期末專(zhuān)題13 新定義綜合（函數(shù)新定義、數(shù)列新定義）（附加）（30題）（原卷版）-備戰(zhàn)期末高二數(shù)學(xué)

期末專(zhuān)題13新定義綜合（函數(shù)新定義數(shù)列新定義）（附加）（精選30題）一、單選題1．（22-23高二下·黑龍江牡丹江·期末）已知定義數(shù)列為數(shù)列的“差數(shù)列”，若的“差數(shù)列”的第項(xiàng)為，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·湖北·期末）定義：在數(shù)列中，若對(duì)任意的都滿(mǎn)足為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為等差比數(shù)列．已知等差比數(shù)列中，，，則（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·甘肅金昌·期中）定義表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：．若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．64 B．70 C．77 D．844．（22-23高二下·山西大同·期末）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如，，已知函數(shù)，，則下列敘述正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．在上是增函數(shù)C．的值域是 D．的值域是5．（22-23高二下·福建泉州·期末）對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若滿(mǎn)足：且，都有，則稱(chēng)函數(shù)為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，若為區(qū)間上的“非減函數(shù)”，且，又當(dāng)時(shí)，恒成立，下列命題中正確的有（

）A． B．C． D．6．（22-23高二下·湖南·期末）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問(wèn)題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱(chēng)數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱(chēng)數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類(lèi)推，可以得到高階等差數(shù)列.類(lèi)比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則的值為（參考公式：）（

）A．60 B．120 C．240 D．4807．（23-24高二上·全國(guó)·期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，若表示不超過(guò)x的最大整數(shù)(例如)，則（

）A．4048 B．4046 C．2023 D．20248．（23-24高二上·廣東東莞·期末）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得新數(shù)列按照同樣的方法進(jìn)行構(gòu)造，可以不斷形成新的數(shù)列．現(xiàn)對(duì)數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；…依次構(gòu)造，記第n（）次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和為，則（

）A．1095 B．3282 C．6294 D．98439．（22-23高二下·安徽合肥·期末）定義高階等差數(shù)列：對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱(chēng)為數(shù)列的一階差數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階差數(shù)列．已知數(shù)列為2，5，11，21，36，，且它的二階差數(shù)列是等差數(shù)列，則（

）A．45 B．85 C．121 D．166二、多選題10．（22-23高二下·遼寧沈陽(yáng)·期末）若存在常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿(mǎn)足：和恒成立，則稱(chēng)此直線(xiàn)為和的“隔離直線(xiàn)”，已知函數(shù)，，若函數(shù)和之間存在“隔離直線(xiàn)”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．-5 B．0 C．4 D．711．（22-23高二下·山東煙臺(tái)·期末）對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在使得，則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，下列函數(shù)存在“不動(dòng)點(diǎn)”的有（

）A． B．C． D．12．（22-23高二下·湖北武漢·期末）已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)，都有，則對(duì)于，，下式成立的有（

）A． B．C． D．13．（23-24高二上·安徽合肥·期末）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)中心．已知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B．函數(shù)既有極大值又有極小值C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．對(duì)任意，都有14．（22-23高二下·山東德州·期末）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列2，4進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列2，6，4；第2次得到數(shù)列2，8，6，10，4；…；第次得到數(shù)列2，，，，?，，4.記，則（

）A． B．為偶數(shù)C． D．15．（22-23高二下·遼寧·期末）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱(chēng)這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函為，與函數(shù)，為“同族函數(shù)”．下列函數(shù)解析式中能夠被用來(lái)構(gòu)造“同族函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．16．（22-23高二下·江西新余·期末）太極圖被稱(chēng)為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進(jìn)程的光輝，它是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱(chēng)陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美.定義：若一個(gè)函數(shù)的圖象能夠?qū)A的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分，則稱(chēng)該函數(shù)為圓的一個(gè)“太極函數(shù)”，設(shè)圓，則下列說(shuō)法中正確的是（

