期末專題12 數(shù)列壓軸綜合（附加）（30題）（解析版）-備戰(zhàn)期末高二數(shù)學

期末專題12數(shù)列壓軸綜合（附加）（精選30題）一、單選題1．（21-22高二下·遼寧大連·期末）數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項和為（

）A．1640 B．1680 C．2100 D．2120【答案】A【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進行求解.【詳解】設，因為的周期為，所以的周期為.又，，所以當n為奇數(shù)時，，所以當n為偶數(shù)時，.又，所以，，，于是得到，同理可求出，…，設，則數(shù)列是以6為首項，8為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前80項和為數(shù)列的前20項和.故B，C，D錯誤.故選：A.2．（20-21高二下·浙江紹興·期末）已知正項數(shù)列滿足：，設，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用進行放縮，然后再逐項分析即可.【詳解】，設，，令，得，易得所以，所以，即所以，若，則，與矛盾，所以A錯若，則，由得由，即得由，即得所以可以推出，與矛盾，所以B錯又因為所以因為，所以故選：D.3．（22-23高二下·安徽合肥·期末）如圖，正方形的邊長為5，取正方形各邊的中點，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去，則從正方形開始，連續(xù)15個正方形的面積之和等于（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】設第個正方形的面積為，第個正方形的邊長為，則第個正方形的對角線長為，則由題意可得，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而可求出，進而可求得答案.【詳解】記第1個正方形的面積為，第2個正方形的面積為，第個正方形的面積為，設第個正方形的邊長為，則第個正方形的對角線長為，所以第個正方形的邊長為，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，則，當時，，又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，連續(xù)15個正方形的面積之和等于故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查等比數(shù)列應用，考查等比數(shù)列通項公式和求和公式的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到第個正方形的邊長為與第個正方形的邊長的關(guān)系，從而可得，考查計算能力，屬于較難題.4．（21-22高二下·江蘇南京·期末）將等比數(shù)列按原順序分成1項，2項，4項，…，項的各組，再將公差為2的等差數(shù)列的各項依次插入各組之間，得到新數(shù)列：，，，，，，，，，，…，新數(shù)列的前項和為．若，，，則S200=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求得等比數(shù)列的首項和公比，以及等差數(shù)列的首項，再求得數(shù)列的前200項中含有數(shù)列的前7項，含有數(shù)列的前193項，運用分組求和的方法可求得答案.【詳解】解：由已知得，，，等比數(shù)列的公比．令，則，，所以數(shù)列的前200項中含有數(shù)列的前7項，含有數(shù)列的前193項，故．故選：A．5．（20-21高二下·浙江衢州·期末）已知等差數(shù)列滿足：，則的最大值為（

