數(shù)學(xué)建模作業(yè)8

精心整理精心整理精心整理佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上機(jī)報(bào)告課程名稱(chēng)數(shù)學(xué)建模上機(jī)項(xiàng)目牙膏的銷(xiāo)售量專(zhuān)業(yè)班級(jí)問(wèn)題提出某大型牙膏制造企業(yè)為了更好地拓展產(chǎn)品市場(chǎng)，有效地管理庫(kù)存，公司董事會(huì)要求銷(xiāo)售部門(mén)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，找出公司生產(chǎn)的牙膏銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售價(jià)格、廣告投入等之間的關(guān)系，從而預(yù)測(cè)出在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的銷(xiāo)售量。為此，銷(xiāo)售部的研究人員收集了過(guò)去30個(gè)銷(xiāo)售周期（每個(gè)銷(xiāo)售周期為4周）公司生產(chǎn)的牙膏的銷(xiāo)售量、銷(xiāo)售價(jià)格、投入的廣告費(fèi)用，以及同期其它廠(chǎng)家生產(chǎn)的同類(lèi)牙膏的市場(chǎng)平均銷(xiāo)售價(jià)格，見(jiàn)表1-1（其中價(jià)格差指其它廠(chǎng)家平均價(jià)格與公司銷(xiāo)售價(jià)格之差）。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，分析牙膏銷(xiāo)售量與其它因素的關(guān)系，為制訂價(jià)格策略和廣告投入策略提供數(shù)量依據(jù)。表1牙膏銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售價(jià)格，廣告費(fèi)用等數(shù)據(jù)（其中價(jià)格差指其他廠(chǎng)家平均價(jià)格與公司銷(xiāo)售價(jià)格之差）銷(xiāo)售周期公司銷(xiāo)售價(jià)格/元其他廠(chǎng)家平均價(jià)格/元廣告費(fèi)用/百萬(wàn)元價(jià)格差/元銷(xiāo)售量/百萬(wàn)支1234567891011121314151617181920212223242526272829303.853.753.703.703.603.603.603.803.803.853.903.903.703.753.753.803.703.803.703.803.803.753.703.553.603.653.703.753.803.703.804.004.303.703.853.803.753.853.654.004.104.004.104.204.104.104.204.304.103.753.753.653.903.654.104.253.653.753.854.255.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80-0.050.250.6000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.050.60-0.0500.050.557.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26根據(jù)牙膏銷(xiāo)售量與價(jià)格、廣告費(fèi)等表格1中的數(shù)據(jù)，建立三個(gè)模型，要求：1）畫(huà)出散點(diǎn)圖：y對(duì)x1的散點(diǎn)圖1；y對(duì)x2的散點(diǎn)圖2；2）確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（3）；3）對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（5）；4）對(duì)模型進(jìn)一步改進(jìn)，求解出教程中模型（10）。二、問(wèn)題分析由于牙膏是生活必需品，對(duì)大多數(shù)顧客來(lái)說(shuō)，在購(gòu)買(mǎi)同類(lèi)產(chǎn)品的牙膏時(shí)更多地會(huì)在意不同品牌之間的價(jià)格差異，而不是它們的價(jià)格本身，因此，在研究各個(gè)因素對(duì)銷(xiāo)售量的影響時(shí)，用價(jià)格差代替公司銷(xiāo)售價(jià)格和其他廠(chǎng)家平均價(jià)格更合適。三、模型假設(shè)記牙膏銷(xiāo)售量為y，其他廠(chǎng)家平均價(jià)格與公司銷(xiāo)售價(jià)格之差（價(jià)格差）為，公司投入的廣告費(fèi)用為，其他廠(chǎng)家平均價(jià)格和公司銷(xiāo)售價(jià)格分別為和，，基于上面的分析，我們僅利用和來(lái)建立y的預(yù)測(cè)模型。