工程力學(xué)：軸向拉伸與壓縮（下）

1軸向拉伸與壓縮§8-8簡單拉壓靜不定問題§8-7拉壓桿的變形（靜定問題）2——胡克定律拉壓剛度軸向拉壓試驗(yàn)表明：比例極限內(nèi)，正應(yīng)力與正應(yīng)變成正比彈性模量，楊氏模量一、拉壓桿的胡克定律§8-7胡克定律與拉壓桿的變形

3例：已知兩桿拉壓剛度相同，E1A1=E2A2=EA，AC桿長度l2=l

，求桁架節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移。（1）軸力與變形分析(縮短)(伸長)接下來如何確定節(jié)點(diǎn)A的新位置（位移）？解：由胡克定律：(拉)(壓)由節(jié)點(diǎn)A的平衡：四、桁架節(jié)點(diǎn)位移的計(jì)算（切線代圓弧法）4（2）節(jié)點(diǎn)A的位移的精確計(jì)算精確位移求法：計(jì)算困難：需解二次方程組由于內(nèi)力隨位移變化，需迭代求解.

以B、C為圓心作圓交于A?點(diǎn)桿1伸長到點(diǎn)，桿2縮短到點(diǎn)，5實(shí)用解法：*按結(jié)構(gòu)原幾何形狀與尺寸計(jì)算約束反力與內(nèi)力－小變形；小變形問題實(shí)用（工程）解法

工程分析方法：

1、精度略有降低；

2、分析大大簡化。*節(jié)點(diǎn)運(yùn)動軌跡采用切線代曲線的方法確定節(jié)點(diǎn)位移。6（2）節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算（切線代圓弧方法）節(jié)點(diǎn)A水平位移：節(jié)點(diǎn)A鉛垂位移：(縮短)(伸長)7例：ABC剛性桿，B為AC的中點(diǎn)，求節(jié)點(diǎn)C的位移。

然后畫B點(diǎn)位移思考：有同學(xué)問BB?,CC?鉛垂向下，剛性桿ABC桿為什么能伸長？

再畫C點(diǎn)位移

答：CC?相比AC實(shí)際很小，切線代圓弧的近似。1解：先計(jì)算桿1內(nèi)力與伸長8例：畫節(jié)點(diǎn)A的位移*左圖桿2不受力，不伸長,只轉(zhuǎn)動。思考：點(diǎn)A有無水平位移？9*靜不定問題：*靜定問題：*靜不定度：未知力數(shù)與有效平衡方程數(shù)之差。AF

123由靜力平衡方程可確定全部未知力(包括支反力與內(nèi)力)的問題。根據(jù)靜力平衡方程不能確定全部未知力的問題?！?-8簡單拉壓靜不定問題一度靜不定靜定問題10（2）幾何方面（3）物理方面（胡克定律）（4）支反力計(jì)算思考：兩個(gè)未知約束力，一個(gè)平衡方程，如何求解？還有什么條件沒用到?補(bǔ)充方程：解：（1）靜力學(xué)方面（平衡方程）例：如圖兩端固支桿AB，在C截面處受軸向載荷F作用，求桿兩端的支反力。11解：2、幾何方程（1、2桿拉壓剛度和受力相同，節(jié)點(diǎn)A沿鉛垂方向下移）F

123F

例：如圖桁架，已知1、2桿拉壓剛度均為E1A1，長度均為l，3桿拉壓剛度為E3A3，與1、2桿夾角均為

，求桁架節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移。1、以節(jié)點(diǎn)A為研究對象，列平衡方程：思考：三個(gè)未知約束力，兩個(gè)平衡方程，如何求解？125、聯(lián)立求解平衡方程及補(bǔ)充方程F

