高中數(shù)學(xué)8.2.2離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征同步練習(xí)教師版蘇教版選擇性必修第二冊(cè)

8.2.2離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、單選題1．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面對(duì)上得1分，反面對(duì)上得－1分，則得分X的均值為（

）A．0 B． C．1 D．－1【答案】A【分析】利用隨機(jī)變量的均值的定義即得.【解析】因?yàn)镻(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定義得E(X)＝1×＋(－1)×＝0．故選：A.2．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學(xué)期望（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】干脆利用分布列求數(shù)學(xué)期即可【解析】.故選：A.3．若數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】A【分析】由方差的性質(zhì)求解即可.【解析】數(shù)據(jù)，，…，的方差，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為.故選：A4．已知隨機(jī)變量滿意，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求解【解析】，得，，得，故選：B5．若隨機(jī)變量聽從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查兩點(diǎn)分布的理解，以及，，的計(jì)算運(yùn)用．【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量聽從兩點(diǎn)分布，且，所以，故A正確；，故B正確；，故C不正確；，故D正確，故選：C.6．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示：012若，則（

）A．>，> B．<，>C．>，< D．<，<【答案】A【分析】通過計(jì)算期望和方差來求得正確答案.【解析】，，由于，所以.，同理可得.，所以.故選：A7．設(shè)樣本數(shù)據(jù)，的均值和方差分別為1和4，若，，…，10，且，，...，的均值為5，則方差為（

）A．5 B．8 C．11 D．16【答案】D【分析】依據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，由此即可求出結(jié)果．【解析】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的均值和方差分別為和，且，所以的均值為：，即，所以方差為．故選：D．8．已知甲盒子有6個(gè)不同的小球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，從甲盒子中取出一個(gè)球，記隨機(jī)變量是取出球的編號(hào)，數(shù)學(xué)期望為，乙盒子有5個(gè)不同的小球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，從乙盒子中取出一個(gè)球，記隨機(jī)變量是取出球的編號(hào)，數(shù)學(xué)期望為，則（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】求出，，即得解.【解析】由題，，，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算和隨機(jī)變量的期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.9．假如是離散型隨機(jī)變量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】依據(jù)隨機(jī)變量的線性關(guān)系，結(jié)合數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)即可得，，故可得答案.【解析】解：因?yàn)?，又，所以，，則，.故選：D.10．甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球競(jìng)賽，現(xiàn)接受三局兩勝的競(jìng)賽制度，規(guī)定每局競(jìng)賽都沒有平局（必需分出輸贏），且每一局甲贏的概率都是，隨機(jī)變量表示最終的競(jìng)賽局?jǐn)?shù)，若，則的數(shù)學(xué)期望的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三局兩勝的競(jìng)賽制度可得隨機(jī)變量可能的取值為2和3，分別求出概率，列出分布列，利用離散型隨機(jī)變量的期望公式計(jì)算并化簡，依據(jù)，得出數(shù)學(xué)期望的取值范圍．【解析】隨機(jī)變量可能的取值為2，3．．，故的分布列為：23故．因?yàn)椋剩蔬x：A．11．已知隨機(jī)變量的分布列為：012則下列說法中正確的是(

