湖南省衡陽市衡陽縣第三中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末預(yù)測試題含解析

湖南省衡陽市衡陽縣第三中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末預(yù)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．102．已知：平面內(nèi)不再同一條直線上的四點(diǎn)、、、滿足，若，則（）A．1 B．2 C． D．3．如圖，正方體中，異面直線與所成角的正弦值等于A． B． C． D．14．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過如圖所示的三角形數(shù):將三角形數(shù)1，3，6，10記為數(shù)列，將可被5整除的三角形數(shù)，按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，可以推測:（）A．1225 B．1275 C．2017 D．20185．以圓形摩天輪的軸心為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，在摩天輪所在的平面建立直角坐標(biāo)系.設(shè)摩天輪的半徑為米，把摩天輪上的一個(gè)吊籃看作一個(gè)點(diǎn)，起始時(shí)點(diǎn)在的終邊上，繞按逆時(shí)針方向作勻速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，其角速度為（弧度/分），經(jīng)過分鐘后，到達(dá)，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象為（）A． B．C． D．6．下列關(guān)于四棱柱的說法：①四條側(cè)棱互相平行且相等；②兩對相對的側(cè)面互相平行；③側(cè)棱必與底面垂直；④側(cè)面垂直于底面.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知.為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則()A．31 B．32 C．63 D．648．在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)如圖所示，它是由個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的銳角為，大正方形的面積是，小正方形的面積是，則()A． B． C． D．9．設(shè)、、為平面，為、、直線，則下列判斷正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則10．在中，分別為角的對邊，若，且,則邊=()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)是某個(gè)正整數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：的分?jǐn)?shù)，為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項(xiàng)和為3，則________.12．已知正三棱錐的底面邊長為6，所在直線與底面所成角為60°，則該三棱錐的側(cè)面積為_______．13．一個(gè)社會調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)要從這10000人中再用分層抽樣的方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則月收入在（元）內(nèi)的應(yīng)抽出___人.14．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足，若，則x＝________，y＝________.15．對于數(shù)列滿足：，其前項(xiàng)和為記滿足條件的所有數(shù)列中，的最大值為，最小值為，則___________16．從原點(diǎn)向直線作垂線，垂足為點(diǎn)，則的方程為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計(jì)平均每年能給企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護(hù)設(shè)備的正常運(yùn)行，第一年需要各種維護(hù)費(fèi)用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護(hù)費(fèi)用要增加10萬元（1）求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）試計(jì)算這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元？18．已知非零數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若關(guān)于的不等式有解，求整數(shù)的最小值；（3）在數(shù)列中，是否存在首項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)()，使得這三項(xiàng)依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，請說明理由.19．設(shè)是一個(gè)公比為q的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求q；（2）若數(shù)列前4項(xiàng)的和，令（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．隨著中國經(jīng)濟(jì)的加速騰飛，現(xiàn)在手有余錢的中國家庭數(shù)量越來越多，在房價(jià)居高不下?股市動蕩不定的形勢下，為了讓自己的財(cái)富不縮水，很多家庭選擇了投資理財(cái).為了了解居民購買理財(cái)產(chǎn)品的情況，理財(cái)公司抽樣調(diào)查了該市2018年10戶家庭的年收入和年購買理財(cái)產(chǎn)品支出的情況，統(tǒng)計(jì)資料如下表:年收入x(萬元)204040606060707080100年理財(cái)產(chǎn)品支出y(萬元)9141620211918212223（1）由該樣本的散點(diǎn)圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，請求出回歸方程；（求時(shí)利用的準(zhǔn)確值，，的最終結(jié)果精確到0.01）（2）若某家庭年收入為120萬元，預(yù)測某年購買理財(cái)產(chǎn)品的支出.（參考數(shù)據(jù):，，，）21．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若存在，使等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點(diǎn)滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取等號.點(diǎn)睛:對于拋物線弦長問題，要重點(diǎn)抓住拋物線定義，到定點(diǎn)的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點(diǎn)掌握.考查最值問題時(shí)要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以.2、D【解析】

根據(jù)向量的加法原理對已知表示式轉(zhuǎn)化為所需向量的運(yùn)算對照向量的系數(shù)求解.【詳解】根據(jù)向量的加法原理得所以，，解得且故選D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

由線面垂直的判定定理得：，又，所以面，由線面垂直的性質(zhì)定理得：，即可求解．【詳解】解：連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又，所以面，所以，所以異面直線與所成角的正弦值等于1，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，屬中檔題．4、A【解析】

通過尋找規(guī)律以及數(shù)列求和，可得，然后計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知：則由…可得所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查不完全歸納法的應(yīng)用，本題難點(diǎn)在于找到，屬難題，5、B【解析】

根據(jù)題意，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此通過特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷所給的圖象是否滿足條件，從而得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可得，振幅，角速度，初相，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為的最大值，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用以及余弦型函數(shù)圖象的特征，其中，求出函數(shù)模型的解析式是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.6、A【解析】

根據(jù)棱柱的概念和四棱錐的基本特征，逐項(xiàng)進(jìn)行判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，根據(jù)棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，由四棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都平行且相等，①正確；②兩對相對的側(cè)面互相平行，不正確，如下圖：左右側(cè)面不平行.本題題目說的是“四棱柱”不一定是“直四棱柱”，所以，③④不正確，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四棱柱的概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記棱柱的概念以及四棱錐的基本特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

