2024屆高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)：解三角形“熱考”十點(diǎn)（解析版）

2024屆高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)解三角形“熱考”十點(diǎn)（解析版）

解三角形“熱考”十點(diǎn)

熱點(diǎn)題型速覽

熱點(diǎn)一三角形中邊角計(jì)算

熱點(diǎn)二判斷三角形的形狀

熱點(diǎn)三三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

熱點(diǎn)四解三角形與平面向量的交匯

熱點(diǎn)五解三角形與解析幾何交匯問(wèn)題

熱點(diǎn)六解三角形與立體幾何交匯問(wèn)題

熱點(diǎn)七正弦定理、余弦定理應(yīng)用于平面幾何問(wèn)題

熱點(diǎn)八三角形周長(zhǎng)問(wèn)題

熱點(diǎn)九三角形面積問(wèn)題

熱點(diǎn)十三角形范圍（最值）問(wèn)題

三角形邊（關(guān)系式）的問(wèn)題

三角形角（函數(shù)值）問(wèn)題

三角形周長(zhǎng)問(wèn)題

三角形面積問(wèn)題

熱點(diǎn)一三角形中邊角計(jì)算

［題目曰(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)5iJ/C=()

A4Bf。D.普

題目團(tuán)（2020.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，cosC=1~,AC=4,BC=3,則cosB=（）

o

X119

ABCD

94-1-f

【題目JJ］（2021.全國(guó).高考真題）在△ABC中，已知8=120°,至，AB=2,則（）

A.1B.V2C.V5D.3

題目回（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）在&ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a2+62=c2+absmC,

且asinBcosC+csinBcosA=,則tanA等于（）

A.3B.—!C.3或—!D.—3或!

ooo

題目回（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn)，AM^2遍，則47=

,cosAMAC=.

【規(guī)律方法】

1.已知任意兩角和一邊，解三角形的步驟：

①求角：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；

②求邊:根據(jù)正弦定理，求另外的兩邊.

（1）已知內(nèi)角不是特殊角時(shí),往往先求出其正弦值,再根據(jù)以上步驟求解.

（2）已知三邊解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理或由求得的第一個(gè)角，利用正

弦定理求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.

(2)利用余弦定理求三角的余弦,進(jìn)而求得三個(gè)角.

熱點(diǎn)二判斷三角形的形狀

題目⑥在△ABC中，若/sin2C+c2sin2B=2bccos8cosc，試判斷△ABC的形狀.

題目不(2020.全國(guó).統(tǒng)考高考真題)△4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos2(y+A)+cos力

=立

一不

⑴求4

(2)若b—c=^a,證明：△ABC是直角三角形.

O

【規(guī)律方法】

利用正弦定理判斷三角形形狀的方法：

(1)化邊為角.將題目中的所有條件,利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的

關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀.

(2)化角為邊.根據(jù)題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊,再利用代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系(如a

=b,&2+/=。2),進(jìn)而確定三角形的形狀.

2.判斷三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常用到以下結(jié)論

①△ABC為直角三角形=a2=b2+c2或c2=(i+b2或b2=a2+c2.

②AABC為銳角三角形o且/+°2>且T+a?〉心

③△ABC為鈍角三角形Qa2+fe2<c2或62+C2<a2或c2+a2<b2.

④若sin2A=sin2B,則？1=_8或4+_8=彳.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：易忽略三角形中的隱含條件.

熱點(diǎn)三三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

題目回（2016?全國(guó)卷I文，4）A4BC的內(nèi)角4B、。的對(duì)邊分別為a、b、c.已知a=西，c=2,cosA=

系則公（）

O

A.V2B.V3C.2D.3

［題目9］在△ABG中，已知sin。=1■,a=2A/3,6=2,求邊c.

題目電（2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在①tanAtan?！狝anA=1+

V^tan。；②（2c—V3a）cosB=VS'bcosA；③（a—V3c）sinA+csinC=bsin_B這三個(gè)條件中任選一■個(gè)，補(bǔ)

充在下面問(wèn)題中并作答.

問(wèn)題:在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.

