人教版高中數(shù)學(xué)必修五學(xué)案 突破四 數(shù)列求和

專題突破四數(shù)列求和

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握分組分解求和法的使用情形和解題

要點2掌握奇偶并項求和法的使用情形和解題要點3

掌握裂項相消求和法的使用情形和解題要點.4.進(jìn)一步

熟悉錯位相減法.

I自主學(xué)習(xí)-----------------預(yù)習(xí)新知夯實基礎(chǔ)

知識點一分組分解求和法

思考求和：g+2=+351-----F(〃++).

答案lT+2*+3*H------F(〃+/)=(l+2+3H------l-/2)+(j+^2+pH------

〃("+1),一呼)

12

?(?+!),._J_

21

總結(jié)分組分解求和的基本思路：通過分解每一項重新組合，化歸為等差數(shù)列和等比數(shù)列求

和.

知識點二奇偶并項求和法

思考求和一一22+32-42-1------F99*2-1002.

答案l2-22+32-42H------1-992-1002

=(l2-22)+(32-42)H------k(992-1002)

=(1-2)(1+2)+(3—4)(3+4)H----1-(99-100)(99+100)

=一(1+2+3+4+“?+99+100)

=-5050.

總結(jié)奇偶并項求和的基本思路：有些數(shù)列單獨看求和困難，但相鄰項結(jié)合后會變成熟悉的

等差數(shù)列、等比數(shù)列求和.但當(dāng)求前”項和而〃是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定時，往往需要討論.

知識點三裂項相消求和法

思考我們知道借15=5一擊,試用此公式求和：土+壺+-+木.

答案由拓1nrlWr得

■,?,,_!_

IX22X3n(n+l)

=1—.?+—

總結(jié)如果數(shù)列的項能裂成前后抵消的兩項，可用裂項相消求和，此法一般先研究通項的裂

法，然后仿照裂開每一項.裂項相消求和常用公式：

⑴〃(〃+%)=焉一扃R；

⑵局+3―)；

(3)(2n-l)(2n+1)=2(2H-1-2n+P；

(4)——!——=lr—______!―1.

n(n+l)(n+2)2?(?+1)(?+l)(n+2)

知識點四錯位相減求和法

思考記兒=〃?2",求數(shù)列出“｝的前〃項和&.

答案V5?=1-2+2-22+3-23+-+n-2n,①

2S?=l-22+2-23+3-244-----卜(〃-l)-2n+n-2n+l,②

①一②，得一S“=2i+22+23+24H-----F2,,-n-2n+l

=-2-(?-l)-2n+l.

.*.S?=2+(n-l)-2,,+I,rt￡N*.

總結(jié)錯位相減法主要適用于｛斯｝是等差數(shù)列,｛力,｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛斯瓦｝的前〃項和.

利用“錯位相減法”時，先寫出S“與qS”的表達(dá)式，再將兩式對齊作差，正確寫出(1-4)&

的表達(dá)式：(利用此法時要注意討論公比q是否等于1).

思考辨析判斷正誤

1.并項求和一定是相鄰兩項結(jié)合.(X)

2.裂項相消一定是相鄰兩項裂項后產(chǎn)生抵消.(X)

|題型探究啟迪思維探究重點

題型一分組分解求和

例］求和：5“=(》+!)2+(/+5)2*1----b(x"+5)2(xW0).

解當(dāng)xW±l時，

S"=G+5+(?+抄+…+('"+身

=僅+2++)+3+2+3+…+仗"+2++)

=(X2+X4H---Fx2n)+2n+Qi+H----1-5)

》28"一I),/'］一”")

=-?=T-+i-x~1+2n

(X2II-1)(A-2"+2+1)^

_x2,,(x2-l)+2"；

當(dāng)x=±l時，Sn=4n.

綜上知，

⑷3X=±l,

吊=4(鐘一1)(，"+2+1)

卜2〃，xN±l且xWO.

反思感悟某些數(shù)列，通過適當(dāng)分組，可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進(jìn)而利用等

差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式分別求和，從而得出原數(shù)列的和.

跟蹤訓(xùn)練1已知正項等比數(shù)列｛%｝中，m+的=6,的+如=24.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

(2)數(shù)列｛bn｝滿足bn=log2aw，求數(shù)列｛斯+｝的前i項和.

解(1)設(shè)數(shù)列｛〃“｝的公比為夕(力0),

ci\+a］，q=6,

(”?才+。「夕3=24,

。1=2,

0=2,

an=a｝-/li=2,2“T=2”.

n

(2A=10g22=H,設(shè)｛斯+瓦｝的前〃項和為Sn，

則S”=31+/)+(°2+/)T---卜(%+bn)

=(〃］+做+…+〃“)+("+歷+…+6)

=(2+2?+…+2")+(1+2+…+〃)

2X(2〃T)項+〃)

2-1-2-

-2"+,-2+1n2+1n.

題型二裂項相消求和

例2求和：—^^丁心2,“GN*.

32〃+1*

二廠而由?心2,〃GN).

