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新疆昌吉回族自治州昌吉州第二中學(xué)新高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式,該公式于明朝初年傳入我國(guó).在我國(guó)科技水平業(yè)已落后的情況下,我國(guó)數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國(guó)的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開(kāi)始,歷時(shí)近30年,證明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開(kāi)三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書(shū),為我國(guó)用級(jí)數(shù)計(jì)算π開(kāi)創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.2.如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的所有棱中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A. B. C. D.3.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.4.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.5.是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓上的一點(diǎn),則最小值是()A. B. C. D.6.已知四棱錐的底面為矩形,底面,點(diǎn)在線段上,以為直徑的圓過(guò)點(diǎn).若,則的面積的最小值為()A.9 B.7 C. D.7.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C.12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%9.設(shè),滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式是()A. B.C. D.11.金庸先生的武俠小說(shuō)《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.2612.如圖,矩形ABCD中,,,E是AD的中點(diǎn),將沿BE折起至,記二面角的平面角為,直線與平面BCDE所成的角為,與BC所成的角為,有如下兩個(gè)命題:①對(duì)滿足題意的任意的的位置,;②對(duì)滿足題意的任意的的位置,,則()A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立C.命題①成立,命題②不成立 D.命題①不成立,命題②成立二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F(xiàn)分別為BC,CD上的點(diǎn),,若線段EF上存在一點(diǎn)M,使得,則____________,____________.(本題第1空2分,第2空3分)14.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的最大值為_(kāi)_____.15.已知,則_____。16.下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧,兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù),人數(shù)如下表所示:不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個(gè)人做進(jìn)一步的調(diào)研,若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人,則的值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.19.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來(lái)了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實(shí)也是和社會(huì)溝通的一個(gè)平臺(tái).校團(tuán)委、學(xué)生會(huì)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生,對(duì)是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說(shuō)明,能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫(xiě)出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82821.(12分)某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為時(shí)看作銷量為瓶).①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量,求和的分布列和數(shù)學(xué)期望;②以利潤(rùn)作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價(jià);利潤(rùn)=銷售額-批發(fā)成本.22.(10分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點(diǎn),且滿足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計(jì)算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時(shí)滿足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計(jì)算,得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
利用正方體將三視圖還原,觀察可得最長(zhǎng)棱為AD,算出長(zhǎng)度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示,易得最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問(wèn)題,其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
求導(dǎo),先求出在單增,在單減,且知設(shè),則方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,解得,,故當(dāng)時(shí),,當(dāng),,且,故方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,故,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法:(1)構(gòu)造法:構(gòu)造函數(shù)(易求,可解),轉(zhuǎn)化為確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值,并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等,畫(huà)出的圖象草圖,數(shù)形結(jié)合求解;(2)定理法:先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào),進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).4、D【解析】
連接,,因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因?yàn)?,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計(jì)算能力.5、C【解析】
求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值,由此可得出,即可得解.【詳解】如下圖所示:設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn),則,整理得,解得,即點(diǎn),所以,圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為,設(shè)點(diǎn),則,當(dāng)時(shí),取最小值,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算,同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對(duì)稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.6、C【解析】
根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定,根據(jù)勾股定理,得到之間的等量關(guān)系,再用表示出的面積,利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè),,則.因?yàn)槠矫?,平面,所?又,,所以平面,則.易知,.在中,,即,化簡(jiǎn)得.在中,,.所以.因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用,考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,涉及線面垂直的判定和性質(zhì),屬中檔題.7、A【解析】
