點(diǎn)、直線和平面課件

點(diǎn)、直線和平面●A采用多面投影。

過(guò)空間點(diǎn)A作H面的投射線（垂線），與投影面H的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在H面上的投影。B●B1●B2●

點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影2·1點(diǎn)的投影解決辦法？H●aH●bHWV二、點(diǎn)的三面投影投影面◆正面投影面（簡(jiǎn)稱正面或V面）◆水平投影面（簡(jiǎn)稱水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面）投影軸oXZOX軸OZ軸OY軸Y三個(gè)投影面互相垂直V面與H面的交線H面與W面的交線V面與W面的交線WHVoX空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a

點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a

點(diǎn)A的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。a

●a●a

●A●ZY向下翻投影面展開(kāi)aHa

WYHa

VXZOWHVoXa

●a●a

●A●ZY不動(dòng)向右翻YwY點(diǎn)的投影規(guī)律:●●Zaza

XaywOaaxayHa

●YHYw●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazaywayH①點(diǎn)的水平投影與正面投影的連線垂直于OX軸即a

a⊥OX軸②點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸即a

a

⊥OZ軸③點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離，即aax=a

aza

ax=a

ayw=A到H面的距離aayH=a

az=A到W面的距離=A到V面的距離●●a

aax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通過(guò)作45°線使a

az=aax解法二:用圓規(guī)直接量取a

az=aaxa

●OXZY三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置ZXYHYWOa′a″ab′b″b▲x坐標(biāo)大的在左▲y坐標(biāo)大的在前▲

z坐標(biāo)大的在上判斷方法：B點(diǎn)在A點(diǎn)之后之左、之下。

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。a

a

ab

b

bBA重影點(diǎn)：

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、C為H面的重影點(diǎn)●●●●●a

a

c

c

被擋住的投影加()()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？ac例1：已知點(diǎn)A在點(diǎn)B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求點(diǎn)A的投影。985a

a

aZXYwYHb

b

boH一、直線的投影直線上兩端點(diǎn)在同面投影的連線。2·2直線的投影abc(d)ABCD

直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點(diǎn)。投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面二、各種位置直線的投影特性以正平線為例，討論其投影特性:OXZYa

b

aba

b

AB

Xa

b

a

b

baOZYHYW

同樣，對(duì)于水平線和側(cè)平線也可得到類(lèi)似的特性。

①直線的正面投影a′b′反映直線AB的實(shí)長(zhǎng),并且反映直線AB對(duì)H、W面的傾角α、γ。

②直線的水平投影ab和側(cè)面投影a〞b〞分別平行于OX軸和OZ軸。

g投影特性：1.正平線—只平行于正面投影面的直線b

aa

b

ba

投影面平行線的投影特性：①直線在所平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)②直線在另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的水平線側(cè)平線正平線實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)ba

aa

b

b

投影軸，并且小于該直線的實(shí)長(zhǎng)。XZYHYWO并且反映直線對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角。b

a

aba

b

實(shí)長(zhǎng)OXZY2.投影面的垂直線：②水平投影ab⊥OX,

側(cè)面投影a″b″⊥OZ。投影特性:①直線AB的正面投影a′b′積聚成一點(diǎn);只垂直于一個(gè)投影面的直線。以正垂線為例，討論其投影特性:同樣，對(duì)于鉛垂線、側(cè)垂線也可得到類(lèi)似的特性。AB（a

）b

a

b

bazX（a

）b

b

aOYHYWa

b

投影面垂直線的投影特性:鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另外兩個(gè)投影，反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相①直線在其垂直投影面上的投影，積聚為一點(diǎn)?！馻

(b

)abb

a

●c

d

c(d)c

d

●e

f

efe

(f

)應(yīng)的投影軸。OXZY三個(gè)投影都小于實(shí)長(zhǎng)，而且與三根投影軸都傾斜。

投影特性：3.一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線。a

b

bab

a

ZXa

a

aOYHYWb

bb

三、直線與點(diǎn)的相對(duì)位置

點(diǎn)與直線的相對(duì)位置可以分為兩種，即點(diǎn)在直線上和點(diǎn)不在直線上。

（1）若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的同名投影上，并將線段的各個(gè)投影分割成定比。

如圖所示，C點(diǎn)在直線AB上，則C點(diǎn)的正面投影c′在直線AB的正面投影a′b′上，C點(diǎn)的水平投影c在直線AB的水平投影ab上，同樣c"在a"b"上,而且AC/CB=ac/cbBc'aa'Hb"cAACa"C"WVb'=a′c′/c′b′=a″c″/c″b″，（2）若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，則該點(diǎn)肯定不在該直線上。

反之，若點(diǎn)的各投影分別屬于直線的同名投影，且分割線段的投影長(zhǎng)度成定比，則該點(diǎn)肯定在該直線上。Yw其投影為：Bc'aa'Hb"cAACa"C"WVb'例1：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點(diǎn)K不在AB上。應(yīng)用定比定理abka

b

k

●●另一判斷法?四、兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特性：

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc

bcdABCDb

d

a

abcdc

a

b

d

例2：判斷圖中兩條直線是否平行

對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD①b

d

c

a

cbadd

b

a

c

求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側(cè)面投影如何判斷？HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

