線性代數(shù)及應用（第2版）課件 2-1 行列式的概念及性質(zhì)

第2章行列式與線性方程組2.1行列式的概念及性質(zhì)注：行列式定義通常有3種，教材采用遞推方法，課件采用逆序理論方法。二、三階行列式二元線性方程組方程組有唯一解由消元法，得二、三階行列式定義1——對角線法則二元線性方程組的解可表示為其中二、三階行列式例1解方程組有唯一解．二、三階行列式定義2注二階行列式的對角線法則并不適用！例如全排列與對換用數(shù)字123，可以組成多少沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解123百位十位1231個位123種放法．共有引例定義3從

n個不同元素中取出m(m

≤n)

個，按照一定順序排成一列，叫做從

n個元素中取出

m個元素的一個排列．把

n個正整數(shù)排成一列，稱為

n元全排列，對于

n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標準次序.n個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標準次序．定義4一個排列中某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就稱這兩個元素組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)．例如全排列與對換逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；為奇數(shù)的排列稱為奇排列．練習求下列排列的逆序數(shù)，并說明奇偶性．（1）（2）解（1）奇排列（2）偶排列符合標準次序的排列是奇排列還是偶排列？答逆序數(shù)等于零，因而是偶排列．思考全排列與對換定義5將一個

n元排列中某兩個數(shù)的位置互換，而其余數(shù)不動，就得到另一個排列，這樣的變換稱為對換．若交換的是相鄰位置的兩個數(shù)，則稱該對換為相鄰對換．定理1對換改變排列的奇偶性．證明（相鄰對換）可見，相鄰對換改變排列的奇偶性．全排列與對換證明（一般對換）改變排列的奇偶性．定理1對換改變排列的奇偶性．全排列與對換推論任一

n元排列與標準排列都可經(jīng)過一系列對換互變，并且所作對換的次數(shù)與這個

n元排列有相同的奇偶性．奇排列變成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)；偶排列變成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．定理2全排列與對換證明設所有全排列中共有

t個奇排列和

s個偶排列，奇排列經(jīng)一次對換都變成偶排列，于是同理可知所以n

階行列式的定義規(guī)律(1)三階行列式共有6項，即3!項；(2)每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積；(3)每一項可以寫成(正負號除外)，其中

是1、2、3的某個全排列；(4)當是偶排列時，對應的項取正號；當是奇排列時，對應的項取負號．n

階行列式的定義定義6n階行列式注一階行列式|a|=a，不要與絕對值的記號相混淆．

例如一階行列式n

階行列式的定義例2解含的項有兩項，對應于故的系數(shù)為-1．n

階行列式的定義計算行列式例3對角行列式，上三角、下三角行列式行數(shù)可不等于列數(shù)共有

m×n個元素本質(zhì)上就是一個數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有

n2個元素矩陣行列式n

階行列式的定義推論定理3n階行列式也可定義為n階行列式也可定義為行列式的性質(zhì)設行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式．

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即．證明性質(zhì)1若記，則，行列式的性質(zhì)互換行列式的兩行(列)，行列式變號．性質(zhì)2證明行列式的性質(zhì)行列式中行與列具有同等的地位，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立．例如推論如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零．證明互換相同的兩行，有行列式的性質(zhì)行列式的某行(列)中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)，證明性質(zhì)3等于用此數(shù)乘以行列式．行列式的性質(zhì)行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以推論1提到行列式符號的外面．行列式中如果有兩行(列)對應元素成比例，推論2則此行列式為零．證明推論3行列式的性質(zhì)性質(zhì)4若行列式的第

i行(列)的每一個元素都可以表示為兩數(shù)之和，則該行列式可表示為兩個行列式之和．例如行列式的性質(zhì)把行列式的第

j行(列)元的

k倍加到第

i行(列)性質(zhì)5的對應元上，行列式的值不變．計算行列式常用方法是利用運算把行列式說明化為三角形行列式，從而算得行列式的值．行列式的性質(zhì)例4計算階行列式解行列式的性質(zhì)例5證明

證明行列式的性質(zhì)例6解行列式的性質(zhì)性質(zhì)6(行列式乘積法則)證明OC結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示．思考任意行列式是否都可以用較低階的行列式表示？行列式按行(列)展開行列式按行(列)展開在

n階行列式中，把元素所在的第

i行和定義7留下來的元按原來的次序構(gòu)成的階第

j

列劃去后，行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如每一個元素對應著一個余子式和代數(shù)余子式，余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關(guān)．說明行列式按行(列)展開引理一個

n階行列式，如果其中第

i行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積．證明行列式按行(列)展開n階行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應定理4的代數(shù)余子式乘積之和，即證明行列式按行(列)展開例7解說明計算行列式時，可以運用行列式性質(zhì)，將某一行(列)盡可能多得化為零，然后使用行列式的展開．行列式按行(列)展開例8設，求及解行列式按行(列)展開例9證明范