引申探究

求和：用彳+產(chǎn)彳+產(chǎn)----帝二T，"22,〃WN?

=(〃T)+(昌+/+七+…+土)

以下同例2解法.

反思與感悟求和前一般先對數(shù)列的通項公式變形，如果數(shù)列的通項公式可轉(zhuǎn)化為火”+1)

-A〃)的形式，常采用裂項求和法.

跟蹤訓(xùn)練2求和：

F+2+l+2+3-1l-l+2+3H------\-nnGN

2

解；斯=1+2+?“+”=

n(n+l)

???S，=2(T+A%“+5—1=系.

題型三奇偶并項求和

例3求和：S〃=—1+3—5+7------F(—1)”(2〃-1).

解當(dāng)〃為奇數(shù)時，

5〃=(-1+3)+(—5+7)+(—9+11)+???+[(-2〃+5)+(2/-3)]+(—2九+1)

n—1,

=2--2—+(-2〃+1)=-n.

當(dāng)“為偶數(shù)時，

S〃=(—1+3)+(—5+7)+,,,+[(—2〃+3)+(2〃-1)]=2片=〃.

反思與感悟通項中含有(一1)”的數(shù)列求前n項和時可以考慮使用奇偶并項法，分項數(shù)為奇

數(shù)和偶數(shù)分別進(jìn)行求和.

跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列一1,4,-7,10,(-1)”-(3〃-2),…，求其前w項和

解當(dāng)〃為偶數(shù)時，令〃=2A(AeN*),

S,尸52*=—1+4—7+10+…+(-1)%(3〃-2)

—-1+4)+(—7+10)+,,,+[(一6%+5)+(6%—2)]

°,3

=3k=5〃；

當(dāng)〃為奇數(shù)時，

令”=2k+l(AWN*).

—3〃+]

S”=S2?+i=S2*+a2?+i=3%-(6/+1)=5-

-3：'],"為奇數(shù),

S"=

當(dāng)，”為偶數(shù).

題型四錯位相減求和

例4(2018?佛山檢測)已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”且滿足%=3S“一2(〃GN*).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛〃斯｝的前"項和Tn.

解(1)當(dāng)〃=1時，ai=3Si—2=3〃i—2,解得。1=1.

當(dāng)時，an=3Sn—2,an-j—3S?-i—2,

=

兩式相減得四一an-\3anf化簡得—呼〃-1，

所以數(shù)列｛斯｝是首項為1,公比為一3的等比數(shù)列,

所以a?-"T,"GN".

(2)由⑴可得'"=〃?1

=A(〃+D,(-

所以數(shù)列｛”｝的前n項和

反思感悟用錯位相減要“能識別，按步走，慎化簡”.

跟蹤訓(xùn)練4已知數(shù)列的通項公式為斯=3”T,在等差數(shù)列｛b｝中，為>0,且加+歷+生

—15,又見+歷,例+岳，的+仇成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%歷)的通項公式；

(2)求數(shù)列(七瓦｝的前”項和乙

解(1)：4"=3"1,■'?6Z|=1,。2=3,tZj=9.

;在等差數(shù)列出“｝中，仇+歷+仇=15,二3歷=15,則岳=5.

設(shè)等差數(shù)列｛兒｝的公差為d,又見+仇,a2+b2,的+仿成等比數(shù)列，

.?.(1+5一或(9+5+辦=64,解得d=-i0或d=2.

'：b?>0,.?"=一10應(yīng)舍去，：.d=2,

b\—3,

故4瓦=(2"+l)-3"T,nGN*.

(2)由(1)知T?=3X1+5X3+7X32+-+(2n-l)3n-2+(2n+1)3"-1,①

37],=3X3+5X32+7X33H------F(2〃-1)3"一+(2〃+1)3",②

①一②，得

23nl

-27；(=3X1+2X3+2X3+2X3H------|-2X3--(2n+1)3"

=3+2(3+32+334------F3"T)—(2〃+1)3"

3-3"

=3+2X----(2n+l)3"

1—3

=3"_(2〃+1)3”

=~2n-3".

n

：.Tn^n-3,nSN*.

|達(dá)標(biāo)檢測-----------------檢測評價達(dá)標(biāo)過關(guān)

1.數(shù)列｛1+2〃T｝的前〃項和為.

答案S〃=〃+2"—1,

解析??,斯=1+2〃T,

1—2"

S=n4--：〃+2"-1.

n1—2

2.數(shù)列[疝2M))的前2018項和為.

2019

解析因為舟=2七一制,

所以§2018=2(1—|-2018-2019,

4036

2019

n-1〃為奇數(shù),

3.已知數(shù)列斯=則S](x)=

丸,〃為偶數(shù),

答案5000

解析由題意得S\oo=a\+a2-\----Hc^+aioo

=(〃1+的+〃5~1F的9)+(〃2+〃4-l1~〃100)

=(0+2+4H——F98)+(2+4+6H——F100)

=5000.

4.在數(shù)列｛斯｝中，01=1,斯+]=2為+2〃，