）A．18 B．16 C．12 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析題中數(shù)列變化規(guī)律，計算得出結(jié)果.【詳解】不為常數(shù)列，且數(shù)列的項數(shù)為偶數(shù)，設為則，一定存在正整數(shù)k使得或不妨設，即，從而得，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，且，，同理即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，所以n的最大值為12，選項C正確，選項ABD錯誤故選：C.6．（22-23高二下·安徽合肥·期末）定義高階等差數(shù)列：對于一個給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階差數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階差數(shù)列．已知數(shù)列為2，5，11，21，36，，且它的二階差數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A．45 B．85 C．121 D．166【答案】C【分析】利用二階差數(shù)列是等差數(shù)列，由此將原數(shù)列一一列舉即可.【詳解】該數(shù)列的一階差數(shù)列為3，6，10，15，，則二階差數(shù)列為3，4，5，，因為二階差數(shù)列是等差數(shù)列，故二階差數(shù)列后面的項為6，7，8，，所以一階差數(shù)列后面的項為21，28，36，，從而原數(shù)列后面的項為57，85，121，，故．故選：C7．（22-23高二下·河北邢臺·期末）數(shù)列單調(diào)遞減，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用數(shù)列單調(diào)遞減，可知，可化為，再判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可求出的取值范圍.【詳解】∵數(shù)列單調(diào)遞減，∴，∴，則，令，，令，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，對所有的正整數(shù)都成立只需時，成立，即，解得，∴的取值范圍是，故選：C.二、多選題8．（22-23高二下·安徽亳州·期末）已知等比數(shù)列的前項積為，公比，且，則（）A．當時，最小B．C．存在，使得D．當時，最小【答案】BD【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)以及單調(diào)性逐項分析判斷.【詳解】對于選項B：因為，所以，又因為，所以，故B正確；對于選項A、D：因為，所以，則，又因為，可得，則，故，且，可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，當時，；當時，；所以當時，最小，故選項A錯誤，選項D正確；對于選項C：因為數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且當時，，所以，故C錯誤.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：項數(shù)是關(guān)鍵：解題時特別關(guān)注條件中項的下標即項數(shù)的關(guān)系，尋找項與項之間、多項之間的關(guān)系選擇恰當?shù)男再|(zhì)解題.9．（22-23高二下·遼寧·期末）若數(shù)列滿足，，，則稱數(shù)列為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應用.則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對A，根據(jù)遞推公式即可判斷；對利用判斷；D利用數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合斐波那契數(shù)列的前項和即可判斷；對C，根據(jù)遞推公式，即可判斷.【詳解】對A：，，，所以，，，，故A正確；對B：由，可得，，故B正確；對C：，可得，即有，故C正確；對于，故不正確．故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查斐波那契數(shù)列的遞推公式，以及其偶數(shù)項和奇數(shù)項的和的求解；處理問題的關(guān)鍵是通過遞推公式，找到相鄰項的和與差的關(guān).系10．（22-23高二下·重慶沙坪壩·期末）已知數(shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項和，則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可求得為奇數(shù)和為偶數(shù)時的通項公式，進而確定，知AB正誤；由可確定C正確；分別討論和時，的通項公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可確定D正確.【詳解】對于A，當為奇數(shù)時，，又，，則，A正確；對于B，當為偶數(shù)時，，又，；由A知：當為奇數(shù)時，；則當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，當時，，當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；當時，，當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；綜上所述：，D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式求解通項公式、前項和的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式確定數(shù)列奇偶項所滿足的關(guān)系，進而通過對于的取值的討論求得通項公式.11．（22-23高二下·江蘇鹽城·期末）如圖，已知正三角形的邊長為3，取正三角形各邊的三等分點作第二個正三角形，然后再取正三角形的各邊的三等分點作正三角形，以此方法一直循環(huán)下去．設正三角形的邊長為，后續(xù)各正三角形的邊長依次為；設的面積為，的面積為，后續(xù)各三角形的面積依次為，則下列選項正確的是（

）

A．數(shù)列是以3為首項，為公比的等比數(shù)列B．從正三角形開始，連續(xù)3個正三角形面積之和為C．使得不等式成立的最大值為3D．數(shù)列的前項和【答案】ABD【分析】利用余弦定理得到，即可得到數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可判斷A、B，再由，求出的通項，即可判斷C，利用等比數(shù)列求和公式判斷D.【詳解】設正三角形的邊長為，后續(xù)各正三角形的邊長依次為，，，由題意知，，，所以為以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故A正確；又，，所以從正三角形開始，連續(xù)個正三角形面積之和為，故B正確；又，，，所以，，，顯然數(shù)列單調(diào)遞減，，，，故C錯誤；數(shù)列的前項和，故D正確；故選：ABD12．（21-22高二下·山東東營·期末）如圖，是一塊半徑為的圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小半圓其直徑為前一個剪掉半圓的半徑得圖形，，，，，記紙板的周長為，面積為，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用列舉前幾項的方法，判斷AB；根據(jù)列舉的規(guī)律，寫出，再求和，判斷C；利用與的關(guān)系，即可判斷D.【詳解】根據(jù)圖形生成的規(guī)律可知，，，，故A正確；，，，故B正確；根據(jù)題意可知，圖形中被剪去的最小的半圓的半徑為，所以當故C錯誤；根據(jù)題意可知，圖形中被剪去的最小的半圓的半徑為，，故D正確．故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是通過列舉的方法，發(fā)現(xiàn)圖形間的規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，進行數(shù)學計算.13．（21-22高二下·湖南衡陽·期末）已知數(shù)列滿足，則（