四、模型建立（顯示模型函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程）（1）為了大致地分析y與和的關(guān)系，首先利用表一的數(shù)據(jù)分別作出y對(duì)和的散點(diǎn)圖y與x1的關(guān)系程序代碼：x1=[-0.050.250.6000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.500.60-0.0500.050.55];y=[7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26];A=polyfit(x1,y,1)y1=polyval(A,x1);plot(x1,y1,x1,y,'go')y與x2的關(guān)系x2=[5.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80];y=[7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26];A=polyfit(x2,y,2)x3=5.25:0.05:7.25;y2=polyval(A,x3);plot(x2,y,'go',x3,y2)圖1y對(duì)x1的散點(diǎn)圖圖2y與x2的散點(diǎn)圖從圖1可以發(fā)現(xiàn)，隨著的增加，y的值有比較明顯的線(xiàn)性增長(zhǎng)趨勢(shì)，圖中的直線(xiàn)是用線(xiàn)性模型（1）擬合的（其中是隨機(jī)誤差），而在圖2中，當(dāng)增大時(shí)，y有向上彎曲增長(zhǎng)的趨勢(shì)，圖中的曲線(xiàn)是用二次函數(shù)模型（2）擬合的。綜合上面的分析，結(jié)合模型（1）和（2）建立如下的回歸模型(3)(3)式右端的和稱(chēng)為回歸變量（自變量），是給定價(jià)格差，廣告費(fèi)用時(shí)，牙膏銷(xiāo)售量y的平均值，其中的參數(shù)稱(chēng)為回歸系數(shù)，由表1的數(shù)據(jù)估計(jì)，影響y的其他因素作用都包含在隨機(jī)誤差中，如果，模型選擇的合適，應(yīng)大致服從均值為0的正態(tài)分布。五、模型求解（2）確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（3）；程序代碼：x4=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x4)b=17.32441.3070-3.69560.3486bint=5.728228.92060.68291.9311-7.49890.10770.03790.6594stats=0.905482.94090.00000.0490得到模型（3）的回歸系數(shù)估計(jì)值及其置信區(qū)間（置信區(qū)間=0.05）、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的結(jié)果見(jiàn)表2參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間17.3244[5.7282,28.9206]1.3070[0.6829,1.9311]-3.6956[-7.4989,0.1077]0.3486[0.0379,0.6594]表2模型（3）的計(jì)算結(jié)果結(jié)果分析：表2顯示，指因變量y（銷(xiāo)售量）的90.54%可由模型確定，F(xiàn)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)F檢驗(yàn)的臨界值，p遠(yuǎn)小于，因而模型（3）從整體來(lái)看是可用的表2的回歸系數(shù)給出了模型（3）的，，，的估計(jì)值，即。檢查他們的置信區(qū)間發(fā)現(xiàn)，只有的置信區(qū)間包含零點(diǎn)（但區(qū)間右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近），表明回歸變量（對(duì)因變量y的影響）不是太顯著的，但由于是顯著的，我們?nèi)詫⒆兞勘Ａ粼谀Ｐ椭?。銷(xiāo)售量預(yù)測(cè)經(jīng)回歸系數(shù)的估計(jì)值代入模型（3），即可預(yù)測(cè)公司未來(lái)某個(gè)銷(xiāo)售周期牙膏的銷(xiāo)售量，將預(yù)測(cè)值記為，得到模型（3）的預(yù)測(cè)方程：=（4）只需知道該銷(xiāo)售周期的價(jià)格差和投入的廣告費(fèi)用，就可以計(jì)算預(yù)測(cè)值。公司無(wú)法直接確定價(jià)格差，只能制定公司的牙膏銷(xiāo)售價(jià)格，但是其它廠(chǎng)家的平均價(jià)格一般可以通過(guò)根據(jù)市場(chǎng)情況及原材料的價(jià)格變化等估計(jì)。模型中用價(jià)格差做為回歸變量的好處在于公司可以更靈活地來(lái)預(yù)測(cè)產(chǎn)品的銷(xiāo)售量或市場(chǎng)需求量，因?yàn)槠渌鼜S(chǎng)家的平均價(jià)格不是公司所能控制的。預(yù)測(cè)時(shí)只要調(diào)整公司的牙膏銷(xiāo)售價(jià)格達(dá)到設(shè)定的回歸變量?jī)r(jià)格差的值?；貧w模型的一個(gè)重要應(yīng)用是，對(duì)于給定的回歸變量的取值，可以以一定的置信度預(yù)測(cè)因變量的取值范圍，即預(yù)測(cè)區(qū)間。