首先根據(jù)題意求出和的值，再計(jì)算即可.【詳解】有題知：，解得，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及前項(xiàng)和的求法，屬于簡單題.8、C【解析】

根據(jù)題意即可算出每個(gè)直角三角形的面積，再根據(jù)勾股定理和面積關(guān)系即可算出三角形的兩條直角邊．從而算出【詳解】由題意得直角三角形的面積,設(shè)三角形的邊長分別為，則有，所以，所以，選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式以及直角三角形中，正弦、余弦的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

根據(jù)線面、面面有關(guān)的定理，對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)不正確，因?yàn)楦鶕?jù)面面垂直的性質(zhì)定理，需要加上：在平面內(nèi)或者平行于，這個(gè)條件，才能判定.B選項(xiàng)不正確，因?yàn)榭赡芷叫杏?C選項(xiàng)不正確，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，或者.D選項(xiàng)正確，根據(jù)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，得到，直線，則可得到.綜上所述，本小題選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線面、面面位置關(guān)系有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由利用正弦定理化簡，再利用余弦定理表示出cosA，整理化簡得a2b2+c2，與，聯(lián)立即可求出b的值．【詳解】由sinB＝8cosAsinC，利用正弦定理化簡得：b＝8c?cosA，將cosA代入得：b＝8c?，整理得：a2b2+c2，即a2﹣c2b2，∵a2﹣c2＝3b，∴b2＝3b，解得：b＝1或b＝0（舍去），則b＝1．故選B【點(diǎn)睛】此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理,準(zhǔn)確計(jì)算是解本題的關(guān)鍵，是中檔題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，可求得，從而，利用首項(xiàng)是某個(gè)自然數(shù)，可求，進(jìn)而可求出.【詳解】無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和為3，，是個(gè)自然數(shù)，則，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

畫出圖形，過P做底面的垂線，垂足O落在底面正三角形中心，即，因?yàn)?，即可求?所以．【詳解】作于，因?yàn)闉檎忮F，所以，為中點(diǎn)，連結(jié)，則，過作⊥平面，則點(diǎn)為正三角形的中心，點(diǎn)在上，所以，，正三角形的邊長為6，則,，，斜高，三棱錐的側(cè)面積為：【點(diǎn)睛】此題考查正三棱錐，即底面為正三角形，側(cè)面為等腰三角形的三棱錐，正四面體為四個(gè)面都是正三角形，畫出圖像，屬于簡單的立體幾何題目．13、25【解析】由直方圖可得[2500,3000)(元)月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分層抽樣應(yīng)抽出人．故答案為25.14、【解析】特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，.考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為平面向量有關(guān)知識與計(jì)算，利用向量相等解題.15、1【解析】

由，，，，，分別令，3，4，5，求得的前5項(xiàng)，觀察得到最小值，，計(jì)算即可得到的值．【詳解】由，，，，，可得，解得，又，，可得或，又，，，可得或5；或6；或或8；又，，，，可得或6或7；或7或8；或8或9或10或12；或10或12或1．綜上可得的最大值，最小值為，則．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的和的最值，注意運(yùn)用元素與集合的關(guān)系，運(yùn)用列舉法，考查判斷能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16、.【解析】

先求得直線的斜率,由直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系可求得直線的斜率.再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求得直線的方程.【詳解】從原點(diǎn)向直線作垂線,垂足為點(diǎn)則直線的斜率由兩條垂直直線的斜率關(guān)系可知根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線的方程為化簡得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系,點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元【解析】

（1）運(yùn)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可以求出年的維護(hù)費(fèi)，這樣可以由題意可以求出該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤最大值.【詳解】解：（1）由題意知，年總收入為萬元年維護(hù)總費(fèi)用為萬元.∴總利潤，即，（2）年平均利潤為∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”∴答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題的能力，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，或.【解析】

（1）由條件可得，即，再由等比數(shù)列的定義即可得證；

（2）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，，再由數(shù)列的單調(diào)性的判斷，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；

（3）假設(shè)存在首項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)()，使得這三項(xiàng)依次構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和恒等式的性質(zhì)，可得，的方程，解方程可得所求值.【詳解】解：（1）證明：由，

得，即，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；

（2）由（1）可得，，則

故，

設(shè)，

則，

所以單調(diào)遞增，

則，于是，即，

故整數(shù)的最小值為；

（3）由上面得，，

設(shè)，

要使得成等差數(shù)列，即，

即，

得，

，

，

故為偶數(shù)，為奇數(shù)，

或.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求得最值，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用恒等式的性質(zhì)，是一道難度較大的題目.19、（1），（2）或【解析】

（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列，得到，解得答案.（2）討論和兩種情況，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【詳解】（1）因?yàn)槭且粋€(gè)公比為q的等比數(shù)列，所以.因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以即.解得，.（2）①若，又它的前4和，得，解得所以，因?yàn)?，（），∴，，∴，∴②若，又它的?和，即，因?yàn)椋ǎ?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算，錯(cuò)位相減法，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.20、（1），（2）萬元【解析】

（1）由題意計(jì)算，求出回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；（2）利用回歸方程計(jì)算時(shí)的值即可．【詳解】（1）由題意，又，所以所以所以線性回歸方程為；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，預(yù)測某家庭年收入為120萬元時(shí)，某年購買理財(cái)產(chǎn)品的支出為萬元．【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用