新教材高中數(shù)學(xué)人教a版必修第一冊(cè)學(xué)案56函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）

5.6函數(shù)y=4sin?x+3)

［目標(biāo)］1.會(huì)用五點(diǎn)法畫出y=Asin(①的簡(jiǎn)圖；2.能夠利用圖象

變換畫出y=4sin(tox+°)的簡(jiǎn)圖；3.知道y=Asin(cox+0)的實(shí)際意義，

并會(huì)用其性質(zhì)解題.

［重點(diǎn)］用五點(diǎn)法畫出y=Asin(cox+0)的簡(jiǎn)圖.

［難點(diǎn)］用圖象變換畫出y=4sin(cox+0)的簡(jiǎn)圖.

參數(shù)4(4>0),(d(a)>0),火對(duì)函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)—y=4sin(妙+⑴鹵象的影響

畫y=Asin(a)x+(p)的圖象的兩種

知識(shí)點(diǎn)二常用方法

(2)用“變換法”作圖.

由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ft)x+0)(co〉O)的圖象,

主要有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.

方法一：先平移后伸縮

向左”〉0)或向右(。<0)

y=sinx------>y=sin(%+0)

■平移I研個(gè)單位’

方法二：先伸縮后平移

［答一答］

2.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=2sin13%+^在一個(gè)周期上的圖象時(shí),

應(yīng)描的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是［一靠，0］，E2.借0］，目，—2,

解析：令X=3%+5,分別等于0,方，冗,-y,271,

列表如下:

三3瓦

X0712K

2T

71兀5冗4兀1171

X

~18918918

y020-20

故五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是:

知識(shí)點(diǎn)三簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

［填一填］

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y=Asin(①%十°)(A>0,co>0,%￡［0,+8))中,在叫振幅,

7=請(qǐng)叫周期，尸為叫頻率，妙士必叫相位，心叫初相.

［答一答］

3.在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，y=—sin12x—1的初相、振幅、周期分別為多

少？在確定這些量時(shí)，需注意什么問題？

_JIJI

提示：y=—sin(2x—1)的周期T=n,但振幅AW—1,初相g.

、71

因?yàn)閥=4sin(ft)x+0)中A>0,所以該函數(shù)需變形為y=—sin(2%—g)=

TT2712兀

sin［(2x—2)+?i］—sin(2x+^~),所以初相振幅4=1.在確定這些

量時(shí)，必須利用誘導(dǎo)公式先化為y=4sin(ft)x+0)的形式，其中A>0,co>0.

函數(shù)y=Asin(a)x+(p)(A>0,0)>0)

知識(shí)點(diǎn)四的性質(zhì)

(2)值域：L44.

2E4=兀

-2

當(dāng)

一ae

-①々QZ)時(shí)，y取最大值A(chǔ)；當(dāng)％=

一

時(shí)，y取最小值一A.

2JT

(3)周期性：周期函數(shù)，周期為券

(4)奇偶性：當(dāng)且僅當(dāng)9=foi/WZ)時(shí)，函數(shù)y=Asin(ft)x+0)是直函

7T

數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)9=E+1(左￡Z)時(shí)，函數(shù)y=Asin(①x+夕)是偶函數(shù).

(5)單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間是

2kli——耳——（p2hi~\~2一Q2E+3——cp

KkWZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是［---二一

四co

…?3兀

2^71I一（P

-7一］（依Z）.

［答一答］

4.函數(shù)y=Asin(①的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸各有什么特點(diǎn)？

提示：對(duì)稱中心為圖象與入軸的交點(diǎn)；對(duì)稱軸為過其圖象最高點(diǎn)

或最低點(diǎn)與x軸垂直的直線.

5.已知函數(shù)y=sin(ttzx+°)(co〉0,—7iW0<7i)的圖象如下圖，則cp

9九

=io,

T3JT5Ji

解析：由題圖，知尹2加一半=芋，

Vsin^Xy+^J=-l,即sin[*y+可=-1,

.,.即+9=:+2471,左￡Z.

.9K

e

,.—nW(p<K,?、9=I5.

類型一“五點(diǎn)法”作函數(shù)產(chǎn)Asin(ar+°)的圖象

(冗、「JT571

［例1］用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=3sin12%+§J,%q一不，不］的圖象.

7TJT37r

［分析］將2%+1看作一個(gè)整體取值0,I，7i,藍(lán)，271,求出對(duì)應(yīng)

的％,y值，再描點(diǎn)、連線即得所求函數(shù)的圖象.

［解］①列表：

K3瓦

2%+全071271

2T

7171n7715瓦

X

6123126

3sin030-30

②描點(diǎn)：在坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn):

③連線：用光滑曲線將所描的五個(gè)點(diǎn)順次連接起來，得函數(shù)y=

JTJT5兀

3sin(2x+g),%￡［—4,石~］的簡(jiǎn)圖，如圖所示.

五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin((yx+(p)(xWR)圖象的步驟.

