.

總結(jié)：本題考察了一次函數(shù)與一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵知道漲價和住房的關(guān)系，

表示出關(guān)系，根據(jù)利潤做為等量關(guān)系可列方程求解。

【難度系數(shù)】4

-題型梳理3：分式方程及其解法

【題目】

[2018崇明縣二?！磕趁佬g(shù)社團(tuán)為練習(xí)素描，他們第一次用120元買了若干本相同的畫

冊，第二次用240元在同一家商店買與上一次相同的畫冊，這次商家每本優(yōu)惠4元，結(jié)果

比上次多買了20本，求第一次買了多少本畫冊？設(shè)第一次買了x本畫冊，列方程正確的是

)。

120240240120

A.=4B.=4

X%+20x+20X

120240240120

c.=4D.=4

Xx-20x-20X

[題目分析】

本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找出合適的等量關(guān)系冽方程進(jìn)行解答。

【答案】A

【解析】

120240

解：設(shè)第一次買了x本畫冊，根據(jù)題意可得：----------=4,故選：A。

x%+20

【難度系數(shù)】3

丁俐強(qiáng)嘯誦

【題目】

x+4S

【2018靜安區(qū)二?！拷夥匠蹋?--=一;

x+11-xX-1

【答案】X=9

【解析】

%+456x

解：—-==一r，

(x+4)(x-1)-5(x+1)=6x

x2+3x-4-5x-5-6x=0,

x2-8x-9=0,

解得:X1=-1,X2=9,

經(jīng)檢驗：x=-l是增根，舍去

???原方程的根是X=9

總結(jié)：此題主要考查了解分式方程，正確掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵，注意驗根以免

產(chǎn)生增根。

【難度系數(shù)】3

-題型梳理4：分式方程的應(yīng)用

【題目】

[2018松江區(qū)二?！磕硹l高速鐵路全長540公里，高鐵列車與動車組列車在該高速鐵路上

運行時，高鐵列車的平均速度比動車組列車每小時快90公里，因此全程少用1小時，求高

鐵列車全程的運行時間。

【題目分析】

本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程，此外實

際問題中的分式方程結(jié)果顯然是需要驗根的。

【答案】2小時

【解析】

解：設(shè)高鐵列車全程的運行時間為x小時,則動車組列車全程的運行時間為（x+1）小時，

540540

根據(jù)題意得：----------=90,

xx+1

解得:X1=2,X2=-3,

經(jīng)檢驗，它們都是原方程的根，但x=-3不符合題意，

答：高鐵列車全程的運行時間為2小時.

【難度系數(shù)】3

:工俐就晡昧

【題目】

[2018閔行區(qū)二?！繛榱隧憫?yīng)上海市市政府"綠色出行”的號召，減輕校門口道路擁堵的

現(xiàn)狀，王強(qiáng)決定改父母開車接送為自己騎車上學(xué).已知他家離學(xué)校7.5千米，上下班高峰時

段，駕車的平均速度比自行車平均速度快15千米/小時，騎自行車所用時間比駕車所用時

間多三小時，求自行車的平均速度？

4

【答案】15千米/時

【解析】

解：設(shè)自行車的平均速度是x千米/時，

75751

根據(jù)題意，列方程得二-------=-,解得：xi=15,X2=-30,

xx+154

經(jīng)檢驗，xi=15是原方程的根，且符合題意，X2=-30不符合題意舍去,

答：自行車的平均速度是15千米/時.

總結(jié)：本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，題目中的關(guān)鍵語句"騎自行車所用時間比駕

車所用時間多1小時"，找到等量關(guān)系列出分式方程求解即可。

4

【難度系數(shù)】3

-題型梳理5：無理方程及其解法

【題目】

[2017靜安區(qū)二?！拷夥匠蹋篤TFI+j2x-5=1

【題目分析】

本題考查了無理方程，在解無理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本題利用

平方法是解題關(guān)鍵，原則就是將無理式轉(zhuǎn)換成有理式，要注意無理方程的驗根。

【答案】無解

【解析】

解：Vx+T+J2x-5=1

移項得Jx+1=1-j2x-5,

平方得x+l=l-2j2x—5+2x-5,

移項得2j2x-5=x-5

平方得8x-20=x2-10x+25

移項得x2-18x+45=0,

解得xi=3,X2=15,

經(jīng)檢驗：xi=3,X2=15都是原方程的增根，

，原方程無解

【難度系數(shù)】3

口匚礪股晡誦

【題目】

【2017浦東新區(qū)二?！糠匠蘆8-2x=-x的根是。

【答案】x=-4

【解析】

解：兩邊平方得：8-2x=x2,

整理得：(x+4)(x-2)=0,

可得x+4=0或x-2=0,

解得：x=-4或x=2,

經(jīng)檢驗x=2是增根，無理方程的解為x=-4,

故答案為：x=-4

總結(jié)：此題考查了無理方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解無理方程注意要檢驗。

【難度系數(shù)】3

題型梳理6：二元一次方程組

【題目】

[2015石家莊模擬】為了獎勵學(xué)習(xí)有進(jìn)步的學(xué)生，老師請小杰幫忙到文具店買了20本練

習(xí)簿和10支水筆，共花了36元，已知每支水筆的價格比每本練習(xí)簿的價格貴1.2元，如

果設(shè)練習(xí)簿每本為x元，水筆每支為y元，那么下面列出的方程組中正確的是（）

x-y=1.2[y-x=1.2

A<B<

[20%+10y=36[20%+10y=36

x-y=1.2fy-x=l.2

c.4D.4

10x+20y=36[10x+20y=36

【題目分析】

考查列二元一次方程組；得到單價和總價的2個等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，其中等

量關(guān)系為：水筆的單價-練習(xí)簿的單價=1.2;20本練習(xí)簿的總價+10支水筆的總價=36,

把相關(guān)數(shù)值代入即可。

【答案】B

【解析】

解：根據(jù)單價的等量關(guān)系可得方程為y-x=1.2,

y-x=l.2

根據(jù)總價36得到的方程為20x+10y=36，，可列方程為

20x+10y=36

故選：B.