模型改進(jìn)模型（3）中回歸變量，對(duì)因變量的影響是相互獨(dú)立的，即牙膏銷(xiāo)售量的均值和廣告費(fèi)用的二次關(guān)系由回歸系數(shù)，確定，而不依賴(lài)與價(jià)格差，同樣，的均值與的線(xiàn)性關(guān)系由回歸系數(shù)確定，不依賴(lài)于。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可參想，和之間的交互作用會(huì)對(duì)有影響，簡(jiǎn)單的用，的乘積代表他們的交互作用，將模型（3）增加一項(xiàng)，得到：（5）在這個(gè)模型中，的均值與的二次關(guān)系為，由系數(shù)，，確定，并依賴(lài)與價(jià)格差。（3）對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，確定回歸模型系數(shù)，求解出教程中模型（5）；程序代碼：x5=[ones(30,1),x1,x2,x2.^2,x1.*x2];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x5)b=29.113311.1342-7.60800.6712-1.4777bint=13.701344.52521.977820.2906-12.6932-2.52280.25381.0887-2.8518-0.1037stats=0.920972.77710.00000.0426下面讓我們用表1的數(shù)據(jù)估計(jì)模型（5）的系數(shù)。利用MATLAB的統(tǒng)計(jì)工具箱得到的結(jié)果見(jiàn)表3.驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，S2的結(jié)果見(jiàn)下表參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參數(shù)置信區(qū)間29.1133[13.7013,44.5252]11.1342[1.9778,20.2906]-7.6080[-12.6932,-2.5228]0.6712[0.2538,1.0887]-1.4777[-2.8518.-0.1037]表3表3與表2的結(jié)果相比，R2有所提高，說(shuō)明模型（5）比模型（3）有所改進(jìn)，相信模型（5）更符合實(shí)際。用模型（5）對(duì)公司的牙膏銷(xiāo)售量做預(yù)測(cè)，仍設(shè)在某個(gè)銷(xiāo)售周期中，維持產(chǎn)品的價(jià)格差X1=0.2元，并投入X2=6.5百萬(wàn)元的廣告費(fèi)用，則該周期牙膏銷(xiāo)售量y的估計(jì)值為0+1x1+2x2+3x22+4x1x2=29.1133+11.134×0.2–7.608×6.5+0.6712×6.52-1.4777×0.2×6.5=8.3253百萬(wàn)支，置信度為95%的預(yù)測(cè)空間為[7.8953,8.7592]，與模型（3）的結(jié)果相比，略有增加，而預(yù)測(cè)區(qū)間長(zhǎng)度短些。可以看出，交互作用項(xiàng)加入模型，對(duì)與的關(guān)系稍有影響，而與的關(guān)系有較大變化，當(dāng)<6時(shí)出現(xiàn)下降，>6以后上升則快得多。進(jìn)一步討論：為了解和之間的相互作用，考察模型（5）的預(yù)測(cè)方程=29.1133+11.1342-7.6080+0.67122-1.4777（6）如果取價(jià)格差=0.1元，代入（6）可得=0.1=30.2267-7.7558+0.67122（7）再取=0.3元，代入（6）可得=0.3=32.4536-8.0513+0.67122（8）它們均為的二次函數(shù)，其圖形見(jiàn)圖7，且=0.3-=0.1=2.2269-0.2955（9）由（9）式可得，當(dāng)<7.5360時(shí)，總有=0.3>=0.1,即若廣告費(fèi)用不超過(guò)大約7.5百萬(wàn)元，價(jià)格差定在0.3元時(shí)的銷(xiāo)售量，比價(jià)格差定在0.1元的大，也就是說(shuō)，這時(shí)的價(jià)格優(yōu)勢(shì)會(huì)使銷(xiāo)售量增加。完全二次多項(xiàng)式模型y=β0+β1+β2+β3+β42+β52+(10)（4）對(duì)模型進(jìn)一步改進(jìn)，求解出教程中模型（10）。程序代碼：x1=[-0.05;0.25;0.60;0;0.25;0.20;0.15;0.05;-0.15;0.15;0.20;0.10;0.40;0.45;0.35;0.30;0.50;0.50;0.40;-0.05;-0.05;-0.10;0.20;0.10;0.50;0.60;-0.05;0;0.05;0.55];x2=[5.50;6.75;7.25;5.50;7.00;6.50;6.75;5.25;5.25;6.00;6.50;6.25;7.00;6.90;6.80;6.80;7.10;7.00;6.80;6.50;6.25;6.00;6.50;7.00;6.80;6.80;6.50;5.75;5.80;6.80];xtu8=[x1,x2];y=[7.38;8.51;9.52;7.50;9.33;8.28;8.75;7.87;7.10;8.00;7.89;8.15;9.10;8.86;8.90;8.87;9.26;9.00;8.75;7.95;7.65;7.27;8.00;8.50;8.75;9.21;8.27;7.67;7.93;