）A．為等比數(shù)列B．的通項公式為C．的前項和D．的前項和【答案】ACD【分析】利用取倒數(shù)構(gòu)造法、等比數(shù)列的通項公式、求和公式、以及錯位相減法、分組求和法進行計算.【詳解】因為，，所以，所以，，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；因為數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故B錯誤；因為，所以，所以的前項和，故C正確；因為，所以，所以的前項和,令，則，兩式錯位相減得：，所以，所以，故D正確.故選：ACD.14．（21-22高二下·江蘇南通·期末）已知數(shù)列的通項公式，記數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（

）A．B．是偶數(shù)C．若，則D．若，則存在n使得能被8整除【答案】BCD【分析】計算判斷A；探求數(shù)列的性質(zhì)，尋找規(guī)律判斷B；利用數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合累加法判斷C；取特值計算判斷D作答.【詳解】，，，，A不正確；，因數(shù)列從第3項起的每一項都等于其相鄰前2項的和，又都是奇數(shù)，則必為偶數(shù)，又都是奇數(shù)，又為偶數(shù)，由此，是奇數(shù)，是偶數(shù)，照此規(guī)律依次進行，因此，數(shù)列中，是奇數(shù)，是偶數(shù)，而，是偶數(shù)，B正確；因，，即，則，C正確；，顯然能被8整除，因此，存在n使得能被8整除，D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列規(guī)律的問題，按條件寫出變量的前幾個取值對應數(shù)列，認真分析每個變量對應的數(shù)列，找準變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.15．（20-21高二上·江蘇揚州·期末）已知數(shù)列的前n項和為，，.則下列選項正確的為（

）A．B．數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列C．對任意的，D．的最小正整數(shù)n的值為15【答案】BD【分析】根據(jù)題設的遞推關(guān)系可得，從而可得，由此可得的通項和的通項，從而可逐項判斷正誤.【詳解】由題設可得，因為，，故，所以，所以，所以，因為，故，所以，所以為等比數(shù)列，所以即，故，故A錯，C錯.又，故，所以，即是以2為公比的等比數(shù)列，故B正確.，，故的最小正整數(shù)n的值為15，故D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：題設中給出的是混合遞推關(guān)系，因此需要考慮奇數(shù)項的遞推關(guān)系和偶數(shù)項的遞推關(guān)系，另外討論D是否成立時注意先考慮的值.16．（20-21高二下·山東德州·期末）“斐波那契數(shù)列”由十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契發(fā)現(xiàn)，因為斐波那契以兔子繁殖為例子而引人，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”，它在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學.等領(lǐng)域都有直接的應用.斐波那契數(shù)列滿足：，，，記其前項和為，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用進行遞推即可得出答案.【詳解】對A，，∴，A正確；對B,，B正確；對C，，C錯誤；對D，，D正確.故選：ABD.17．（22-23高二下·廣東佛山·期末）記等差數(shù)列的n和為，數(shù)列的前k項和為，則（

）A．若，均有，則B．若當且僅當時，取得最小值，則C．若且，則當且僅當時，取得最小值D．若和時，取得最小值，則，【答案】BD【分析】由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和等差數(shù)列的性質(zhì)，可得結(jié)論；【詳解】選項A：等差數(shù)列的前n和為，因為，所以，所以從第二項開始，故正負不確定，不一定成立，選項A錯誤；選項B：當時，取得最小值，所以數(shù)列是首項為負，慢慢遞增的數(shù)列，且有，則有，故有，選項B正確；選項C：，解得：，，，所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，先減后增，由題意知，當時，取得最小值，選項錯誤；選項D：當和時，取得最小值，故先減后增，且，故，，選項D正確；故選：BD【點睛】關(guān)鍵點睛：熟練掌握并應用等差數(shù)列求和公式是本題的關(guān)鍵，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，將題目轉(zhuǎn)化為對具體項正負的判斷是本題的解題關(guān)鍵和突破點；18．（22-23高二下·山東日照·期末）已知有窮數(shù)列各項均不相等，將的項從大到小重新排序后相應的序號構(gòu)成新數(shù)列，稱數(shù)列為數(shù)列的序數(shù)列．例如數(shù)列，，，滿足，則其序數(shù)列為1，3，2．若有窮數(shù)列滿足，（n為正整數(shù)），且數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞增，則下列正確的是（

