江西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題（九省聯(lián)考新題型）

2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期月考考試高二數(shù)學(xué)試題卷I（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長為（）A.24 B.12 C.36 D.48【答案】A【解析】【分析】利用橢圓的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋缘闹荛L為24．故選：A.2.點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，即，則點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.故選：A3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)在拋物線上求得，再利用拋物線的焦半徑公式即可得解.【詳解】將點(diǎn)代入拋物線方程，得，則，所以.故選：B.4.已知橢圓C：，過右焦點(diǎn)F作直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，以為直徑畫圓，則該圓與直線的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定【答案】C【解析】【分析】依題設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得韋達(dá)定理，算得圓心坐標(biāo)和半徑長，由圓心到直線距離與半徑比較即得直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】如圖，依題知，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，代入橢圓方程，整理得：，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由韋達(dá)定理，則，即，，則圓的半徑為，此時(shí)，圓心到直線的距離為：，由可知直線與圓相離.當(dāng)直線斜率為0時(shí)，圓的圓心在原點(diǎn)，半徑為，顯然該圓與直線相離.故選：C.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（

）A.135 B.145 C.155 D.165【答案】C【解析】【分析】利用與之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知，，，所以.故選：C.6.已知數(shù)列均為等差數(shù)列，，，則（）A9 B.18 C.16 D.27【答案】A【解析】【分析】兩式相加,依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，故選：A.7.已知是等比數(shù)列，公比為q，前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，即可求解.【詳解】.故選：B8.中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，二十大報(bào)告提出：尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的內(nèi)在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，計(jì)劃通過五年時(shí)間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風(fēng)光帶，預(yù)計(jì)第一年投入資金81萬元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（）．A.781萬元，60萬元 B.525萬元，200萬元C.781萬元，200萬元 D.1122萬元，270萬元【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和求解即可.【詳解】由題意知這五年投入的資金構(gòu)成首項(xiàng)為81，公比為，項(xiàng)數(shù)為5的等比數(shù)列，所以這五年投入的資金總額是（萬元）．由題意知這五年旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為20，公差為10，項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列，所以這五年的旅游收入總額是（萬元）．故選：C．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.未全對給3分，全對6分.）9.已知雙曲線：，則（）A.雙曲線離心率為 B.雙曲線的虛軸長為C.雙曲線的實(shí)半軸長為 D.雙曲線的漸近線方程為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程，求出實(shí)半軸長、虛半軸長、半焦距，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.【詳解】雙曲線：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長，半焦距，所以雙曲線的離心率，故A正確；雙曲線的虛軸長為，B正確；雙曲線的實(shí)半軸長為，故C錯(cuò)誤；雙曲線的漸近線方程為，故D錯(cuò)誤．故選：．10.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若橢圓的離心率為，則C.當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的直線被橢圓所截得的弦長的最小值為D.若直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A項(xiàng)，易得等腰直角三角形,則，即得；對于B項(xiàng)，由離心率公式和易得；對于C項(xiàng)，由橢圓中過焦點(diǎn)的最短弦長即通徑，易得；對于D項(xiàng)，利用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程計(jì)算即得.【詳解】對于A項(xiàng)，若，因,可得，則，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由可解得：，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，時(shí)，橢圓，因過點(diǎn)的直線被橢圓所截的弦長的最小值為通徑長，即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，如圖，因，，設(shè)點(diǎn)，由可得，解得：，代入橢圓中，可得，即，解得：，故D項(xiàng)正確．故選：ABD.11.在數(shù)列中，，且，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.為等差數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可求，的值，判斷AC是否正確；利用等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷是否為等差數(shù)列.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，A正確，C錯(cuò)誤．因，所以，又，所以，所以為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為3，公比為3，所以，所以，所以為等差數(shù)列，且公差為，B，D均正確．故選：ABD卷II（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓離心率為，則實(shí)數(shù)m等于_____．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得＝，解之即可.【詳解】由題意焦點(diǎn)在x軸上的橢圓離心率為，可得＝，解得m＝8．故答案為：8．13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.【答案】【解析】【分析】由計(jì)算，再計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】由題意時(shí)，，又適合上式，所以．故答案為：．14.一支車隊(duì)有15輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)，第一輛車于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔發(fā)出一輛，假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開車，并都在19時(shí)停下來休息．已知每輛車行駛的速度都是，則這個(gè)車隊(duì)當(dāng)天一共行駛了______千米？【答案】3450【解析】【分析】通過分析，這15輛車的行駛路程可以看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知，第一輛車行程為km，且從第二輛車開始，每輛車都比前一輛少走km，這15輛車的行駛路程可以看作首項(xiàng)為300，公差為10的等差數(shù)列，則15輛車的行程路程之和為（km）.故答案為：3450.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15題13分；1617題15分；1819題17分）15.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，半焦距為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的左焦點(diǎn)，且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題列出a、b、c的方程，解之即可；（2）將直線與橢圓聯(lián)立，韋達(dá)定理，然后利用弦長公式求底，利用點(diǎn)到直線的距離公式求高，即可求出三角形的面積．【小問1詳解】由題意，設(shè)所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)榻咕酁椋?，又離心率，，；再由，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】由（1）知：左焦點(diǎn)為，直線的方程為：則，設(shè)，則，由弦長公式，到直線的距離，.16.已知雙曲線過點(diǎn)且與雙曲線有共同的漸近線，，分別是的左、右焦點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由共漸近線方程設(shè)法將點(diǎn)代入直接求解；（2）向量坐標(biāo)化，由點(diǎn)在雙曲線上化簡整理為二次函數(shù)求得范圍.【小問1詳解】由題意可設(shè)的方程為，將代入可得，，解得，的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)，則，點(diǎn)在第一象限，，且，，，的取值范圍是．17.已知橢圓，直線與C相交于A，B兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的離心率；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線l與原點(diǎn)的距離．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出、，進(jìn)而可求得橢圓的離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，可得，利用即可得，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解.【小問1詳解】由題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，則，橢圓離心率為.【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立方程，消去整理得，，，且，，，，即，化簡整理得，，化簡整理得，，滿足，所以原點(diǎn)到直線的距離為.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）令，求數(shù)列的前13項(xiàng)和；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用與的關(guān)系求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【小問1詳解】由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，所以；【小問2詳解】由（1）得：，所以.19.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；（2）若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義及構(gòu)造法求通項(xiàng)可判斷；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式、等差數(shù)列求和公式，利用