⒉兩直線相交判別方法：

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！铩敖稽c(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼瘛ⅱ蚴牵置娴闹赜包c(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。為什么？12●●3

4

●●兩直線相交嗎？⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：

若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。設(shè)直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時(shí)BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc

為直角因此bc⊥ab故

bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.證明：2.3平面

一、平面的投影表示法b

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

dα′b′c′bcα1、幾何元素表示法2、平面的跡線表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQQ為側(cè)垂面一般位置平面{PH—

平面P的水平面跡線PV—

平面P的正面跡線平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類(lèi)：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面二、各種位置平面的投影特性abca

c

b

c

b

a

1.投影面垂直面類(lèi)似形類(lèi)似形積聚性鉛垂面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。

另外兩個(gè)投影面上的投影有類(lèi)似性。為什么？γβ是什么位置的平面？（1）鉛垂面

OXZY鉛垂面跡線表示法

PHPPHOXZYQQV（2）正垂面

Ac

Ca

b

Bb"

a'b'a"bac"c'c投影特性：1)a

b

c

積聚為一條線

2)

abc、

a

b

c

為

ABC的類(lèi)似形

3)a

b

c

與OX、OZ的夾角反映α、

角的真實(shí)大小

OXZY正垂面的跡線表示法

QQVαγQVOXZYSWS

（3）側(cè)垂面Ca"b"ABc"b"β

a'b'a"bac"c'c投影特性1)a

b

c

積聚為一條線

2)

abc、

a

b

c

為

ABC的類(lèi)似形

3)a

b

c

與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實(shí)大小OXZY側(cè)垂面的跡線表示法VWSwSZXOYSwYαβOXZY2、投影面的平行面：（1）水平面CABa"b"c'baca'b'c"ca

b'b"baa"c

c"投影特性：

1)a

b

c

、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性

2)水平投影

abc反映

ABC實(shí)形OXZY（2）正平面投影特性：

1)abc

、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性

2)正平面投影

a

b

c

反映

ABC實(shí)形

c"a"b"b'a'c'bcab'a'c'a"b"c"bcaCBAOXZY（3）側(cè)平面a'b'b"ba"c'c"ca投影特性：

1)abc

、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性

2)側(cè)平面投影

a

b

c

反映

ABC實(shí)形b"b'baca'c'c"CABa"OXZY3、一般位置平面a"b"c"ca'b'baa"a'b'b"c'c"bacABC投影特性：

(1)

abc

、

a

b

c

、

a

b

c

均為

ABC

的類(lèi)似形

(2)不反映

、

、

的真實(shí)角度三、平面上的直線和點(diǎn)判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線abcc

a

abcb

c

a

mnn

m

例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有無(wú)數(shù)解。d

d有多少解？b

例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？⒉平面上取點(diǎn)

先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例3：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解ckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

c例4：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一解法二bb3、屬于平面的投影面平行線

屬于平面的水平線和正平線

參看：例題5例題6

平面上投影面的平行線—

是既在平面上又//于投影面的直線。因此，它既具有投影面平行線的投影特性，又與所屬平面保持從屬關(guān)系。在一個(gè)平面上對(duì)V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。P屬于平面的水平線和正平線PVPHABC[例題5]已知

ABC給定一平面，試過(guò)點(diǎn)C作屬于該平

面的正平線，過(guò)點(diǎn)A作屬于該平面的水平線。m

n'nm[例題6]已知點(diǎn)E在

ABC平面上，且點(diǎn)E距離

H面15，距離V面10，試求點(diǎn)E的投影。mnm'n'rsr's'1015e'e小結(jié)一、點(diǎn)的投影規(guī)律①a

a⊥OX

軸②aax=a

az=A到V面的距離a

ax=a

ayw=A到H面的距離aayH=a

az=A到W面的距離●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●YZaza

XYaywOaaxayHa

●

a

a

⊥OZ

軸二、各種位置直線的投影特性b

aa

b

ba

1.投影面平行線的投影特性：②直線在另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的水平線側(cè)平線正平線實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)ba

aa

b

b

XZYHYWO并且反映直線對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角。b

a

aba

b

實(shí)長(zhǎng)①直線在所平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)投影軸，并且小于該直線的實(shí)長(zhǎng)。

2.投影面垂直線的投影特性:鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另外兩個(gè)投影，反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相①直線在其垂直投影面上的投影，積聚為一點(diǎn)?！馻

