廣東省茂名市2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

廣東省茂名市2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的值為()A． B． C． D．2．兩條平行直線與間的距離等于（）A． B．2 C． D．43．已知、為銳角，，，則（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A． B． C．32 D．5．已知向量，且，則的值是（）A． B． C．3 D．6．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是內(nèi)（不含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列中，，，則等于()A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．12 B．18C．24 D．309．如圖所示的陰影部分是由軸及曲線圍成，在矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）A． B． C． D．10．如圖，圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)（與A、B均不重合），則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓錐的母線長(zhǎng)為1，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積是______.12．已知數(shù)列滿足，若，則的所有可能值的和為______；13．設(shè)滿足不等式組，則的最小值為_____.14．在中，為上的一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，，則_________.15．若數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，則______．16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)sin(x－)．(1)若tanα＝2，求f(α)；(2)若x∈[，]，求f(x)的取值范圍18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè),求數(shù)列的前2020項(xiàng)和.19．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）求的圖像的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸.20．已知圓過點(diǎn)，，圓心在直線上，是直線上任意一點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求四邊形的面積的最小值．21．（1）從2，3，8，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為，求為整數(shù)的概率？（2）兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一個(gè)人20分鐘方可離去．試求這兩人能會(huì)面的概率？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

化簡(jiǎn)式子得到，利用正弦定理余弦定理原式等于，代入數(shù)據(jù)得到答案.【詳解】利用正弦定理和余弦定理得到：故選B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、C【解析】

先把直線方程中未知數(shù)的系數(shù)化為相同的，再利用兩條平行直線間的距離公式，求得結(jié)果．【詳解】解：兩條平行直線與間，即兩條平行直線與，故它們之間的距離為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條平行直線間的距離公式應(yīng)用，注意未知數(shù)的系數(shù)必需相同，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】因?yàn)椋覟殇J角，則，所以，因?yàn)椋怨蔬x：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解答的關(guān)鍵就是弄清角與角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．由此可計(jì)算球半徑．【詳解】如圖，設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定球心位置求出球的半徑．5、A【解析】

由已知求得，然后展開兩角差的正切求解．【詳解】解：由，且，得，即．，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩角差的正切，是基礎(chǔ)題．6、C【解析】

先判斷是正四面體，可得正四面體的棱長(zhǎng)為，則的最大值為的長(zhǎng)，的最小值是到平面的距離，結(jié)合不在三角形的邊上，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由正方體的性質(zhì)可知，是正四面體，且正四面體的棱長(zhǎng)為，在內(nèi)，的最大值為，的最小值是到平面的距離，設(shè)在平面的射影為,則為正三角形的中心，，，的最小值為，又因?yàn)椴辉谌切蔚倪吷?，所以的范圍是，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的性質(zhì)及立體幾何求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義以及平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將立體幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.7、A【解析】

變形為，利用累加法和裂項(xiàng)求和計(jì)算得到答案.【詳解】故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了累加法和裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列方法的靈活應(yīng)用.8、C【解析】試題分析：由三視圖可知，幾何體是三棱柱消去一個(gè)同底的三棱錐，如圖所示，三棱柱的高為5，消去的三棱錐的高為3，三棱錐與三棱柱的底面為直角邊長(zhǎng)分別為3和4的直角三角形，所以幾何體的體積為V=1考點(diǎn)：幾何體的三視圖及體積的計(jì)算．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了幾何體的三視圖的應(yīng)用及體積的計(jì)算，著重考查了推理和運(yùn)算能力及空間想象能力，屬于中檔試題，解答此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖的規(guī)則“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”的原則，還原出原幾何體的形狀，本題的解答的難點(diǎn)在于根據(jù)幾何體的三視圖還原出原幾何體和幾何體的度量關(guān)系，屬于中檔試題．9、A【解析】，所以，故選A。10、D【解析】