（1）求角B的大??；

（2）已知c=b+1,且角A有兩解，求b的范圍.

【方法技巧】

三角形解的個(gè)數(shù)的判斷

在△ABC中，已知a,b和A,利用正弦定理解三角形時(shí)，會(huì)出現(xiàn)解不確定的情況,一般可根據(jù)三角形中“大

邊對(duì)大角和三角形內(nèi)角和定理”來(lái)取舍.具體解的情況如下表：

A為銳角A為鈍角或直角

c

圖形

A一J一i'B

/Lm~-42A

AB/B

關(guān)系式a—bsinAbsinA<a<bQ>6a>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解

上表中若A為銳角，則當(dāng)aVbsinA時(shí)無(wú)解;若A為鈍角或直角，則當(dāng)aWb時(shí)無(wú)解.

熱點(diǎn)四解三角形與平面向量的交匯

題目①（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是4B的中點(diǎn)，則或?麗=（）

A.V5B.3C.2V5D.5

、題目至］（2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)G為三角形ABC的重心，且|豆？+黃|=|瓦5—力司，當(dāng)

/C取最大值時(shí)，cosC=（）

A.4B.4-C.4D.4

5555

題目叵〕【多選題】（2023?浙江?二模）在△ABC中，|人8|2+|47|2=2㈤。匕/=反5,則（）

A.\AD\>\CD\B.\AD\<^-\CD\C.AADO^D.AADC<^

264

【點(diǎn)評(píng)】

1.交匯考向主要有：（1）向量坐標(biāo)運(yùn)算條件下解三角形問(wèn)題；（2）三角形中向量運(yùn)算問(wèn)題；（3）共線向量條件

下解三角形問(wèn)題；（4）向量的模與解三角形問(wèn)題.

2.解答的總體思路可歸結(jié)為三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）根據(jù)向量運(yùn)算的定義、法則、運(yùn)算律等，加以計(jì)算；（2）應(yīng)用三角

公式，進(jìn)行變形進(jìn)而完成化簡(jiǎn)；（3）應(yīng)用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等，實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化.就整體而

言,正確向量運(yùn)算、恒等變形是基礎(chǔ)，恰當(dāng)?shù)倪吔寝D(zhuǎn)化是關(guān)鍵，考查的核心是解三角形、三角問(wèn)題，向量運(yùn)算

是工具.應(yīng)該注意的是，向量運(yùn)算條件的給出，也可能是向量平行、垂直,需根據(jù)相關(guān)條件加以轉(zhuǎn)化.

熱點(diǎn)五解三角形與解析幾何交匯問(wèn)題

題目H（2021.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）己知4月是雙曲線。的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為。上一點(diǎn)，且/理啊=60°,

爐司=30月|,則。的離心率為（）

A.乎B.C.V7D.V13

題目四（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓號(hào)++=1，4月為兩個(gè)焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn),

cos/EP鳥(niǎo)■，則|PO|=（）

5

A2B（71—D

A.5B.2C-5U-2

題目名（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線才=%的焦點(diǎn)為乩準(zhǔn)線與c軸的交點(diǎn)為C,過(guò)點(diǎn)C的

直線I與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若ZAFB=ACFB，則\AF\^.

【點(diǎn)評(píng)】

L與橢圓、雙曲線的定義及幾何性質(zhì)相結(jié)合，在“焦點(diǎn)三角形”中，綜合應(yīng)用定義、正弦定理或余弦定理，確

定幾何量或幾何量之間的關(guān)系，解決離心率（范圍）計(jì)算問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題多以客觀題出現(xiàn)；

2.直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題中，通過(guò)交點(diǎn)等構(gòu)造或產(chǎn)生三角形，計(jì)算三角形面積（最值）、線段長(zhǎng)度等,

這類(lèi)問(wèn)題多在主觀題出現(xiàn)，解題過(guò)程往往通過(guò)直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，應(yīng)用判別式、一元二次方程

根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、正弦定理、余弦定理等.

