小學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)梳理解讀版

學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)梳理

學(xué)而思教材編寫組侍春雷

_1—

刖百

小學(xué)奧數(shù)知識點(diǎn)梳理，對于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過，對于知識點(diǎn)

的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的《小學(xué)數(shù)學(xué)奧

林匹克》、中國少年報(bào)社主編的《華杯賽教材》、《華杯賽集訓(xùn)指南》以及學(xué)而思的《寒假班

系列教材》和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十

七塊體系(其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題)，原則上簡明扼要，努力刻畫小學(xué)

奧數(shù)知識的主樹干。

概述

一'計(jì)算

1.四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)

⑴運(yùn)算順序

⑵分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧

一般而言：

①加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；

②乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。

⑶帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化

⑷繁分?jǐn)?shù)的化簡

2.簡便計(jì)算

⑴湊整思想

⑵基準(zhǔn)數(shù)思想

⑶裂項(xiàng)與拆分

⑷提取公因數(shù)

⑸商不變性質(zhì)

⑹改變運(yùn)算順序

①運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用

②連減的性質(zhì)

③連除的性質(zhì)

④同級運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)

⑤增減括號的性質(zhì)

⑥變式提取公因數(shù)

形如：.+^±4+6±+an-^-b=(al+a2+±a“)+b

3.估算

求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法

4.比較大小

①通分

a.通分母

b.通分子

②跟“中介”比

③利用倒數(shù)性質(zhì)

若—L則c>b>a.。形如：處〉心〉9,則區(qū)〈區(qū)<2。

abcn1n2n3mlm2m

5.定義新運(yùn)算

6.特殊數(shù)列求和

運(yùn)用相關(guān)公式：

①1+2+3…〃="(丁)

②仔+22+…+)=癡+1)3+1)

6

@CLn=〃(〃+1)=〃2+〃

@13+23+…+/=(1+2+…/)2=〃2(7)

⑤abcabc=abcx1001=abcx7x11x13

?a2-b1=(a+b^a-b)

⑦1+2+3+4…(n-l)+n+(n-1)+***4+3+2+l=n2

二、數(shù)論

1.奇偶性問題

奇士奇=偶奇乂奇二奇

奇士偶=奇奇、偶=偶

偶土偶=偶偶X偶=偶

2.位值原則

形如：abc=100a+10b+c

3.數(shù)的整除特征:

整除數(shù)特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)

5末尾是0或5

9各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)

11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)

4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)

8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)

7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)

4.整除性質(zhì)

①如果c|a、c|b,那么c|(a±b)。

②如果bc|a,那么b|a,c|a?

③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a?

④如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。

5.帶余除法

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(bWO),那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r,OWr<b,

使得a=bXq+r

當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。

當(dāng)r#0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全

商(亦簡稱為商)。用帶余數(shù)除式又可以表示為a+b=q……r,OWr<ba=bXq+r

6.唯一分解定理

任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即

n=plalXp2a2X...Xpk欣

7.約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理

設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n=plalXp2"2x...Xpk成那么：

n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(al+l)(a2+l)....(ak+1)

n的所有約數(shù)和：(l+Pl+P12+?“pl”i)(l+P2+P22+-p2fl2)…(l+Pk+Pk2+-pkfl^)

8.同余定理

①同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a,b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a,b對于模

m同余，用式子表示為a=b(modm)

②若兩個(gè)數(shù)a,b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a,b的差一定能被c整除。

③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。

④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。

⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。

9.完全平方數(shù)性質(zhì)

①平方差：A2-B2=(A+B)(A-B),其中我們還得注意A+B,A-B同奇偶性。

②約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。

約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。

③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。

④平方和。

10.孫子定理(中國剩余定理)

11.輾轉(zhuǎn)相除法

12.數(shù)論解題的常用方法：

枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計(jì)