JT371

(1)列表.令①%十°=0,71,工，271,依次得出相應(yīng)的(%,y)值.

(2)描點(diǎn).

(3)連線得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

(4)左右平移得到y(tǒng)=4sin(cox+0),%￡R的圖象.

［變式訓(xùn)練1］已知加)=2sin修+?.

(1)在給定的坐標(biāo)系內(nèi)，用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)危)在一個(gè)周期內(nèi)的

圖象；

(2)寫出危)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)求八%)的最大值和此時(shí)相應(yīng)的x的值.

解：⑴列表：

X.71713瓦

2+3071271

2T

2瓦714n7n1071

X-

T3T~3~3

於)020-20

作圖如下

JIXTI715兀兀

(2)由2祈一左￡Z,得4E一亍k

ez.

所以函數(shù)危)的單調(diào)遞增區(qū)間為

八5九八,71~|

4kn-4祈+,，左￡Z.

X7171

(3)當(dāng)/+g=1+2E(左￡Z),

71

即X=g+4E(左￡Z)時(shí)，危)max=2.

類型二三角函數(shù)的圖象變換

［例2］已知函數(shù)y=；sin12%+V+l，該函數(shù)的圖象可由y=sinx,

xeR的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

JT

［解］方法1：步驟：(1)把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移d個(gè)單位長(zhǎng)度,

71

可以得到函數(shù)y=sin(%+W)的圖象；

7T1

(2)把函數(shù)y=sin(x+w)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的］,縱

7?

坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)y=sin(2x+d)的圖象；

兀1

(3)把函數(shù)y=sin(2%+d)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的],橫

、1兀

坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)y=/sin(2x+w)的圖象；

1715

(4)再把得到的函數(shù)y=/sin(2x+d)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，

1715

就能得到函數(shù)y=/sin(2x+d)+4的圖象.

方法2:步驟：(1)把函數(shù)y=sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原

來的3，而縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；

JT

(2)把函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移五個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到函數(shù)

7T

y=sin(2x+d)的圖象；

7T1

(3)把函數(shù)y=sin(2%+4)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的1,而

、171

橫坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)y=]sin(2%+%)的圖象；

17T5

(4)再把得到的函數(shù)y=]sin(2x+9的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

1715

就能得到函數(shù)y=/sin(2x+d)+1的圖象.

圖象變換一般有兩種方法：

方法1是先平移后伸縮，方法2是先伸縮后平移.兩種方法平移的

單位長(zhǎng)度是不同的，但最后得到的結(jié)果是相同的.其原因是函數(shù)的相位

變換(。)和周期變換(①)都是針對(duì)％而言的，變換時(shí)要注意順序.

[變式訓(xùn)練2](1)為了得到函數(shù)y=cos便一舊的圖象，可以將函數(shù)

Y

y=sin]的圖象(A)

A.向左平移冷個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度

c.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度

(7171I

(2)將函數(shù)危)=sin(ttzx+0)［co〉0,一產(chǎn)°<可圖象上每一點(diǎn)的橫坐

標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=

sinx的圖象，則《看

啦

2'

X兀X71X.7171

角星析：(十尸x+

l)y=cos|5-4=sin2?5-4=sin[]4sin22，

故選A.

-60

(2)y=sin2Hx一看+9=sin^2(z)x+(p2=sinx

71

2co=l,且(p—^co=2kn(kZ).

.1兀

??co=2,夕=不+24兀(左￡Z),

??T三

瀉,-*-A^)=si

71.式一

??他=s%=2-

類型三由圖象確定函數(shù)的解析式

JT

［例3］已知函數(shù)危)=Asin(cox+e)(%QR,co〉O,O<0<5)的部分圖象

如圖所示.求函數(shù)八%)的解析式.

11jr57r2TT

［解］由題設(shè)圖象知，周期T=2(J2-:.s=~^=2.

因?yàn)辄c(diǎn)(工，0)在函數(shù)圖象上,

所以Asin（2X五+0）=0,

5兀

即sin（w-+0）=O.

71

又0<°<5,

從而不+9=加，即9=不

71

又點(diǎn)（0,1）在函數(shù)圖象上，所以Asind=l,A=2.

TT

故函數(shù)fix）的解析式為危）=2sin（2x+4）.

根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)八%）=4sin（①x+。）的解析式，一般先結(jié)

合圖形求得振幅和周期，從而求得A,0；再利用特殊點(diǎn)、零點(diǎn)或最值

點(diǎn)列出關(guān)于（p的方程求出（p值.函數(shù)y=Asin（ftzx+0）（A>O,①〉0）的零點(diǎn)

有上升零點(diǎn)和下降零點(diǎn)，一般取最靠近原點(diǎn)的上升零點(diǎn)配，令cox（）+°

=0；下降零點(diǎn)％0,使COXo+0=7l或一兀

”〉0,1

［變式訓(xùn)練3］函數(shù)兀0=2sin（①%+。）7171的部分圖象如圖

I—尹司

所示，則①°的值分別是（A）

A.2，2,一z

—T3B.6

C.4,VD.4,

63

解析：由題圖象知T=2xgj苧一^=7i,.,.co=2.