)A．有最小值 B．有最大值C．有最小值0 D．有最大值【答案】D【分析】依據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的定義表示出和，用函數(shù)思想解析探討﹒【解析】由題意，知，即．又，則，∵＝b＋2a＝＋2a，∴沒有最值；∵．又，∴當(dāng)時(shí)，有最大值．故選：D﹒12．從裝有個(gè)白球和個(gè)黑球的袋中無放回任取個(gè)球，每個(gè)球取到的概率相同，規(guī)定：（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】依據(jù)題意計(jì)算概率寫出分布列，計(jì)算方差、期望比較即可．【解析】依據(jù)題意，，，，分布列如下：依據(jù)題意，，，，分布列如下：，，，，可得，故選：C.二、多選題13．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01234q0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿意，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】對(duì)于AB，利用數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式求解即可推斷；對(duì)于CD，利用數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)求得新的數(shù)學(xué)期望與方差即可推斷.【解析】對(duì)于A，由，則，所以，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AB.14．甲乙兩位同學(xué)紙牌嬉戲（紙牌除了顏色有不同，沒有其他任何區(qū)分），他們手里先各持4張牌，其中甲手里有2張黑牌，2張紅牌，乙手里有3張黑牌，1張紅牌，現(xiàn)在兩人都各自隨機(jī)的拿出一張牌進(jìn)行交換，交換后甲?乙手中的紅牌數(shù)分別為?張，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】依題意可得的可能取值為、、，且，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可求出，再依據(jù)期望與方差的性質(zhì)計(jì)算可得；【解析】解：甲取出一張紅牌為事務(wù)A，乙取出一張紅牌為事務(wù)，則，，則的可能取值為、、，且，則，，所以，所以，，故正確的有A、D；故選：AD15．有一組樣本甲的數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本乙的數(shù)據(jù)，其中為不全相等的正實(shí)數(shù)．下列說法正確的是（

）A．樣本甲的極差確定小于樣本乙的極差B．樣本甲的方差確定大于樣本乙的方差C．若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為D．若為樣本甲的平均數(shù)，則樣本乙的平均數(shù)為【答案】ACD【分析】依據(jù)甲的極差、平均數(shù)、方差、中位數(shù)確定乙的相關(guān)數(shù)據(jù)特征，結(jié)合各選項(xiàng)的描述推斷正誤.【解析】為不全相等的正實(shí)數(shù)，若甲的極差為，平均數(shù)為，方差為，則，中位數(shù)為，則乙的極差為，平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為，A：由，故正確.B：由題意可知，，故不正確.C：由上分析知：若為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為，正確；D：由上分析知：若為樣本甲的平均數(shù)，則樣本乙的平均數(shù)為，正確；故選：ACD16．甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．的數(shù)學(xué)期望【答案】ACD【分析】利用已知條件求出，，推出即可推斷選項(xiàng)A；推出，得到說明數(shù)列是等比數(shù)列，再利用期望的公式求解即可推斷.【解析】由題知，，，且，；則，；故A正確；由上可得，故，則數(shù)列是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確；且；則，故D正確.故選:ACD.三、填空題17．?dāng)S一枚質(zhì)地勻整的骰子，若將擲出的點(diǎn)數(shù)記為得分，則得分的均值為______.【答案】【分析】依據(jù)離散形隨機(jī)變量的均值干脆求出.【解析】設(shè)得分為，則可能的取值為1,2,3,4,5,6，且，其中，則得分的均值為，故答案為：18．將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體切割為27個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過充分?jǐn)嚢韬?，從中隨機(jī)取1個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為，則__________.【答案】2【分析】依據(jù)題意得出的全部可能取值為，依據(jù)涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的小正方體的個(gè)數(shù)，計(jì)算取每個(gè)值時(shí)的概率，從而求出的值．【解析】的全部可能取值為，涂3面油漆的小正方體有8個(gè)；涂2面油漆的小正方體有12個(gè)；涂1面油漆的小正方體有6個(gè)；涂0面油漆的小正方體有1個(gè)；則，，，，所以．故答案為：2．19．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則_________.X－101Pab【答案】5【分析】利用離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，列出方程組，求出，，由此能求出方差，再依據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得．【解析】依題意可得，解得，所以，所以.故答案為：5.20．對(duì)于隨機(jī)變量X，它的數(shù)學(xué)期望和方差，下列全部正確的序號(hào)是______．①是反映隨機(jī)變量的平均取值；

