圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

培優(yōu)課18圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題培優(yōu)點(diǎn)一定點(diǎn)問(wèn)題典例1[2023·全國(guó)乙卷節(jié)選]已知橢圓C：y29+x24=1，點(diǎn)A?2,0在C上，過(guò)點(diǎn)?解題觀摩[解析]由題意可知直線PQ的斜率存在，如圖，設(shè)PQPx1,聯(lián)立y=kx+2則Δ=64k2可得x1+x因?yàn)锳?2,令x=0，解得y=2y1同理可得N0則2y1x====108所以線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)0,求解圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種方法1.特殊推理法：先從特殊情況入手,求出定點(diǎn),再證明定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).2.直接推理法：（1）選擇一個(gè)參數(shù)建立方程,一般將題目中給出的曲線方程（包含直線方程）中的常數(shù)k當(dāng)成變量,將變量x,y當(dāng)成常數(shù),將原方程轉(zhuǎn)化為kfx（2）根據(jù)曲線（包含直線）過(guò)定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒(méi)有關(guān)系（即方程對(duì)參數(shù)的任意值都成立）,得到方程組f（3）以（2）中方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是曲線所過(guò)的定點(diǎn),若定點(diǎn)具備一定的限制條件,可以特殊解決.從證明線段中點(diǎn)為定點(diǎn)變?yōu)樽C明直線過(guò)定點(diǎn)[2022·全國(guó)乙卷]已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)A0,?2（1）求E的方程.[解析]設(shè)橢圓E的方程為mx2+ny2=1，過(guò)A0所以橢圓E的方程為y2（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P1,?2的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT[解析]A0,?2,B32①若過(guò)點(diǎn)P1,?2的直線斜率不存在，則直線為x可得M1,263，N1,?263，把y=263代入AB方程②若過(guò)點(diǎn)P1設(shè)直線MN:kx?y?聯(lián)立kx?y?可得x且x1y聯(lián)立y=y1,y可求得此時(shí)HN的方程為y?將0,?2代入整理得將?代入，得24k+綜上，直線HN過(guò)定點(diǎn)0,?培優(yōu)點(diǎn)二定值問(wèn)題典例2已知橢圓x25+y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，設(shè)OD=OA+OB解題觀摩[解析]設(shè)Ax1,由OA+OB=∴直線AB的斜率kAB=y1?由x125即y1+y∴kAB?kOD=?1圓錐曲線中定值問(wèn)題的特點(diǎn)及兩大解法1.特點(diǎn)：待證幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值.2.兩大解法（1）從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān);（2）引進(jìn)變量法：其解題流程為從證明直線的斜率之積為定值變?yōu)樽C明斜率之和為定值[2024·江蘇模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)F為橢圓C：x2a2+y2b2=（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.[解析]因?yàn)?a=8，所以a=4，又PM=2MF，所以a2c（2）若過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線AF，BF的斜率分別為k1，k①求證：k1②求△ABF[解析]①當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，顯然k1=k當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)AB：由x=my?