高等數(shù)學-高斯公式

第六節(jié)Green公式Gauss公式推廣一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件*三、通量與散度高斯公式*通量與散度

第十一章2021/5/91一、高斯(Gauss)公式定理1

上有連續(xù)的一階偏導數(shù),下面先證:函數(shù)P,Q,R在面

所圍成,則有(Gauss公式)高斯

的方向取外側,設空間閉區(qū)域

由分片光滑的閉曲2021/5/92證明稱為XY-型區(qū)域,則定理1設2021/5/93所以若

不是XY–型區(qū)域,則可引進輔助面將其分割成若干個XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：定理12021/5/94例1其中

為柱面閉域

的整個邊界曲面的外側.解利用Gauss公式,得原式=及平面z=0,z=3所圍空間思考:若

為圓柱側面(取外側),如何計算?利用質心公式,注意用Gauss公式計算

這里若

改為內側,結果有何變化?2021/5/95例2其中

為錐面解取上側介于z=0及z=h之間部分的下側,

,

,

為法向量的方向角.所圍區(qū)域為

,則利用Gauss公式計算積分作輔助面2021/5/96利用質心公式,注意思考:提示:介于平面z=0及z=2之間部分的下側.先二后一計算曲面積分作取上側的輔助面2021/5/97例3設

為曲面取上側,求解

作取下側的輔助面用柱坐標用極坐標2021/5/98在閉區(qū)域

上具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),證明格林(Green)第一公式

例4其中

是整個

邊界面的外側.注意:高斯公式設函數(shù)2021/5/99注意:高斯公式證由高斯公式得移項即得所證公式.令2021/5/910*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1.連通區(qū)域的類型設有空間區(qū)域

G,

若G

內任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,則稱G

為空間二維單連通域;

若G

內任一閉曲線總可以張一片全屬于G

的曲面,則稱G

為例如,球面所圍區(qū)域環(huán)面所圍區(qū)域立方體中挖去一個小球所成的區(qū)域不是二維單連通區(qū)域.既是一維也是二維單連通區(qū)域;是二維但不是一維單連通區(qū)域;是一維但空間一維單連通域.2021/5/9112.閉曲面積分為零的充要條件定理2在空間二維單連通域G內具有連續(xù)一階偏導數(shù),

為G內任一閉曲面,則①證根據(jù)高斯公式可知②是①的充分條件.的充要條件是:②“必要性”.用反證法.已知①成立,“充分性”.2021/5/912因P,Q,R

在G內具有連續(xù)一階偏導數(shù),則存在鄰域則由與①矛盾,故假設不真.因此條件②是必要的.取外側,高斯公式得2021/5/913*三、通量與散度引例.設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的密度為1,速度場為理意義可知,設

為場中任一有向曲面,單位時間通過曲面

的流量為則由對坐標的曲面積分的物由兩類曲面積分的關系,流量還可表示為2021/5/914若

為方向向外的閉曲面,

當

>0時,說明流入

的流體質量少于當

<0時,說明流入

的流體質量多于流出的,則單位時間通過

的流量為當

=0時,說明流入與流出

的流體質量相等.流出的,表明

內有泉;表明

內有洞;根據(jù)高斯公式,流量也可表為

2021/5/915

方向向外的任一閉曲面

,

記

所圍域為

,設

是包含點

M且為了揭示場內任意點M處的特性,在

式兩邊同除以

的體積V,并令

以任意方式縮小至點M則有此式反應了流速場在點M的特點:其值為正,負或0,分別反映在該點有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.2021/5/916定義設有向量場其中P,Q,R

具有連續(xù)一階偏導數(shù),

是場內的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場A

通過在場中點M(x,y,z)處記作divergence顯然有向曲面

的通量(流量).稱為向量場A

在點M

的散度.2021/5/917表明該點處有正源,表明該點處有負源,表明該點處無源,散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場A

處處有例如,勻速場故它是無源場.說明:由引例可知,散度是通量對體積的變化率,且散度意義,則稱A

為無源場.2021/5/918例5解穿過曲面

流向上側的通量,其中

為柱面被平面截下的有限部分.則

上側的法向量為在

上故所求通量為求向量場記2021/5/919內容小結1.高斯公式及其應用公式:應用:(1)計算曲面積分(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:2021/5/9202.*通量與散度設向量場P,Q,R,在域G內有一階連續(xù)偏導數(shù),則向量場通過有向曲面

的通量為G內任意點處的散度為(n為

的單位法向量）2021/5/921思考與練習所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)

為

2021/5/922補充題所圍立體

的體

是

外法線向量與點(x,y,z)的向徑試證證則的夾角,積為V,設

是一光滑閉曲面,設

的單位外法向量為2021/5/923高斯(1777–1855)德國數(shù)學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學家,他的數(shù)學成就遍及各個領域,在數(shù)論、級數(shù)、復變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有