）A．數(shù)列單調(diào)遞增B．數(shù)列單調(diào)遞增C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義直接判斷AB，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可得，，據(jù)此利用累加法求通項判斷D，并項求和結(jié)合等比數(shù)列求和公式判斷C.【詳解】由題意，數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列單調(diào)遞增，故A正確；由數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列單調(diào)遞減，故B錯誤；因為數(shù)列是單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以，因此，所以，由數(shù)列單調(diào)遞減，同理可得，，所以，也符合該式，故D正確；，故C正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：理解新定義數(shù)列的序數(shù)列是判斷數(shù)列單調(diào)性的關(guān)鍵，再由單調(diào)性及不等式的性質(zhì)分別得出，是解決問題的第二個關(guān)鍵點，利用累加法求通項公式，利用并項求和是解決本題的第三個關(guān)鍵點.19．（22-23高二下·廣東汕尾·期末）已知數(shù)列滿足（且），則下列說法正確的是（

）A．，且B．若數(shù)列的前16項和為540，則C．數(shù)列的前項中的所有偶數(shù)項之和為D．當n是奇數(shù)時，【答案】ACD【分析】A選項，賦值法求解即可；B選項，先得到，求出數(shù)列的前16項和中偶數(shù)項之和，從而得到前16項和中奇數(shù)項之和，賦值法得到，從而得到，求出答案；C選項，在B選項的基礎上得到，從而利用等差數(shù)列求和公式求解；D選項，在B選項基礎上得到，令可得答案.【詳解】A選項，中，令得，令得，A正確；B選項，中，令得，所以，，，，相加得，因為數(shù)列的前16項和為540，所以前16項和中奇數(shù)項之和為，中，令得，所以，故，解得，B錯誤；C選項，由B選項可知，的前項中的共有偶數(shù)項項，故最后兩項之和為，所以數(shù)列的前項中的所有偶數(shù)項之和為，C正確；D選項，由B選項可知，令，則，故故當n是奇數(shù)時，，D正確.故選：ACD【點睛】當遇到時，數(shù)列求通項公式或者求和時，往往要分奇數(shù)項和偶數(shù)項，這類題目的處理思路可分別令和，用累加法進行求解.三、填空題20．（21-22高二下·福建廈門·期末）分形幾何在計算機生成圖形和游戲中有廣泛應用．按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2所示的一個樹形圖．設圖2中第n行黑圈的個數(shù)為，則，數(shù)列的通項公式．【答案】41【分析】記第n行白圈的個數(shù)為，根據(jù)題意得到遞推公式，，從而推導出，進而構(gòu)造等比數(shù)列聯(lián)立求解即可得【詳解】記第n行白圈的個數(shù)為，由題意可得，，，則，所以，所以，由，得，所以，即，故，故答案為：41；21．（21-22高二下·湖北武漢·期末）如圖是瑞典數(shù)學家科赫在年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設原三角形（圖）的邊長為，把圖，圖，圖，中的圖形依次記為，，，，，，則的邊數(shù)，所圍成的面積．【答案】【分析】記的邊數(shù)為，三角形邊長為，面積為，由圖形變化規(guī)律可直接得到，從而得到；根據(jù)，采用累加法可求得.【詳解】記的邊數(shù)為，三角形邊長為，面積為，由圖形變換規(guī)律可知：，，則；由圖形可知：是在每條邊上生成一個小三角形（去掉底邊），則，由，，…，；左右分別相加得：；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列的綜合應用問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形的變化規(guī)律確定的邊數(shù)的變化規(guī)律符合等比數(shù)列的變化；并得到圖形面積變化所滿足的遞推關(guān)系式，采用累加法表示出圖形面積.四、解答題22．（22-23高二下·福建泉州·期末）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，可知數(shù)列為2為首項，2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式計算即可；（2）求數(shù)列的前n項和為，根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)可求出c．【詳解】（1）因為，當時，兩式相減得化簡得，，，當時，，解得或（舍去）故數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列．．（2）由（1）知，，，，，，，，成等比數(shù)列，，即，整理得：，或．①當時，，所以（定值），滿足為等差數(shù)列，②當時，，，，，不滿足，故此時數(shù)列不為等差數(shù)列（舍去）．綜上可得．23．（21-22高二下·河北石家莊·期末）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和：(3)若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值?