熱點(diǎn)六解三角形與立體幾何交匯問(wèn)題

題目E（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PC=PD=3,

/PCA=45°,則△PBC的面積為（）

A.2A/2B.3V2C.4A/2D.6A/2

題目回（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知△ABC為等腰直角三角形，為斜邊，ZVIB。為等邊三角形，若

二面角為150°,則直線CD與平面48。所成角的正切值為（）

A.4B.qC.0D.菖

5555

題目回（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)P是圓柱上底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，ZVIB。是圓柱下底面圓的內(nèi)接三

角形，已知在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若c=2,。=60°,三棱錐P—ABC的體積最

大值為春通，則該三棱錐外接球的表面積為（）

A19口28C53「43

A.--7TB.--7TC.——7TD.--7U

3393

【點(diǎn)評(píng)】

與立體幾何的交匯問(wèn)題,往往是利用幾何體中存在的三角形，應(yīng)用正弦定理或余弦定理，確定解題所需要的

幾何量，完成角的（函數(shù)值）的計(jì)算、面積計(jì)算等，有時(shí)與數(shù)學(xué)文化相結(jié)合，解決古典書(shū)籍中的問(wèn)題,或與時(shí)

俱進(jìn),解決現(xiàn)實(shí)生活中的立體幾何問(wèn)題,善于發(fā)現(xiàn)相關(guān)三角形或做輔助線構(gòu)造三角形,是解題的重要基礎(chǔ).

熱點(diǎn)七正弦定理、余弦定理應(yīng)用于平面幾何問(wèn)題

題目叵（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，乙氏4C=60°,AB=2,07=逐，/BAC的角平分線交

BC于。，則AD=.

題目H（2020.江蘇.統(tǒng)考高考真題）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,c==

45°.

⑴求sin。的值；

⑵在邊BC上取一點(diǎn)。，使得cos乙4。。=一5,求tan/D4C的值.

5

【點(diǎn)評(píng)】

解三角形應(yīng)用于平面幾何問(wèn)題的基本思路

（1）把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；

（2）尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系,交叉使用公共條件，求出結(jié)果.

（3）特別提醒:做題過(guò)程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些

性質(zhì),要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問(wèn)題.

熱點(diǎn)八三角形周長(zhǎng)問(wèn)題

版目包（2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin（A-B）=

sinBsin（C—A）.

（1）證明：2a2=62+C2；

（2）若a=5,cosA=■，求△AB。的周長(zhǎng).

題目區(qū)（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，sin2C=，^sinC.

⑴求

（2）若b=6,且△ABC的面積為64,求4ABC的周長(zhǎng).

熬點(diǎn)九三角形面積問(wèn)題

題目叵（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，已知乙民4。=120°,AB=2,AC=1.

⑴求sin/ABC；

（2）若。為BC上一點(diǎn),且ABAD=90°,求/XADC的面積.

「題目'（2022.浙江?統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，角43。所對(duì)的邊分別為Q,b,c.已知4a=/c,

cosC=

5

（1）求sinA的值；

（2）若b=ll,求△ABC的面積.

【點(diǎn)評(píng)】

三角形面積有關(guān)的問(wèn)題解答步驟：

（1）化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化:根據(jù)條件，利用三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)已知條件等式，再利用正弦定理、余弦定理化邊、化

角；

⑵選擇公式:多選擇C=-1-&csinA=-^-acsinB；

（3）求值（最值）.

蚪點(diǎn)十三角形范圍（最值）問(wèn)題

題目M（2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分別為a,6,c,已知產(chǎn)黨=

1+smA

sin2B

1+cos2B?

（1）若。=與，求B；

（2）求2”的最小值.

C

題目匠（2020.浙江.統(tǒng)考高考真題）在銳角4ABC中，角4B,。的對(duì)邊分別為a,6,c,且2fesinA-V3a

=0.

（1）求角B的大小；

（〃）求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

???

（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）△AB。中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

⑴求A；

（2）若BC=3,求△AB。周長(zhǎng)的最大值.