(b

)abb

a

●c

d

c(d)c

d

●e

f

efe

(f

)應(yīng)的投影軸。OXZY三個(gè)投影都小于實(shí)長(zhǎng)，而且與三根投影軸都傾斜。ABbb

a

b

aa

ZXa

a

aOYHYWb

bb

3.一般位置直線的投影特性:一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。二、平面上的點(diǎn)與直線⒈平面上的點(diǎn)一定位于平面內(nèi)的某條直線上⒉平面上的直線⑴過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)。⑵過(guò)平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。小結(jié)3.屬于平面的投影面平行線應(yīng)非常熟練作出屬于平面中的水平線和正平線重點(diǎn)掌握一、問(wèn)題的提出★如何求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)？★如何求一般位置平面的真實(shí)大??？

換面法：物體本身在空間的位置不動(dòng)，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對(duì)新的投影面處于解題所需要的有利位置，然后將物體向新投影面進(jìn)行投射。解決方法：更換投影面。2·4換面法VHABa

b

ab二、新投影面的選擇原則1.新投影面必須對(duì)空間物體處于最有利的解題位置，一次只能更換一個(gè)投影面。

平行于空間物體

垂直于空間物體2.新投影面必須垂直于不變投影面，以構(gòu)成一個(gè)相互垂直的兩投影面的新體系。V1a

1b

1不變投影面新投影面舊投影面舊軸X新軸X1VHAa

a

axX

⒈更換一次投影面

舊投影體系X—VH

新投影體系V1HX1—A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，a

A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a

，a

1⑴新投影體系的建立三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律X1V1a

1ax1

V1HX1a

1

VHXa

aaxax1.ax1

VHXV1HX1a

aa

1VHA

a

axXX1V1a

1ax1

⑵新舊投影之間的關(guān)系

aa

1

X1

a

1ax1=a

ax

點(diǎn)的新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。axa

一般規(guī)律：

點(diǎn)的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸。.新投影面舊投影面不變投影面舊軸新軸X1不變投影舊投影新投影

XVHaa

ax更換H面⑶求新投影的作圖方法

VHXV1HX1

由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于舊投影到舊軸的距離。aa

X1H1V

a1axax1ax1更換V面●a

1作圖規(guī)律：

..⒉更換兩次投影面先把V面換成平面V1，V1H，得到中間新投影體系:V1HX1—再把H面換成平面H2，H2

V1，得到新投影體系:X2—V1H2⑴新投影體系的建立按次序更換AaVHa

axXX1V1a′1ax1

H2X2

ax2a2

注意：第二次換面時(shí)：舊軸為X1；新軸為X2；舊投影為

a;不變投影為a′1;新投影為a2。與原X軸及V投影已無(wú)關(guān)了，在量取新投影到新軸的距離時(shí)應(yīng)注意。ax2

a

aXVH

⑵求新投影的作圖方法

a2X1HV1X2V1H2

作圖規(guī)律

a2a′1X2軸

a2ax2=aax1a′1

axax1

..變換路徑：V1H

V1H2VH

VHABa

b

ab四、換面法的四個(gè)基本問(wèn)題1.把一般位置直線變換成投影面平行線用V1面代替V面，在V1/H投影體系中，AB//V1。X1HV1V1a′1b′1空間分析：

換H面行嗎？不行！作圖：例：求直線AB的實(shí)長(zhǎng)及與H面的夾角。a

b

abXVH新投影軸的位置？a

1●b

1●與ab平行。

.因?yàn)榍螃两荋面不能變a′1●b′1●VHa

aXBb

bA2.把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：a

b

abXVHX1H1V1V1H2X2作圖：X1V1a′1b′1X2H2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？

a2b2ax2a2b2

.與a′1b′1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；為什么一般位置直線不能一次變換成新投影面的垂直線？

一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？

a

b

c

abcdVHABCDX

d

3.把一般位置平面變換成投影面垂直面

如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。V1X1c

1b

1a′1

d′1空間分析：

在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一次變換？

思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！不能αa

b

c

acbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。HV1X1作圖過(guò)程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD。d

d★將AD變換成新投影面的垂直線。d

1●a

1d

1●c

1●

反映平面對(duì)哪個(gè)投影面的夾角？.a

1

b

1●需經(jīng)幾次變換？一次換面,把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2V1H24.把一般位置平面變換成投影面平行面aba

c

b

XVHc作圖：AB是水平線空間分析：a2●c2●b2●c

1●X2軸的位置？平面的實(shí)形.X1HV1.與其平行b

1

距離dd

1X1HV1X2V1H2c2

d

例1：求點(diǎn)C到直線AB的距離，并求垂足D。c

c

b

a

abXVH

五、換面法的應(yīng)用

如下圖：當(dāng)直線AB垂直于投影面時(shí)，CD平行于投影面，其投影反映實(shí)長(zhǎng)。AH2BDCca

b

d作圖:

求C點(diǎn)到直線AB的距離，就是求垂線CD的實(shí)長(zhǎng)?？臻g及投影分析：c

1

a

1

a2

b2

d2

過(guò)c1作線平行于x2軸。...如何確定d

1點(diǎn)的位置？b

a

abcd●c

例2：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長(zhǎng)度為MN，且AB為水平線，求CD及MN的投影。MN●m

●d

●a

1≡