概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章作業(yè)題詳解

第四章習(xí)題詳解4.1解：因?yàn)椋匆覚C(jī)床的平均次品數(shù)比甲機(jī)床少，所以乙機(jī)床生產(chǎn)的零件質(zhì)量較好。4.2解：X的可能取值為3,4,5.因?yàn)?；；所?.3解:，下面求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，易知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，于是有根據(jù)已知條件，，因此，所以有.4.4解：因?yàn)榈目赡苋≈禐?,2,……。依題意，知的分布律為所以4.5解：設(shè)4次射擊中命中目標(biāo)的子彈數(shù)為X，得分為Y，則X~B(4,0.6)因?yàn)樗訷的分布律為Y0153055100P0.02560.15360.34560.34560.1296故期望得分為=44.644.6解:級(jí)數(shù)發(fā)散,不符合離散型隨機(jī)變量期望定義的要求,從而的期望不存在.4.7解：設(shè)遇到紅燈次數(shù)為X，依題意，知X~B(3,0.4)故4.8解：4.9解：由，得①因?yàn)樗?，由，得②又由，得③解?lián)立方程①②③，得，，4.10解:積分,顯然,積分發(fā)散,根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量期望的定義,的期望不存在.4.11解：設(shè)，依題意得，又，則即有所以得所以故所求的概率為4.12解：4.13解：因?yàn)?，其中，所以?.14解：設(shè)球的直徑測(cè)量值為，體積為，則有.顯然的概率密度函數(shù)為因此,球體積的均值為.4.15解:用隨機(jī)變量表示游客的等候時(shí)間(單位:分鐘),則,其函數(shù)關(guān)系為由于,根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式,可得游客等候時(shí)間的期望為4.16解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又故4.17解：，因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以.4.18解:根據(jù)二維隨機(jī)向量的計(jì)算公式：此積分用極坐標(biāo)計(jì)算較為方便，于是有4.19解：由于X服從，故其分布函數(shù)為同理，Y服從，故其分布函數(shù)為于是根據(jù)公式3.7.5，的分布函數(shù)為求到后得密度函數(shù)因此4.20解：用隨機(jī)變量表示汽車的10個(gè)車站總的停車次數(shù)，并記顯然，均服從兩點(diǎn)分布，且，于是有由此求得.4.21解：設(shè)Xi表示第i次擲出的點(diǎn)數(shù)(i=1,2,…,10)，則擲10次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為。因?yàn)閄i的分布律為(k=1,2,…,6)，所以故.4.22解：設(shè)是從第次命中目標(biāo)到第次命中目標(biāo)之間的射擊次數(shù)，的分布律為記隨機(jī)變量，并且注意到隨機(jī)變量概率分布相同，因此4.23解：由T4.1知，，由T4.12知又故.4.24解:由T4.1知，故4.25解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，即所以，由對(duì)稱性得，4.26解：因?yàn)?，所以，又X和Y相互獨(dú)立，故.4.27解:容易求得的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：，于是有，4.28解：二維隨機(jī)變量具有概率密度的標(biāo)準(zhǔn)形式為：其中均為常數(shù),且,由此得到：因?yàn)樗耘c互不相關(guān)。4.29解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以于是由對(duì)稱性得，又因?yàn)樗怨?4.30解：由二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)積分，可以求得兩個(gè)邊緣密度：，顯然，，所以與相互獨(dú)立，從而互不相關(guān)。4.31解：由得:因?yàn)樗?.32解：因服從所以.于是有是關(guān)于隨機(jī)變量的函數(shù),根據(jù)求隨機(jī)變量函數(shù)期望的法則,有.又由于由于被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此積分為0,于是=0.第四章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充：（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)是離散型隨機(jī)變量，（要求絕對(duì)收斂）設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望方差，標(biāo)準(zhǔn)差，矩定義設(shè)和為隨機(jī)變量,為正整數(shù),稱為階原點(diǎn)矩(簡(jiǎn)稱階矩陣);為階中心矩;為階絕對(duì)原點(diǎn)矩;為階絕對(duì)中心矩;為和的階混合矩;由左邊定義可知:(1)的數(shù)學(xué)期望是的一階原點(diǎn)矩;(2)的方差是的二階中心矩;(3)協(xié)方差是和的二階混合中心矩.切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，則對(duì)于任意正數(shù)ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)1.設(shè)是常數(shù),則2．若是常數(shù)，則3.4.設(shè)獨(dú)立,則;（3）方差的性質(zhì)1.設(shè)常數(shù),則;2.若是隨機(jī)變量,若是常數(shù),則3.設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)向量,則特別地,若相互獨(dú)立,則注:對(duì)維情形,有:若相互獨(dú)立,則（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望＝＝方差協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為）。 ||≤1，當(dāng)||=1時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)1.2.若和相互獨(dú)立,則.3.若,則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使,而且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.注:相關(guān)系數(shù)刻畫了隨機(jī)變量Y與X之間的“線性相關(guān)”程度.的值越接近1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;的值越近于0,Y與Y的線性相關(guān)程度越弱.當(dāng)時(shí),Y與X的變化可完全由X的線性函數(shù)給出.當(dāng)時(shí),Y與X之間不是線性關(guān)系.協(xié)方差矩陣混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原