用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因?yàn)?所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故可以排除;因?yàn)?故排除,因?yàn)橛蓤D象知,排除.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.8、D【解析】
根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對(duì)A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個(gè),所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對(duì)B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對(duì)C,12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對(duì)D,12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯(cuò)誤故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
首先繪制出可行域,再繪制出目標(biāo)函數(shù),根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知,滿足,可行域如下圖所示,可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,故目標(biāo)函數(shù)的最小值為,故的取值范圍是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,結(jié)合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.11、D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類問(wèn)題注意實(shí)際問(wèn)題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.12、A【解析】
作出二面角的補(bǔ)角、線面角、線線角的補(bǔ)角,由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.【詳解】①如圖所示,過(guò)作平面,垂足為,連接,作,連接.由圖可知,,所以,所以①正確.②由于,所以與所成角,所以,所以②正確.綜上所述,①②都正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)題意,設(shè),則,所以,解得,所以,從而有.14、【解析】
由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)函數(shù)解析式,再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達(dá)式,進(jìn)而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,則所以,當(dāng)函數(shù)最大,最大值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式,還考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式并求最值,屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】
由已知求,再利用和角正切公式,求得,【詳解】因?yàn)樗詂os因此.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。16、32【解析】
由已知可得抽取的比例,計(jì)算出所有被調(diào)查的人數(shù),再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知,抽取的比例為,被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人,則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為:32【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,根據(jù)中位線的方法證明四邊形是平行四邊形.再證明與從而證明平面,從而得到平面即可.(2)以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,再求得平面的法向量與平面的法向量進(jìn)而求得二面角的余弦值即可.【詳解】(1)證明:如圖,取的中點(diǎn),連接.又為的中點(diǎn),則是的中位線.所以且.又且,所以且.所以四邊形是平行四邊形.所以.因?yàn)?為的中點(diǎn),所以.因?yàn)?所以.因?yàn)槠矫?所以.又,所以平面.所以.又,所以平面.又,所以平面.(2)易知兩兩互相垂直,所以分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:因?yàn)?所以點(diǎn).則.設(shè)平面的法向量為,由,得,令,得平面的一個(gè)法向量為;顯然平面的一個(gè)法向量為;設(shè)二面角的大小為,則.故二面角的余弦值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明以及建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角的問(wèn)題,需要用到線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)換以及法向量的求法等.屬于中檔題.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)直接代入再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;(Ⅱ)先得到,再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因?yàn)樗?,由得,又因?yàn)?,故,所以,所?【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算函數(shù)的單調(diào)性,得到,再討論,,三種情況,計(jì)算得到答案.(2)計(jì)算得到,討論,兩種情況,分別計(jì)算單調(diào)性得到函數(shù)最值,得到答案.【詳解】(1),①當(dāng)時(shí)恒成立,所以單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以有唯一零點(diǎn),即符合題意;②當(dāng)時(shí),令,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,函數(shù)。(i)當(dāng)即,所以符合題意,(ii)當(dāng)即時(shí),因?yàn)椋蚀嬖?所以不符題意(iii)當(dāng)時(shí),因?yàn)椋O(shè),所以,單調(diào)遞增,即,故存在,使得,不符題意;綜上,的取值范圍為。(2)。①當(dāng)時(shí),恒成立,所以單調(diào)遞增,所以,即符合題意;②當(dāng)時(shí),恒成立,所以單調(diào)遞增,又因?yàn)椋源嬖?,使得,且?dāng)時(shí),。即在上單調(diào)遞減,所以,不符題意。綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,恒成立問(wèn)題,意在考查學(xué)生的分類討論能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1)有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)計(jì)算得到,由此可得結(jié)論;(2)根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù),由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對(duì)應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算可得期望.【詳解】(1)∵的觀測(cè)值,有的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣方法得:男生有人,女生有人,選取的人中,男生有人,女生有人.則的可能取值有,,,,,的分布列為:.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解;關(guān)鍵是能夠明確隨機(jī)變量服從于超幾何分布,進(jìn)而利用超幾何分布概率公式求得隨機(jī)變量每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.21、;①詳見(jiàn)解析;②應(yīng)該批發(fā)一大箱.【解析】
酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為,設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對(duì)立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況,分別求出相應(yīng)概率,列出分布列,求出的數(shù)學(xué)期
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