②越小，說明X越集中于；③；

④．【答案】①②③【分析】依據(jù)離散型隨機(jī)變量期望與方差的意義，以及期望與方差的性質(zhì)依次推斷即可.【解析】離散型隨機(jī)變量的期望反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，方差越小，說明隨機(jī)變量的取值越集中于均值，則①②正確；，，則③正確，④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.四、解答題21．假定籃球運(yùn)動(dòng)員甲每次投籃命中的概率為.現(xiàn)有3個(gè)籃球，該運(yùn)動(dòng)員甲打算投籃，一旦投中即停止投籃，否則始終投籃到籃球用完（不重復(fù)運(yùn)用）．設(shè)耗用籃球數(shù)為，求：(1)的概率分布列；(2)均值.【答案】(1)X123(2)【分析】（1）求出的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列；（2）在第一問的基礎(chǔ)上求出均值.(1)隨機(jī)變量的全部取值是，X123(2)22．某公司實(shí)行了一場(chǎng)羽毛球競(jìng)賽，現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行競(jìng)賽，每局競(jìng)賽必需分出輸贏，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，競(jìng)賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿8局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局輸贏相互獨(dú)立．(1)求其次局競(jìng)賽結(jié)束時(shí)競(jìng)賽停止的概率；(2)設(shè)表示競(jìng)賽停止時(shí)已競(jìng)賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【分析】（1）要使其次局競(jìng)賽結(jié)束時(shí)競(jìng)賽停止，必是甲連勝2局成乙連勝2局，依據(jù)此結(jié)果求其概率即可；（2）X的全部可能取值為2，4，6，8，求出概率得到分布列，然后求期望即可.【解析】（1）依題意，當(dāng)甲連勝2局或乙連勝2局時(shí)，其次局競(jìng)賽結(jié)束時(shí)競(jìng)賽結(jié)束，記事務(wù)A是“其次局競(jìng)賽結(jié)束時(shí)競(jìng)賽停止”．則；（2）依題意知，X的全部可能取值為2，4，6，8設(shè)每兩局競(jìng)賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)競(jìng)賽停止的概率為，該輪結(jié)束時(shí)競(jìng)賽接著的概率為，即，，，；則隨機(jī)變量X的分布列為：X2468P則．23．醫(yī)學(xué)上發(fā)覺，某種病毒侵入人體后，人的體溫會(huì)上升．記病毒侵入后人體的平均體溫為（攝氏度）．醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)發(fā)覺，X的分布列如下．X37383940P0.10.50.30.1(1)求出，；(2)已知人體體溫為時(shí)，相當(dāng)于，求，．【答案】(1)38.4，0.64.(2)101.12，2.0736.【分析】（1）利用期望及方差公式即求；（2）由可得,即求.(1)由題可得，.(2)由可知，，.24．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶．某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊一次，命中的概率為，命中得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中兩次的概率；(2)求該射手的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】(1)由題意可得恰好命中兩次包含甲靶擊中兩次且乙靶不中和甲靶擊中一次和乙靶擊中即可求得答案；(2)依據(jù)題意可知的全部可能取值為，求出對(duì)應(yīng)的概率，再依據(jù)期望公式計(jì)算即可.【解析】（1）設(shè)“該射手恰好命中兩次”為事務(wù)，．（2）由題意可得：；；；；，所以的分布列為：01234所以．25．某網(wǎng)約車司機(jī)統(tǒng)計(jì)了自己一天中出車一次的總路程X（單位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；(2)若網(wǎng)約車計(jì)費(fèi)細(xì)則如下：起步價(jià)為5元，行駛路程不超過3km時(shí)，收費(fèi)5元，行駛路程超過3km時(shí)，則按每超出1km（不足1km也按1km計(jì)程）收費(fèi)3元計(jì)費(fèi)．試計(jì)算此人一天中出車一次收入的均值和方差．【答案】(1)分布列見解析，，；(2)均值為71元，方差為.【分析】（1）利用概率和為1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則，然后利用期望方差的性質(zhì)可算出答案.【解析】（1）由題意，得．∴．∴X的分布列為X202224262830P0.10.20.30.10.10.2∴，．（2）設(shè)此人一天中出車一次的收入為Y元，則，∴，．