又點(diǎn)墻，在圖象上，

5兀）57r7i

［2.五十可=1,不+0=1+2E,kGZ.

7T7T7C

又一所以9=一々.故選A.

類型四函數(shù)y=Asin（cox+0）的性質(zhì)應(yīng)用

［例4］已知函數(shù)危）=2sin12%+日|+。+1（其中a為常數(shù)）.

⑴求危）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若xw［0,5］時(shí)，火%）的最大值為4,求。的值；

⑶求出使八X）取最大值時(shí)x取值的集合.

［解］（1）由-1+2EW2x+dW］+2E,kuZ,

7171

解得—g+EWxWd+E,kGZ.

???函數(shù)次x）的單調(diào)遞增區(qū)間為

兀一兀一］

—5+E（左￡Z）.

7171371

由

72+2EW2x+ozW2k+2E,keZ,

Jr27r

解得d+EWxW-y+E,左￡Z.

Z.函數(shù)危）的單調(diào)遞減區(qū)間為

71,,271,1

4+E,亍+E（左￡Z）.

v2o66，

.，.—sin^2x+1,

.,.八工）的最大值為2+a+l=4,.,.a=1.

JTJT

（）當(dāng)危）取最大值時(shí)，

32X+/u=5乙+2E,kGZ,

71

此時(shí)，x=d+E,kGZ；當(dāng)八%）取最大值時(shí)，入取值的集合是

（%x=—+kir,keZj.

解決該類題目的關(guān)鍵是由y=4sin（cox+G確定出函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)，

如單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、最值等，充分利用函數(shù)性質(zhì)求解.

［變式訓(xùn)練4］已知函數(shù)火aWsinQx+W+l.

（1）求危）的振幅、最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；

（2）求危）的圖象的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心；

（3）求八%）的最小值及取得最小值時(shí)的x的取值集合.

127171

解：（1）函數(shù)九%）的振幅為最小正周期7=5=兀.由2Mi-］W2x

TTTTTTTT

（左￡Z）得E一（左￡Z）,所以八%）的單調(diào)增區(qū)間

,「，冗,，冗］

為E—E+4（左￡Z）.

jrjrKTT7T

（2）令2%+d=E+］（左￡Z）,得％=g+4（左￡Z）,

"iTTT

所以對(duì)稱軸方程為尸號(hào)+稅￡Z）.

2o

兀kiL兀

令2工+5=左九（左￡Z）,得％=了一直（*￡Z）,

所以對(duì)稱中心為［工一五，

兀）TTJT

［2%+*=-1,即2%+不=—1+2E（左￡Z）,

兀3、

即X=—g+E（左￡Z）時(shí)，危）的最小值為不此時(shí)％的取值集合是

71

<xx=一乃I,kGZ>.

1.把函數(shù)y=sin12x—T的圖象向左平移《個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的

圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（A）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

解析：y=sin[2x—(]=sin2U一百]向左平移方個(gè)單位長(zhǎng)度后為y

7171

為奇函數(shù)，故選

=sin[2(%—dO+dO)]=sin2%,A.

2.函數(shù)y=2sin(,+E)的周期、振幅依次是(B)

A.4加，—2B.4兀，2

C.8,2D.九,—2

2兀

解析:在y=Asin(①X+T)(A>0,co〉0)中，T=~,4叫振幅(4〉0),

XTT2兀

故y=2sin(5+《)的周期7=7=4兀，振幅為2,故選B.

乙J.L

2

jrJT

3.函數(shù)y=|5sin(2%+§)|的最小正周期為1.

JT

解析：,.,y=5sin(2%+w)的最小正周期為it,

JTJT

函數(shù)y=|5sin(2%+g)|的最小正周期為1.

4.把函數(shù)y=2sin13x+T的圖象上所有的點(diǎn)向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度，

再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象對(duì)

應(yīng)的一個(gè)解析式為y=2sin1|%—*

解析：把函數(shù)y=2sin13%+用的圖象上所有的點(diǎn)向右平移處單位

長(zhǎng)度，得函數(shù)y=2sin3,一看|+￡=2sin13%一日的圖象，再把所有點(diǎn)的

橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=2sin3n|一￡的

圖象,即y=2sin1|%一*

jr

5.已知函數(shù)y=4sin(ftzx+0)(4〉O,a)>0,|/|<1)的一段圖象如圖，

試求這個(gè)函數(shù)的解析式.

解：方法1：由題圖知A=2媳，(=6—2=4.

一.2K.71

==

T16,??co=16,??ty'8Q-

又；圖象過點(diǎn)(2,2嫄).，2/5足G乂2+0)=2媳.

7171

又,.?|研<5，..°=不

于是y=2^/2sin(|x+