利用直徑所對(duì)的圓周角為直角和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可判斷出答案．【詳解】AB是圓O的直徑，則AC⊥BC，由于PA⊥平面ABC，則PA⊥BC，即有BC⊥平面PAC，則有BC⊥PC，則△PBC是直角三角形；由于PA⊥平面ABC，則PA⊥AB，PA⊥AC，則△PAB和△PAC都是直角三角形；再由AC⊥BC,得∠ACB=90°，則△ACB是直角三角形.綜上可知：此三棱錐P?ABC的四個(gè)面都是直角三角形.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)，考查垂直關(guān)系的推理與證明，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意得，解得，求得圓錐的高，利用體積公式，即可求解．【詳解】設(shè)圓錐底面的半徑為，根據(jù)題意得，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的體積的計(jì)算，以及圓錐的側(cè)面展開圖的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖，求得圓錐的底面圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、36【解析】

根據(jù)條件得到的遞推關(guān)系，從而判斷出的類型求解出可能的通項(xiàng)公式，即可計(jì)算出的所有可能值，并完成求和.【詳解】因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，，所以；當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列，，所以，所以的所有可能值之和為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差和等比數(shù)列的判斷以及求數(shù)列中項(xiàng)的值，難度一般.已知數(shù)列滿足(為常數(shù))，則是公差為的等差數(shù)列；已知數(shù)列滿足，則是公比為的等比數(shù)列.13、-6【解析】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，當(dāng)向下平移時(shí)，減小，因此當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，為最小值．14、【解析】

用表示出,由對(duì)應(yīng)相等即可得出．【詳解】因?yàn)?，所以解得得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法則，平面上任意不共線的一組向量可以作為一組基底．15、【解析】

令，得出，令，由可計(jì)算出在時(shí)的表達(dá)式，然后就是否符合進(jìn)行檢驗(yàn)，由此可得出.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則.也適合.綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用求，一般利用來計(jì)算，但需要對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有個(gè)交點(diǎn)，再畫出與的圖象，根據(jù)圖象即可得到的取值范圍.【詳解】有題知：函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與有個(gè)交點(diǎn).當(dāng)函數(shù)與相切時(shí)，即：，，，解得或（舍去）.所以根據(jù)圖象可知：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，同時(shí)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）[0，].【解析】

(1)f(x)＝·sin2x－2(sinx＋cosx)(sinx－cosx)＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x，∴f(α)＝＝＝＝.(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋＝sin(2x＋)＋，∵≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin(2x＋)≤1，0≤f(x)≤，∴f(x)∈[0，]．本試題組要是考查了三角函數(shù)的運(yùn)用.18、（1）見解析；（2）3030【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，可求出首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，利用即可求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明是等差數(shù)列；(2)可將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)合并求和即可得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，.因?yàn)?，所以是等差?shù)列.（2）法一：，的前2020項(xiàng)和為：法二：，的前2020項(xiàng)和為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的證明，分組求和的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力，難度中等.19、（1）；（2）對(duì)稱中心，；對(duì)稱軸為【解析】

利用誘導(dǎo)公式可將函數(shù)化為；（1）令，求得的范圍即為所求單調(diào)增區(qū)間；（2）令，求得即為對(duì)稱中心橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到對(duì)稱中心；令，求得即為對(duì)稱軸.【詳解】（1）令，，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）令，，解得：，的對(duì)稱中心為，令，，解得：，的對(duì)稱軸為【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解，涉及到誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的問題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握整體對(duì)應(yīng)的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)來求解單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.20、（1）（2）【解析】

（1）首先列出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件代入，得到關(guān)于的方程求解；（2）根據(jù)切線的對(duì)稱性，可知，，這樣求面積的最小值即是求的最小值，當(dāng)點(diǎn)是圓心到直線的距離的垂足時(shí)，最小.【詳解】解：（1）設(shè)圓的方程為．由題意得解得故圓的方程為．另解：先求線段的中垂線與直線的交點(diǎn)，即解得從而得到圓心坐標(biāo)為，再求，故圓的方程為．（2）設(shè)四邊形的面積為，則．因?yàn)槭菆A的切線，所以，所以，即．因?yàn)?，所以．因?yàn)槭侵本€上的任意一點(diǎn)，所以，則，即．故四邊形的面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，和與圓，切線有關(guān)的最值的計(jì)算，與圓有關(guān)的最值計(jì)算，需注意數(shù)形結(jié)合.21、（1）