【思路引導(dǎo)】（1）第一步，應(yīng)用正弦定理角化邊;第二步，應(yīng)用余弦定理求cosA,進(jìn)而求得A；

（2）重點(diǎn)分析方法一：由于BC已知，因此,主要任務(wù)是確定AC+AB的最值.第一步,應(yīng)用余弦定理并化簡(jiǎn)

可得（AC+AB^-AC-AB=9悌二步，利用基本不等式求得AC+AB的最大值,進(jìn)而得到結(jié)果.

題目叵（2022秋?河南鄭州?高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在①（a+c）（sinA—sin。）=

6（sin4—sin_B）G@~6受察=0;③向量宓=（c,V36）與方=（cos。，sinB）平行，這三個(gè)條件中任

ccos。

選一個(gè)，補(bǔ)充在下面題干中，然后解答問(wèn)題.已知△ABC內(nèi)角力，B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足

（1）求角C；

⑵若△ABC為銳角三角形，且a=4,求△ABC面積的取值范圍.

【點(diǎn)評(píng)】

1.邊角、周長(zhǎng)問(wèn)題:利用正弦定理余弦定理靈活的進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化,如果轉(zhuǎn)化成“邊”的表達(dá)式,應(yīng)用基本不

等式求最值（范圍）;如果轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)表達(dá)式，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)或應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

2.面積問(wèn)題求解基本步驟:一是應(yīng)用正弦定理、余弦定理實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化;二是確定三角形面積的表達(dá)式；三

是應(yīng)用均值不等式或三角函數(shù)性質(zhì)求其最值（范圍）.

解三角形“熱考”十點(diǎn)

熱點(diǎn)題型速覽

熱點(diǎn)一三角形中邊角計(jì)算

熱點(diǎn)二判斷三角形的形狀

熱點(diǎn)三三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

熱點(diǎn)四解三角形與平面向量的交匯

熱點(diǎn)五解三角形與解析幾何交匯問(wèn)題

熱點(diǎn)六解三角形與立體幾何交匯問(wèn)題

熱點(diǎn)七正弦定理、余弦定理應(yīng)用于平面幾何問(wèn)題

熱點(diǎn)八三角形周長(zhǎng)問(wèn)題

熱點(diǎn)九三角形面積問(wèn)題

熱點(diǎn)十三角形范圍（最值）問(wèn)題

三角形邊（關(guān)系式）的問(wèn)題

三角形角（函數(shù)值）問(wèn)題

三角形周長(zhǎng)問(wèn)題

三角形面積問(wèn)題

蚪點(diǎn)一三角形中邊角計(jì)算

［題目■）（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）在448。中，（&+0）544-5由。）=65114一$m3）,則/。=（）

A.4B.4C.要D.孚

6330

【答案】B

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因?yàn)椋≦+c）（sinA—sin。）=fe（sinA—sinB）,

所以由正弦定理得（Q+c）（a—c）=b（a—b）,即a2—c2=ab—b2,

則a2+b2-c2=如故cos。==普=4，

。士Z〉abZab2

又ovcv兀，所以c=飛.

o

故選：B.

痼目②（2020.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，cosC=1~,AC=4,BC=3,則cosB=（）

o

1119

A.3B.3C.3D.4

9323

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得AB,再根據(jù)cosB=嗎喑三笑，即可求得答案.

2AB?BC

【詳解】?.?在△ABC中，cosC=等,人。=4,BC=3

0

根據(jù)余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cosC

AB2^42+32-2X4x3x磊

o

可得AB2=9，即AB=3?M

山..?AB2+BC2-AC29+9-161

由.cos-2AB.BC=2X3X3=3

故cos_B=：

故選：A.

題目叵〕（2021.全國(guó).高考真題）在△ABC中，已知B=120°,4。=，后，AB=2,則BC=（）

A.1B.V2C.V5D.3

【答案】。

【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).

【詳解】設(shè)AB=c,AC=6,BC=a,

結(jié)合余弦定理：b2=c^+c?—2accosB可得：19=a2+4—2xaxcxcosl20°,

即：a2+2a—15=0,解得：a—3（a=—5舍去）,

故BC=3.