【難度系數(shù)】3

B

『俐魅晡膝

【題目】

[2017邵東縣三?！咳鐖D，點C在直線AB上,zACD的度數(shù)比/BCD的度數(shù)的3倍少

20°,設(shè)NACD和/BCD的度數(shù)分別為x、y,那么下面可以求出這兩個角的度數(shù)的方程組是

()=

\+y=180[x+y=180

A.<“B.5'

x=y-20[x=3y-20

x+y=180fx+y=90

C.《D.<

x=2Q-3y[x=-20

【答案】B

【解析】

x+y=180

解：由題意得，；”，故選：B.

x=3y-20

總結(jié)：此題中的等量關(guān)系有：①NACD和NBCD組成了平角，則和是180;②/ACD的度

數(shù)比/BCD的度數(shù)的3倍少20。。

【難度系數(shù)】3

-：Q：-題型梳理7：二元二次方程組

【題目】

x2-xy-2y2=0

【2018浦東新區(qū)模擬】解方程組：n-‘.

2x+y=3

【題目分析】

本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二次一次方程組是解此題的關(guān)鍵，由

①得出(x+y)(x-2y)=0,即可轉(zhuǎn)化成兩個二元一次方程組，求出方程組的解即可。

「X=3%2==

[答案]L_5

3卜=|

【解析】

fx2-xy-ly2=0(1)

解,]2x+y=3⑵

由(1)得：(x+y)(x-2y)=0即x+y=0,x-2y=0,

x+y=0fx--2y=0f%,=3x2=~

即原方程組化為C,,c-g,解得：q|

2x+y=5[2工=3U1=-3乃=3

X=3X2

即原方程組的解為1Q,<

0=-3卜

【難度系數(shù)】3

:工制就睛漉

【題目】

x2-2xy+y2=9

[2018黃浦區(qū)二?！拷夥匠探M:<

x2+y2=5

x2—1x2__2__1

【答案】4

y2=-2y3=l，(y4=2

【解析】

x2-2xy+，=9①

解：■

x?+y2=5②

由①得，(x-y)2=9

所以x-y=3③,x-y=-3④

x-y=3(x^y=-3

③②與④②聯(lián)立得：,n

ld9+y?=5[d9+y=5

x-y=3x2-1

解方程組、

后二一2

x~y=-3叼二-2x4=-l

解方程組，9?，得，,

=1

lx^+y=5y3y4=2

x1=2x2—1X3——2x4=-l

所以原方程組的解為：y廣-1(

力=-2'(y=l

3y4=2

總結(jié)：本題考查了二元二次方程組的解法，由兩個二元二次方程組成的方程組，通常采用

變形組中的一個二次方程為兩個一元一次方程用代入法求解。

【難度系數(shù)】4

題型梳理8：不等式及不等式組

【題目】

【2018黃浦區(qū)二?！坎坏仁浇M1)的解集是

-x-3<0

12

【題目分析】

本題考查的是解一元一次不等式組，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中間找；大

大小小找不到"的原則是解答此題的關(guān)鍵，通過分別求出各不等式的解集，再求出其公共解

集即可。

【答案】1<x<6

【解析】

2x-^>0①

解:

■pc-340②

由不等式①得，X>:；

O

由不等式②得，XW6,

?此不等式組的解集為：,<X46.

6

故答案為：!<X46.

O

【難度系數(shù)】3

【題目】

3(x-1)<5x+1

[2017浦東新區(qū)二?！拷獠坏仁浇M:11<73,將其解集在數(shù)軸上表示出來，并

[22

寫出這個不等式組的最小整數(shù)解。

【答案】

【解析】

'3(x-l)<5x+l①

解:購<7多②'

由①得:x>-2,

由②得:x<4,

所以，原不等式組的解集是-2<X44,

在數(shù)軸上表示為,1八.JC

所以，這個不等式組的最小整數(shù)解是-1.

總結(jié)：本題考查的是解一元一次不等式組，熟知"同大取大；同小取??；大小小大中間找;

大大小小找不到"的原則是解答此題的關(guān)鍵，分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集

并在數(shù)軸上表示出來，寫出這個不等式組的最小整數(shù)解即可。

【難度系數(shù)】4

告課后煉習(xí)

【題目】體.習(xí)1

【2017黃浦區(qū)二?！拷夥质椒匠蹋喝-孚二=」

x-2x-4x+2

【答案】x=-5

【解析】

5x+2161

解:三一豆丁。

去分母得：（X+2）2-16=X-2,

整理得：x2+3x-10=0，即（x-2）（x+5）=0,

解得：x=