最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)題意可得，則可解得，即可求出通項公式；（2）利用錯位相減法即可求出；（3）利用裂項相消法求出前n項和，再討論n的奇偶即可求出.【詳解】（1）因為，所以，所以，又，且為遞增數(shù)列，則可解得，所以公差為2，所以.（2）因為，所以①，②，①-②得，；（3），記的前項和為，則，當為奇數(shù)時隨著的增大而減小，可得，當為偶數(shù)時隨著的增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.24．（21-22高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項和為，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由前項和與通項的關(guān)系先得到遞推關(guān)系為等比數(shù)列模型，進而得到；（2）將等式往前遞推一次得，再兩邊同乘以4與原式作差得到，進而得到結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴，∴令，得，∴是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，∴（2）∵，即∴等式兩邊同乘以4得：∴∴，∴，經(jīng)檢驗成立，∴25．（22-23高二下·湖北十堰·期末）已知數(shù)列的前項和為且.(1)求的通項公式；(2)為滿足的的個數(shù)，求使成立的最小正整數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由前項和的遞推公式通過累乘法算出，然后由與的關(guān)系解出通項公式.（2）不等式左邊利用分組求和的方法求出和，然后構(gòu)造函數(shù)結(jié)合作差法與二項式展開式來判斷函數(shù)單調(diào)性，進而解出值.【詳解】（1）因為，所以，所以，累乘得，所以.符合上式，所以.當時，，則，所以.因為符合上式，所以.（2）由題意知，則.令，則.由二項式展開式.所以，所以單調(diào)遞增.因為，所以的最小值是11.26．（20-21高二·遼寧·期末）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充下面的問題中，若問題中的存在，求的最小整數(shù)值；若不存在，請說明理由．問題：設數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為．若_________，則是否存在，使得？【答案】當選擇①時，存在，且的最小整數(shù)值為1；當選擇②時，存在，且的最小整數(shù)值為24；選擇③時，存在，且的最小整數(shù)值為0.【分析】先根據(jù)，利用數(shù)列通項和前n項和的關(guān)系求得，若選擇①，得到，利用裂項相消法求解；若選擇②，得到，利用等差數(shù)列的前n項和公式求解；若選擇③，得到，利用裂項相消法求解.【詳解】因為，當時，解得，當時，由，得，兩式相減得：，則，又適合上式，所以，當選擇①時，，因為，所以，所以存在，且的最小整數(shù)值為1；當選擇②時，，所以，，所以存在，且的最小整數(shù)值為24；選擇③時，，所以，，當時，，所以存在，且的最小整數(shù)值為0；27．（20-21高二下·浙江·期末）設等差數(shù)列的公差為d，d為整數(shù)，前n項和為，等比數(shù)列的公比為q，已知．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和為；（3）設，求證：．【答案】（1），；（2）（3）證明詳見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件建立關(guān)于和的方程即可求解；（2）利用分組求和可求解；（3）化簡可得，即可證明.【詳解】（1）由題意可得，解得（舍去）或，，；（2）由（1）可得；（3），.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列不等式的證明，解題的關(guān)鍵是化簡得出.28．（20-21高二下·浙江·期末）在數(shù)列中，．（Ⅰ）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明：．【答案】（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）由化簡可得,，進而可得，即可證明結(jié)果;（Ⅱ）利用數(shù)學歸納法進行證明即可.【詳解】（Ⅰ）,,,數(shù)列是以為首項,-2為公差的等差數(shù)列.,,當時，，滿足此式，故.（Ⅱ）當時，，成立，假設，時，成立，則當時，，.只需證明即可.,,,時，成立，綜上所述，恒成立.【點睛】方法點睛：用數(shù)學歸納法證明，一般是兩步一結(jié)論，（1）證明當時命題成立；（2）假設時命題成立，再證明當時，命題成立（3）下結(jié)論.29．（20-21高二上·江蘇蘇州·期末）已知數(shù)列滿足，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，稱數(shù)列是數(shù)列的“中程數(shù)數(shù)列”．①求“中程數(shù)數(shù)列”的前項和；②若（且），求所有滿足條件的實數(shù)對．【答案】（1）證明見解析，；（2）①；②．【解析】（1）先利用遞推關(guān)系推出，即證結(jié)論，再利用等比數(shù)列通項公式求數(shù)列的通項公式即可；（2）①先判斷數(shù)列單調(diào)性得到最大項和最小項，求得數(shù)列，再利用錯位相減法求和即可；②先利用通項公式判斷和，再逐一代入求解滿足題意的m