故選：D

題目回(2020?山東?統(tǒng)考高考真題)在4ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,6,c,若a2+62=c2+absmC,

且asinBcosC+csinBcosA=~^-b,則tanA等于()

A.3B.—■C.3或一D.-3或2

ooo

【答案】A

【分析】利用余弦定理求出tanC=2，并進(jìn)一步判斷Om，由正弦定理可得sin（A+。）=亨nsinB=

空,最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；

【詳解】：cosC==s'：=>tan。=2,AC>十，

。2ab2。4

??a_b_c_2R

?sinAsinBsinC'

/2

sinA?sinB?cosC+sinC?sinB?cosA=sinB,

sin(A+C)=0sinB==

224

tanB=1,

tanB+tanC

tanA=—tan(B+C)=—3,

1—tanB-tanC

故選：A.

題目回（2021.浙江?統(tǒng)考高考真題）在4ABC中，=60°,AB=2,同是BC的中點(diǎn)，AM^2遍，則AC=

,cosZ.MAC-.

［答案］2g警磬

【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得BC=8,進(jìn)而可得AC,再由余弦定理可得cos/MLC

【詳解】由題意作出圖形,如圖，

?M

在AABM■中，由余弦定理得AM2^AB2+BM2-2BM-BA-cosB,

即12=4+囪02-25"*2■，解得BM=4(負(fù)值舍去)，

所以BC=2BM=2CM=8,

在4ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB=4+64—2x2x8xJ=52,

所以

在AAMC中，由余弦定理得cosZMAG=斐彳曾枳。=‘2+J—'=今誓.

2AM-AC2X2V3X2-71313

故答案為：2后；書(shū)口.

【規(guī)律方法】J.O

1.已知任意兩角和一邊，解三角形的步驟：

①求角：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；

②求邊:根據(jù)正弦定理，求另外的兩邊.

(1)已知內(nèi)角不是特殊角時(shí)，往往先求出其正弦值,再根據(jù)以上步驟求解.

(2)已知三邊解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理或由求得的第一個(gè)角，利用正

弦定理求出第二個(gè)角：最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.

(2)利用余弦定理求三角的余弦,進(jìn)而求得三個(gè)角.

色色三判斷三角形的形狀

［題目⑹在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷△ABC的形狀.

【答案】直角三角形.

【解析】解法一：=b2sin2C+c2sin2B=26ccosBcosC,

???利用正弦定理可得

sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sinBsinC-cosBcosC,

sinBsinC#0，?二sinB-sinC=cosBcosC,cos(B+C)=0,二cosA=0,

?.?0<4<兀，.??4=5，.?.A4BC為直角三角形.

解法二：已知等式可化為62—b2cos2C+c2—C2-COS2B=2bccosBcosC,

由余弦定理可得—附魄丁丫春.(a???—/丫

\2ab)\2ac)

=2bc-a+^~C'-a?+c2-fej62+C2=a2,/./XAB。為直角三角形.

2abZac

解法三：已知等式變形為廿(1—cos2C)+c2(l—COS2B)=2bccosB-cosC,

b2+c2=b2cos2C+C2COS2B+2bccosJ3cosC,???

,/62cos2。+C2COS2B+2bccosBcosC=(&cosC+ccosB)2=a2,

.??62+。2=02,...△Ag。為直角三角形.

I題目⑶（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）△ABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知（W瞪+A）+cosA

=立

一不

⑴求4

（2）若b—c=^a,證明：△48。是直角三角形.

【答案】⑴4=與⑵證明見(jiàn)解析

O

【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，cos2（-^+A）+cosA=/可化為1—cos2A+cosA=

2,即可解出；

4

（2）根據(jù)余弦定理可得b2+c2-a2=be,將b—c=代入可找到a,b,c關(guān)系，

o

再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出.

【詳解】⑴因?yàn)閏os2（^-+A）+cosA/，所以sin2A+cosA=,

即1—cos2A+cosA=與，

4

解得cosA=},又0<4<兀，

所以A=看；

o

（2）因?yàn)?=告,所以cosA=——=［，

32bc2

即62+c2—a2=be①,

又b—c=乎Q②,將②代入①得，62+C2-3（6-c）2=be,

即2b2+2c2—5bc=0,而b>c,解得b—2c,

所以a=V3c,

故b?=a2+c2,

即△ABC是直角三角形.