）

A．函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是為圓的太極函數(shù)的充要條件C．圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)D．函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)17．（22-23高二下·浙江舟山·期末）設(shè)函數(shù)，其中表示中的最小者，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，則C．當(dāng)時(shí)，則D．18．（23-24高二上·安徽六安·期末）對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”．若函數(shù)的圖像恰好有2對(duì)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．1 B． C． D．19．（22-23高二下·吉林長(zhǎng)春·期末）定義：對(duì)于定義在區(qū)間I上的函數(shù)和正數(shù)，若存在正數(shù)M，使得不等式對(duì)任意恒成立，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間I上滿(mǎn)足階李普希茲條件，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．函數(shù)在上滿(mǎn)足階李普希茲條件B．若函數(shù)在上滿(mǎn)足一階李普希茲條件，則M的最小值為C．若函數(shù)在上滿(mǎn)足的一階李普希茲條件，且方程在區(qū)間上有解，則是方程在區(qū)間上的唯一解D．若函數(shù)在上滿(mǎn)足的一階李普希茲條件，且，則對(duì)任意函數(shù)，，恒有20．（23-24高二上·江蘇無(wú)錫·期末）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)，因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”．斐波那契數(shù)列在很多方面都與大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生長(zhǎng)過(guò)程，大到海浪、颶風(fēng)、宇宙系演變，皆有斐波那契數(shù)列的身影，充分展示了“數(shù)學(xué)之美”．斐波那契數(shù)列用遞推的方式可定義如下：數(shù)列滿(mǎn)足：，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．是奇數(shù)21．（22-23高二下·江西贛州·期末）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列，如數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10被稱(chēng)為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，4，8，15，26，42，64，則下列結(jié)論正確的是（

）(參考公式:)A．?dāng)?shù)列為二階等差數(shù)列 B．C．滿(mǎn)足的最大的n的值為20 D．22．（22-23高二下·山東日照·期末）已知有窮數(shù)列各項(xiàng)均不相等，將的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的序號(hào)構(gòu)成新數(shù)列，稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的序數(shù)列．例如數(shù)列，，，滿(mǎn)足，則其序數(shù)列為1，3，2．若有窮數(shù)列滿(mǎn)足，（n為正整數(shù)），且數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞減，數(shù)列的序數(shù)列單調(diào)遞增，則下列正確的是（

）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．D．三、填空題23．（22-23高二下·江西上饒·期末）定義：滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的有窮數(shù)列，，…，為階“期待數(shù)列”．①，②．試寫(xiě)出一個(gè)3階“期待數(shù)列”；若2023階“期待數(shù)列”是遞增的等差數(shù)列，則．24．（21-22高二下·浙江溫州·期末）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，組成一個(gè)新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個(gè)數(shù)列的一次“拓展”.先將數(shù)列1，2進(jìn)行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到數(shù)列；第次拓展得到數(shù)列.設(shè)，其中，.25．（21-22高二下·遼寧營(yíng)口·期末）斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，被譽(yù)為最美的數(shù)列，若數(shù)列滿(mǎn)足，，（，），則稱(chēng)數(shù)列為斐波那契數(shù)列，則．四、解答題26．（22-23高二下·江蘇南京·期末）歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱(chēng)的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，并且，就稱(chēng)函數(shù)為倒函數(shù)．(1)已知,,判斷和是不是倒函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)．記，證明：是的充要條件．27．（22-23高二下·山西朔州·期末）若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為“平方遞推數(shù)列".已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)，(1)證明:數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列;(2)設(shè)，，求數(shù)列的前10項(xiàng)和.28．（22-23高二下·江西贛州·期末）對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)為“局部奇函數(shù)”.(1)若函數(shù)在區(qū)間上為“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若函數(shù)在定義域R上為“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.29．（22-23高二下·浙江寧波·期末）已知，.定義，設(shè)，．

(1)若，（i）畫(huà)出函數(shù)的圖象；（ii）直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)定義區(qū)間的長(zhǎng)度.若，，則.設(shè)關(guān)于