1233、胡克定律4、補(bǔ)充方程2、幾何方程13靜不定問題求解思路

AF

12

34節(jié)點(diǎn)A點(diǎn)僅連接桿1和桿2時(shí)，桁架為靜定結(jié)構(gòu)，桿1和桿2的軸力可由平衡方程唯一確定節(jié)點(diǎn)A點(diǎn)增加桿3和桿4時(shí)，未知軸力增加2個(gè)，平衡方程數(shù)不變，桁架為2度靜不定結(jié)構(gòu)桿1和桿2的伸長由軸力唯一確定，點(diǎn)A位移確定為保證結(jié)構(gòu)連續(xù)性，桿3和桿4的變形必須與桿1和桿2的變形滿足一定的變形幾何關(guān)系普遍規(guī)律：多余未知力個(gè)數(shù)等于變形協(xié)調(diào)條件個(gè)數(shù)，加上平衡方程，所有未知力能完全、唯一確定。A點(diǎn)的約束包含2個(gè)變形協(xié)調(diào)條件——變形協(xié)調(diào)條件14靜不定問題求解步驟協(xié)調(diào)方程多余未知力個(gè)數(shù)=變形協(xié)調(diào)條件數(shù)求解物理方程：平衡方程1、靜不定問題需綜合考慮靜力學(xué)、幾何與物理三方面；靜不定問題分析特點(diǎn)：2、與靜定問題相比的內(nèi)力特點(diǎn)：內(nèi)力分配與桿件剛度有關(guān)，某桿剛度增大，軸力亦增大。補(bǔ)充方程15例：各桿拉壓剛度EA，桿1，2長l，求各桿內(nèi)力解：一度靜不定問題（1）假定三桿均受拉伸長，畫變形圖，確定變形協(xié)調(diào)條件設(shè)節(jié)點(diǎn)C位移至C’，過C’點(diǎn)向三桿作垂線（2）根據(jù)變形圖畫受力圖思考：畫受力、變形圖應(yīng)注意：受力圖中的拉力與壓力應(yīng)與變形圖中的伸長與縮短對應(yīng)，這樣，在利用胡克定律建立變形與軸力間的關(guān)系時(shí)僅需考慮其絕對值。如果先畫受力圖，后畫變形圖，要注意什么？可否假設(shè)桿1，3受壓，桿2受拉求解？16解：（1）平衡方程（3）物理方程（2）變形協(xié)調(diào)方程C17（5）強(qiáng)度校核（4）解答符合強(qiáng)度要求設(shè)思考：選取哪一根或哪幾根桿校核？如果強(qiáng)度不夠，怎樣加強(qiáng)?靜不定結(jié)構(gòu)中，其中一根桿的拉壓剛度變化會影響其它桿的受力18熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力思考：當(dāng)溫度變化時(shí)，桿內(nèi)可能引起應(yīng)力嗎？A圖1A圖2圖3圖419A

靜不定結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件桿變形必須服從變形協(xié)調(diào)條件，因此溫度變化或桿長制造誤差，一般將引起應(yīng)力。

由于桿長制造誤差或溫度變化，結(jié)構(gòu)在未受載時(shí)已存在的應(yīng)力，分別稱為初應(yīng)力（或稱預(yù)應(yīng)力）與熱應(yīng)力。20(1)平衡方程（設(shè)各桿受拉）代入物理方程(2)變形協(xié)調(diào)方程預(yù)應(yīng)力問題例：桿3設(shè)計(jì)長度為l3，制造誤差為δ，三根桿拉壓剛度均為EA，將三根桿強(qiáng)行裝配上后，求各桿內(nèi)力。解：設(shè)各桿均受拉伸長，畫變形圖和受力圖21聯(lián)立平衡方程和補(bǔ)充方程解得：思考：桿3軸力的符號為負(fù)，代表什么意思？請畫出真實(shí)的變形圖。22三根桿“裝配”在一起前，桿3因溫度變化溫度變化引起的變形為：與預(yù)應(yīng)力問題類比：解：預(yù)應(yīng)力問題

例：桿3設(shè)計(jì)長度為l3，制造誤差為δ，三根桿拉壓剛度均為EA，將三根桿強(qiáng)行裝配上后，求各桿內(nèi)力。熱應(yīng)力問題例：三根桿拉壓剛度均為EA，桿3熱脹系數(shù)為α，當(dāng)桿3溫度變化

T時(shí)（桿1和桿2溫度不變），求各桿內(nèi)力。假定“裝配”后三根桿均伸長，畫變形圖桿3較“裝配”前縮短了！23問題：如何建立變形協(xié)調(diào)條件？下述變形協(xié)調(diào)條件是否正確？分析：上述變形協(xié)調(diào)條件的錯(cuò)誤在于遺漏了初應(yīng)力引起的初始變形Δl0。正確的變形協(xié)調(diào)條件是：例：鋼絲繩長l，截面積A，彈性模量E，不能承壓，初拉力FN0=20KN，在C作用向下載荷F=30KN，求繩兩端約束力：（a）H=3l/4；（b）H=l/4

24解：(1)變形協(xié)調(diào)條件設(shè)，代入物理方程例：鋼絲繩長l，截面積A，彈性模量E，不能承壓，初拉力FN0=20KN，在C作用向下載荷F=30KN，求繩兩端約束力：（a）H=3l/4；（b）H=l/4

25(2)C點(diǎn)平衡方程(3)解答：(BC繩承受壓力，不合題意，舍去)由平衡：解得：26思考：如何采用載荷疊加法進(jìn)行求解？例：鋼絲繩長l，截面積A，彈性模量E，不能承壓，初拉力FN0=20KN，F(xiàn)=30KN，求繩兩端約束力：（a）H=3l/4；（b）H=l/4

（1）如果不考慮初始拉力（或變形），兩端的約束力分別為，（3）最終約束力為兩者的疊加：（2）初始拉力：或27例：畫出節(jié)點(diǎn)A的位移桿兩端均為可動點(diǎn)情形：平移+變形(伸長或縮短)+轉(zhuǎn)動(切線代曲線)28