【規(guī)律方法】

利用正弦定理判斷三角形形狀的方法：

（1）化邊為角.將題目中的所有條件,利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的

關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀.

（2）化角為邊.根據(jù)題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊,再利用代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系（如a

=b,a2+/=c2）,進(jìn)而確定三角形的形狀.

2.判斷三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常用到以下結(jié)論

①△48。為直角三角形=a2—b2+c2或c2—a2+&2或b2—a2+c2.

②ZVIBC為銳角三角形oa2+b2>°?且/+。2>a2且c2+a2>b2.

③△ABC為鈍角三角形u>a2+b2<或〃+c2V或c2+a2<b2.

④若sin2A=sin2B,則A=B或y1+B=

3.常見(jiàn)誤區(qū)：易忽略三角形中的隱含條件.?M

熱點(diǎn)三三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

題目0（2016?全國(guó)卷I文，4）A4BC的內(nèi)角4B、。的對(duì)邊分別為a、6、c.已知a=，^,c=2,cosA=

系則b=（）

o

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】。

【解析】由余弦定理，得4+/—2X2bcosA=5.整理得3b2-8b—3=0,解得b=3或b=—^?（舍去）,故選D.

題目叵J在△ABC中，已知sinC=a=2^3,6=2,求邊。.

【解析】:$111（7=5，且0<：（7<兀，

.?.。=備或萼.

66

當(dāng)。=強(qiáng)時(shí),cosC=空，

62

此時(shí)，c?=a2+b2-2a6cosC=4,即。=2.

當(dāng)。=粵時(shí)，cosC=—艱，

62

止匕時(shí)，/=a2+b2-2a6cosC=28,即c=2A/7.

題目口1（2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在①tanAtanC—AanA=l+

tan。；②（2c—V3a）cosB=bcosA；③（a—V3c）sinA+csinC=bsinB這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

充在下面問(wèn)題中并作答.

問(wèn)題:在△48。中，角AB,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.

（1）求角B的大?。?/p>

（2）已知c=b+l,且角A有兩解，求b的范圍.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析

（2）6>1

【分析】（1）若選①，由兩角和的正切公式化簡(jiǎn)即可求出求角B的大小;若選②，利用正弦定理統(tǒng)一為角的三

角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式即可求解;若選③，由余弦定理代入化簡(jiǎn)即可得出答案.

⑵將c=b+1代入正弦定理可得sinC=，要使角A有兩解，即:VsinC<1,解不等式即可得出答

案.

【詳解】（1）若選①:整理得1—tanTUanC=—，^（tan4+tanC），因?yàn)?+_8+。=兀，

所以tanB=—tan（A+C）=—普盧普吟=卓，因?yàn)?e（0,兀），所以5=?；

1—tanAtanC36

若選②：因?yàn)椋?c—V3a）cosB=VSbcosA,

由正弦定理得（2sinC—V3sinA）cosB=A/3sinBcosA,

所以2sinCcos_B=V3sin（A+_B）=，SsinC,sinC>0,所以cos_B=因?yàn)開(kāi)BE（0,7r），所以=哼；

26

若選③：由正弦定理整理得a2+c2-b2=3ac,所以七。=艱，

2ac2

BPcosB=，因?yàn)開(kāi)BG（0,兀）,所以B=強(qiáng);

26???

⑵將c=6+l代入正弦定理，得所以sin。："1,

smBsmCsmBsmG2b

因?yàn)榭?5,角A的解有兩個(gè)，所以角。的解也有兩個(gè)，所以JVsinCVl,

62

即《〈與^<1,又b>0,所以b<b+l<2b,解得6>L

【方法技巧】

三角形解的個(gè)數(shù)的判斷

在△ABC中，已知a,b和A,利用正弦定理解三角形時(shí)，會(huì)出現(xiàn)解不確定的情況,一般可根據(jù)三角形中“大

邊對(duì)大角和三角形內(nèi)角和定理”來(lái)取舍.具體解的情況如下表：

4為銳角A為鈍角或直角

cc

cK

圖形2A/

卜「—一，瓦

工A5A/B

AZ.<*

關(guān)系式a—fesinAbsinA<a<ba>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解

上表中若A為銳角，則當(dāng)aVbsinA時(shí)無(wú)解；若A為鈍角或直角，則當(dāng)a&b時(shí)無(wú)解.

