圓錐曲線背景下的綜合問題

湖南學(xué)海文化傳播有限責(zé)任公司專題四解析幾何1知識梳理高考速遞典例精析圓錐曲線背景下的綜合問題第十六課時(shí)22．解析幾何要求有較強(qiáng)的邏輯推理與運(yùn)算能力，綜合考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換等重要數(shù)學(xué)思想知識梳理1．解析幾何是代數(shù)與幾何的綜合，以圓錐曲線為載體綜合考查函數(shù)、方程、不等式、幾何、三角函數(shù)、數(shù)列、向量及導(dǎo)數(shù)等知識是近幾年高考的基本模式；3αAPB1.(2008·浙江卷)如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(

)A.圓B.橢圓

C.一條直線D.兩條平行直線B高考速遞4B高考速遞2.(2008·全國卷Ⅱ)設(shè)a>1，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(

)A.(,2)B.(,)C.(2,5)D.(2,)5CABFODxyl例1

如圖，已知橢圓(2≤m≤5),過其左焦點(diǎn)F且斜率為1的直線l與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右依次交于A、B、C、D，設(shè)=|AB|-|CD||.(1)求的解析式；(2)求的最值.典例精析6

【分析】先確定A、D的坐標(biāo)，再確定B、C的坐標(biāo)，進(jìn)而得|AB|CD|，然后建立函數(shù)關(guān)系.解析(1)由已知，焦點(diǎn)F(-1,0)，直線l的方程為,準(zhǔn)線方程為,所以所以將代入橢圓方程得：即所以7【回顧與反思】本題綜合考查圓錐曲線與函數(shù)知識，注意利用函數(shù)的單調(diào)性求值域和利用平面幾何知識簡化運(yùn)算.(2)因?yàn)橛珊瘮?shù)單調(diào)性得即的最小值為,最大值為

.8例2(長沙市一中月考卷)已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，是橢圓左焦點(diǎn).（1)△ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，點(diǎn)C在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求△ABC的垂心G的軌跡方程；(2)若P是拋物線C1與橢圓C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠=α,∠

=β，求cosαcosβ的值及△的面積.典例精析9分析解析(1)利用坐標(biāo)代入法求解；(2)應(yīng)用拋物線定義及解三角形知識求解.又A(-4,0),B(0,-3),(1)設(shè)重心,

.由垂心公式有

.又因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上，得

整理得即為△ABC的重心G為軌跡方程.10【回顧與反思】本題考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系，同時(shí)綜合了函數(shù)與三角形的知識.(2)拋物線焦點(diǎn)(1,0),所以=9-1=8,由，得交點(diǎn)P(

,

).tanα=

=

,tanβ=

=-

,所以cosα=

,cosβ=

,cosα·cosβ=

,11典例精析(2008·山東卷)如圖，設(shè)拋物線方程為(p>0)，M是直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A、B.(1)求證：A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；(2)令(O為原點(diǎn))，是否存在點(diǎn)M使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在已知拋物線上？若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.ByA-2pxMO(1)借助導(dǎo)數(shù)確定切線斜率，求切線方程；(2)先求對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)，再假設(shè)點(diǎn)M存在，解方程求點(diǎn)M的坐標(biāo).分析12(1)設(shè),由，得,設(shè)解析ByA-2pxMO所以即同理，有兩式相減,得因?yàn)?所以即A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.13(2)設(shè),所以

設(shè)，直線AB的方程為因?yàn)镃D的中點(diǎn)在直線AB上,所以即(*)又因?yàn)辄c(diǎn)也在直線AB上，所以

,ByA-2pxMO14即，代入(*)式得若在拋物線上，所以,解得

=0或=

,即或.當(dāng)

=0時(shí)，，點(diǎn)適合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋訡D∥y軸,而,ByA-2pxMO所以AB與CD不垂直，與C、D關(guān)于直線AB對稱矛盾，故此時(shí)不存在符合條件的M點(diǎn).綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0,-2p)適合題意.【回顧與反思】此題綜合考查直線與拋物線的位置關(guān)系，對稱性、存在性問題在高考題中常以壓軸題的形式出現(xiàn).15

例3(2007·四川卷)如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值；(2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為銳角(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍.ＢＡＰＯ典例精析分析(1)將表示成關(guān)于點(diǎn)P(x,y)的函數(shù)，再求最值；(2)將表示成斜率ｋ的函數(shù)，再解不等式.16(1)設(shè)P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn)，解析焦點(diǎn)而,所以的最大值為1，最小值為-2，ＢＡＰＯ17(2)設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程得

設(shè)交點(diǎn)所以解得或ＢＡＰＯ18又∠AOB為銳角，所以即所以

,即-2<k<2綜上所述，k的取值范圍為【回顧與反思