故此人一天中出車一次收入的均值為71元，方差為95.4．26．已知兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量和，依據(jù)市場(chǎng)分析，和的分布列如下：(1)在兩個(gè)項(xiàng)目上各投資200萬元，和（單位：萬元）表示投資項(xiàng)目和所獲得的利潤，求和；(2)將萬元投資項(xiàng)目，萬元投資項(xiàng)目，表示投資項(xiàng)目所得利潤的方差與投資項(xiàng)目所得利潤的方差之和.則當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值？【答案】(1)=24，=36；(2).【分析】（1）由已知寫出和對(duì)應(yīng)分布列，并求出它們的期望，進(jìn)而由方差公式求和；（2）由題設(shè)、項(xiàng)目所獲利潤分別為、，應(yīng)用方差的性質(zhì)求出關(guān)于x的表達(dá)式，即可知結(jié)果.（1）依題意得：102041624，.（2）設(shè)投資項(xiàng)目所獲利潤為，投資項(xiàng)目所獲利潤為.，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.27．受新冠肺炎疫情的影響，2024年一些企業(yè)變更了針對(duì)應(yīng)屆畢業(yè)生的校內(nèi)聘請(qǐng)方式，將線下聘請(qǐng)改為線上聘請(qǐng).某世界五百強(qiáng)企業(yè)的線上聘請(qǐng)方式分資料初審?筆試?面試這三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行，資料初審?fù)ㄟ^后才能進(jìn)行筆試，筆試合格后才能參與面試，面試合格后便正式錄用，且這幾個(gè)環(huán)節(jié)能否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲?乙?丙三名高校生報(bào)名參與了企業(yè)的線上聘請(qǐng)，并均已通過了資料初審環(huán)節(jié).假設(shè)甲通過筆試?面試的概率分別為，；乙通過筆試?面試的概率分別為，；丙通過筆試?面試的概率與乙相同.（1）求甲?乙?丙三人中恰有一人被企業(yè)正式錄用的概率；（2）求甲?乙?丙三人中至少有一人被企業(yè)正式錄用的概率；（3）為激勵(lì)優(yōu)秀高校生主動(dòng)參與企業(yè)的聘請(qǐng)工作，企業(yè)確定給報(bào)名參與應(yīng)聘且通過資料初審的高校生確定的補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：參與環(huán)節(jié)筆試面試補(bǔ)貼(元)100200記甲?乙?丙三人獲得的全部補(bǔ)貼之和為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）設(shè)甲、乙、丙被企業(yè)正式錄用分別為事務(wù)，即可求出，，又相互獨(dú)立，利用相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式即可求解；（2）利用相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式，求甲、乙、丙三人都沒有被企業(yè)正式錄用的事務(wù)D的概率，再利用互斥事務(wù)的概率求解；（3）分析題意可知，若沒有人通過考試時(shí)的取值為300；只有1人通過考試時(shí)的取值為500；有2人通過考試時(shí)的取值為700；3人都通過考試時(shí)的取值為900，分別算出事務(wù)對(duì)應(yīng)的概率，寫出分布列，即可得出期望.【解析】（1）設(shè)事務(wù)表示“甲被企業(yè)正式錄用”，事務(wù)表示“乙被企業(yè)正式錄用”，事務(wù)表示“丙被企業(yè)正式錄用”，則，，所以甲?乙?丙三人中恰有一人被企業(yè)正式錄用的概率.（2）設(shè)事務(wù)表示“甲、乙、丙三人都沒有被企業(yè)正式錄用”，則，所以甲?乙?丙三人中至少有一人被企業(yè)正式錄用的概率.（3）的全部可能取值為300，500，700，900，，，，.所以的分布列為300500700900.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查互斥事務(wù)?相互獨(dú)立事務(wù)的概率以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要依據(jù)詳細(xì)狀況確定的取值狀況，然后利用排列，組合，概率學(xué)問求出取各個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，對(duì)應(yīng)聽從某種特別分布的隨機(jī)變量，其分布列可以干脆應(yīng)用公式給出，考查學(xué)生邏輯推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.28．在全球關(guān)注的抗擊“新冠肺炎”中，某跨國科研中心的一個(gè)團(tuán)隊(duì)，研制了甲、乙兩種治療“新冠肺炎”新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，試驗(yàn)方案如下：第一種：選取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用甲藥后某項(xiàng)指標(biāo)分別為：84，87，89，91，92，92，86，89，90，90；其次種：選