熬點(diǎn)四解三角形與平面向量的交匯

題目。(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2,E是AB的中點(diǎn)，則比?麗=()

A.V5B.3C.2V5D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛荏，m｝為基底向量表示互方，動(dòng),再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解;方法二:建系，利

用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解;方法三:利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：以｛戲，成｝為基底向量，可知\AB\=\AD\=2,AB-AD=0,

則反?=屈+反1=｝戲+Z5,詬=育+說(shuō)=得加+成，

所以炭?麗=(yAB+AD)-(-yAB+AD)=-AB2+AD2=-1+4=3；

方法二:如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則后(1,0),。(2,2),。(0,2),可得動(dòng)=(1,2),赤=(-1,2),

所以反??撫=—1+4=3；

方法三：由題意可得：磯>=EC=VK,CD=2,

在△CDE中，由余弦定理可得cosADEC=DE?康二。,

2DE-CE2x75xV55

所以資?雙5=|由11前8s/DEC="x逐x弓=3.

故選：B.

?M

題目,（2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)G為三角形ABC的重心，且|或+屈|=|成-屈|,當(dāng)

/C取最大值時(shí)，cosC=（）

【答案】A

【分析】由題設(shè)可得而?分苕=0,結(jié)合AG=^-（AC+AB）,BG=^-（BA+BC）及余弦定理可得cosC=

O0

直告+巧，根據(jù)基本不等式即可求解.

51baf

【詳解】由題意|演+屈|=|31所以（豆？+無(wú)）2=（GA-GB）2,

即4才+屈2+2&?屈=左舉+至謬—2&?至夙所以&?屈=o,所以4G，BG,

又而=。象/+硝=弓（/+硝，就=9J國(guó)+反5）=曰國(guó)+W）,

則?豆苕=f(Zd+4§)?(巨4+??瓦4+才方?豆方+荏?瓦4+N5?砌=0,

所以CA?CB=AC?AB+BA?BC+AB1,即abcosC=bccosA+accosB+c2，

a2+c2-b2一+8—0?

由cos4=5—,cosB=,cosC=

2bc2ac2ab

所以（？+/=5c2,

所以cos*?！?書(shū)>看—，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

又沙=8$力在（0,71）上單調(diào)遞減，C￡（0,兀）,

所以當(dāng)且取最大值時(shí)'C°s°T.

題目叵I【多選題】（2023?浙江?二模）在△ABC中，|AB|2+MC『=2|BCf,無(wú)=豆方，則（）

A.\AD\>\CD\B.\AD\<^-\CD\C.ZADO^-D.AADC<^

264

【答案】BD

【分析】根據(jù)條件，結(jié)合余弦定理求得AD^V^b,再建立不等關(guān)系,判斷選項(xiàng).?M

【詳解】設(shè)AB=c,BC=CD=a,AC^b,AD^x,

由條件可知，/+°2=2口2,

△ABD中，x2=c~+4a'2—4accosB=C2+4G2—2（Q2+C2—b~）

=2（Z2-C2+262=3b2,

所以=

c2=2（?-/=2a2—（空AD?〉0,得AD<瓜a，即AD<V6CD<gCD,故B正確；

cosAADC=一+滬d=02y=_a__+>層=乎>容，

2V3ab2V3ab2質(zhì)bViaV632

所以/AD?！磁c.

4

故選：BD

【點(diǎn)評(píng)】

1.交匯考向主要有：（1）向量坐標(biāo)運(yùn)算條件下解三角形問(wèn)題；（2）三角形中向量運(yùn)算問(wèn)題；（3）共線向量條件

下解三角形問(wèn)題；（4）向量的模與解三角形問(wèn)題.