三'幾何圖形

1.平面圖形

⑴多邊形的內(nèi)角和

N邊形的內(nèi)角和=（N-2）X180°

⑵等積變形（位移、害?。┭a(bǔ)）

①三角形內(nèi)等底等高的三角形

②平行線內(nèi)等底等高的三角形

③公共部分的傳遞性

④極值原理（變與不變）

⑶三角形面積與底的正比關(guān)系

?abch

①一=一=一=—

ABCH

SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；

SABGA：SABGC=SAAGF：SAGFC=AF：FC；

SAAGC：SABCG=SAADG：SADGB=AD：DB；

⑹差不變原理

知5-2=3,則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。

⑺隱含條件的等價(jià)代換

例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。

⑻組合圖形的思考方法

①化整為零

②先補(bǔ)后去

③正反結(jié)合

2.立體圖形

⑴規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式

⑵不規(guī)則立體圖形的表面積

整體觀照法

⑶體積的等積變形

①水中浸放物體：V升水=V物

②測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水

⑷三視圖與展開圖

最短線路與展開圖形狀問題

⑸染色問題

幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。

四'典型應(yīng)用題

1.植樹問題

①開放型與封閉型

②間隔與株數(shù)的關(guān)系

2.方陣問題

外層邊長數(shù)-2=內(nèi)層邊長數(shù)

（外層邊長數(shù)-1）乂4=外周長數(shù)

外層邊長數(shù)2-中空邊長數(shù)2=實(shí)面積數(shù)

3.列車過橋問題

①車長+橋長=速度X時(shí)間

②車長甲+車長乙=速度和X相遇時(shí)間

③車長甲+車長乙=速度差X追及時(shí)間

列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇及追及問題

車長=速度和義相遇時(shí)間

車長=速度差又追及時(shí)間

4.年齡問題

差不變原理

5.雞兔同籠

假設(shè)法的解題思想

6.牛吃草問題

原有草量=（牛吃速度-草長速度）X時(shí)間

7.平均數(shù)問題

8.盈虧問題

分析差量關(guān)系

9.和差問題

10.和倍問題

11.差倍問題

12.逆推問題

還原法，從結(jié)果入手

13.代換問題

列表消元法

等價(jià)條件代換

五'行程問題

1.相遇問題

路程和=速度和義相遇時(shí)間

2.追及問題

路程差=速度差又追及時(shí)間

3.流水行船

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

4.多次相遇

線型路程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)X2-1

環(huán)型路程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)

其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程X共行全程數(shù)

5.環(huán)形跑道

6.行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用

路程一定，速度和時(shí)間成反比。

速度一定，路程和時(shí)間成正比。

時(shí)間一定，路程和速度成正比。

7.鐘面上的追及問題。

①時(shí)針和分針成直線；

②時(shí)針和分針成直角。

8.結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問題的一些類型。

9.行程問題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。

六'計(jì)數(shù)問題

1.加法原理：分類枚舉

2.乘法原理：排列組合

3.容斥原理：

①總數(shù)量=A+B+C（AB+AC+BC）+ABC

②常用：總數(shù)量=A+B-AB

4.抽屜原理：

至多至少問題

5.握手問題

在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛

①角、線段、三角形，

②長方形、梯形、平行四邊形

③正方形

七、分?jǐn)?shù)問題

1.量率對應(yīng)

2.以不變量為“1”

3.利潤問題

4.濃度問題

倒三角原理

95%60%

120%

80%

20：15

例：4：3

5.工程問題

①合作問題

②水池進(jìn)出水問題

6.按比例分配

八'方程解題

1.等量關(guān)系

①相關(guān)聯(lián)量的表示法

例：甲+乙=100甲+乙=3

x100-x3xx

②解方程技巧

恒等變形

2.二元一次方程組的求解

代入法、消元法

3.不定方程的分析求解

以系數(shù)大者為試值角度

4.不等方程的分析求解

九'找規(guī)律

⑴周期性問題

①年月日、星期幾問題

②余數(shù)的應(yīng)用

⑵數(shù)列問題

①等差數(shù)列

通項(xiàng)公式an=ai+(n-l)d

求項(xiàng)數(shù)："=幺+1

a

求和：s=^>

2

②等比數(shù)列

求和:弓⑷-D

q—i

③裴波那契數(shù)列

⑶策略問題

①搶報(bào)30

②放硬幣

⑷最值問題

①最短線路

a.一個(gè)字符陣組的分線讀法

b.在格子路線上的最短走法數(shù)

②最優(yōu)化問題

a.統(tǒng)籌方法

b.烙餅問題

十'算式謎

1.填充型

2.替代型

3.填運(yùn)算符號

4.橫式變豎式

5.結(jié)合數(shù)論知識點(diǎn)

十一'數(shù)陣問題

1.相等和值問題

2.數(shù)列分組

⑴知行列數(shù)，求某數(shù)

⑵知某數(shù)，求行列數(shù)

3.幻方

⑴奇階幻方問題：

楊