2.解答的總體思路可歸結(jié)為三個(gè)環(huán)節(jié)：⑴根據(jù)向量運(yùn)算的定義、法則、運(yùn)算律等，加以計(jì)算；（2）應(yīng)用三角

公式,進(jìn)行變形進(jìn)而完成化簡(jiǎn)；（3）應(yīng)用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等,實(shí)施邊角轉(zhuǎn)化.就整體而

言,正確向量運(yùn)算、恒等變形是基礎(chǔ)，恰當(dāng)?shù)倪吔寝D(zhuǎn)化是關(guān)鍵，考查的核心是解三角形、三角問(wèn)題，向量運(yùn)算

是工具.應(yīng)該注意的是,向量運(yùn)算條件的給出，也可能是向量平行、垂直，需根據(jù)相關(guān)條件加以轉(zhuǎn)化.

熱點(diǎn)五解三角形與解析幾何交匯問(wèn)題

題目西（2021.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）己知4月是雙曲線。的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為。上一點(diǎn)，且60°,

|P月=3|P￡|,則。的離心率為（）

A.空B.C.V7D.V13

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件,表示出|P局,|匹|,結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)閨P四=3|P￡|,由雙曲線的定義可得\PF[\-\PF^=21P匈=2a,

所以|P弱|=a,|P囿=3a；

因?yàn)橛捎嘞叶ɡ砜傻?2

AFXPF2=60°,4c2=9a+a-2x3a?a?cos60°,

整理可得4C2=7a2,所以e?=4=1,即e=4.

a242

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立Q,C間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

題目叵（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓車(chē)+<=1,用,月為兩個(gè)焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn),

96

89^4則)

?M

A.-f-B,C.之D.

ozio/

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出|。用||。月|,|。月|2+舊匐2的值,利用用=5（而+而）,根據(jù)向

量模的計(jì)算即可求得答案.

22

【詳解】由題意橢圓g+（=l,耳耳為兩個(gè)焦點(diǎn)，可得&=34=函,0=通，

96

則|抒］|+|P￡|=2a=6①，即囿爐同|=36,

由余弦定理得囪￡『=「局2+|p￡『_2|p同上園cos/EP￡=（2V3）2,

cos/EP月=1■，故（爐同+|P^|）2-2|P^||P^|（1+.）=12,②

聯(lián)立①②,解得：|PR|IPEI=普,.?.|PR『+|P』2=21,

而用=］（而+崩），所以|PO|=|用|=#兩+兩I，

即\pd\=^\PFl+PF2\=1/國(guó)42麗?朋+匣『=1~/21+2x粵x1=號(hào)I,

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題綜合考查了橢圓和向量知識(shí)的結(jié)合，解答時(shí)要注意到。為E月的中點(diǎn)，從而可以利

用向量知識(shí)求解|PO|.

題目衛(wèi)（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線方=8,的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與多軸的交點(diǎn)為。，過(guò)點(diǎn)。的

直線I與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若AAFB=/CFB,則\AF\^.

【答案】8

【分析】先設(shè)出直線I的方程，聯(lián)立拋物線方程,得到兩根之和，兩根之積,表達(dá)出AB=V1W-\yi-y2\,

BC=V1W?奧，再由正弦定理得到答=舞，得到'=，代入兩根之和，兩根之積,列出方

AFABmyi仍一統(tǒng)

程，求出m=2個(gè)，進(jìn)而求出yx—4V3,\AF\—8.

【詳解】由題意得，R（2,0）,C（—2,0）,當(dāng)直線/的斜率為0時(shí),與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，

故設(shè)直線I的方程為x=my—2,不妨設(shè)m>3

聯(lián)立y2=8力，可得y2—8my+16=0,易得△>（）,

設(shè)%）,B（62,統(tǒng)），則Vi>0,y2>0,

貝1必+改=8M，陰統(tǒng)=16,

則AB=Vl+m2?|%-例|，

BC=V1+m2?。|=V1+nt?紡，

由于電;左王里得CF_BC4F_AB

sinZCBF-sinZCFB'sinZABF-sinZAFB'

因?yàn)?AFB=NCFB,ACBF+2ABF=n,

所以y%>仍y，且AF=里AB，即」AFTiW-.l“^以l=