2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-導(dǎo)數(shù)恒成立與有解問題（學(xué)生版）

專題18導(dǎo)數(shù)恒成立與有解問題

一、【知識梳理】

【方法技巧】

1.分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略

(D分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(2)恒成立0432f(x)max；

aS廣(X)恒成立OaW廣(x)min；

a^f{x)能成立=己2廣(x)min；

aWF(X)能成立f{x)max.

2.根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,此類問題關(guān)鍵是對

參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只

需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.

3.含參不等式能成立問題(有解問題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有：

⑴必3X2^N,/*(Xl)>g(X2)=F(X)min>g(x)min.

⑵XfXlGM,弋X2WN,/(^1)>^(^2)min><g(^)max.

(3月矛1￡憶3X2GN,_f(xi)>g(E)Q_f(x)max>g(x)min.

⑷三荀￡憶YXzRN,f(^1)>g(X2)max>^(A)max.

4.在解決不等式恒(能)成立,求參數(shù)的取值范圍這一類問題時,最常用的方法是分離參數(shù)法,

轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，但在求最值時如果出現(xiàn)“也'型的代數(shù)式，就設(shè)法求其最值.“也'型

的代數(shù)式，是大學(xué)數(shù)學(xué)中的不定式問題，解決此類問題的有效方法就是利用洛必達(dá)法則.

洛必達(dá)法則

法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件

(1)lim_f(x)=O及l(fā)img(x)=0；

x--ax-*-a

⑵在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且H(x)W0；

一

(3)lim/〉那么lim:;=lim,}=A.

Lag(A)x-ag^X)x-ag(㈤

法則2若函數(shù)Ax)和g(x)滿足下列條件

(1)lim/*(分=8及l(fā)img{x}=00.

x-axfa

⑵在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，Ax)與g(x)可導(dǎo)且g，(x)N0；

/\f'(x)F”/f'(x)

(3)lim/)、=/，那么lim：/(［A)=lini

x-ag(A)x-a雙切x-ag(切

二、【題型歸類】

【題型一】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍

【典例1］已知函數(shù)廣(x)=/+a^—x.

⑴當(dāng)d=l時，討論Ax)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時，求a的取值范圍.

【典例2］已知函數(shù)F(x)=l+lnx.

X

(1)若函數(shù)F(x)在區(qū)間(a,a+J上存在極值，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)如果當(dāng)時，不等式F(x)—七》。恒成立，求實(shí)數(shù)次的取值范圍.

X十1

【典例3］已知函數(shù)f{x)=(才一2)/—?&^+乃才(@￡1?).

(1)當(dāng)a=0時，求曲線尸廣(x)在點(diǎn)(0,F(0))處的切線方程;

(2)當(dāng)x22時，_f(x)20恒成立，求己的取值范圍.

【題型二】分類討論法求參數(shù)范圍

【典例1】已知函數(shù)/'(x)=lnx—ax,aGR.

(1)求函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若不等式/'(*)+@<0在xG(l,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

【典例2】已知函數(shù)/1(x)=(x+a—l)e*,g{x)+ax,其中a為常數(shù).

⑴當(dāng)a=2時，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,丹0))處的切線方程；

(2)若對任意的xd[0,+8),不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【典例3】已知函數(shù)f(x)=ae*T—lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線尸/"(x)在點(diǎn)(1,/1(I))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若/求a的取值范圍.

【題型三】等價轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍

【典例1】已知函數(shù)=e，T—ax+lnx(adR).

⑴若函數(shù)/"(x)在x=l處的切線與直線3x~y=0平行，求a的值；

(2)若不等式/1(x)\lnx—a+1對一切xG[1,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【典例2】已知函數(shù)『(x)=—a_/+lnx(aGR).

⑴討論f(x)的單調(diào)性；

⑵若存在XG(1,+8),fg-a,求a的取值范圍.

【典例3】已知函數(shù)f(x)—(a+2)x+alnx.

⑴當(dāng)a〉2時，求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在xG[l,+8),使f(x)〈a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【題型四】雙變量的恒(能)成立問題

【典例1】設(shè)/'(x)=：+xlnx,g{x)=x—x—Z.

(1)如果存在荀，x2e[0,2],使得g(xj-g(就》〃成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)助

⑵如果對于任意的s,te1,2,都有f(s)》g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【典例2】已知函數(shù)/U)=公二曰(xdR),a為正實(shí)數(shù).

e

⑴求函數(shù)廣(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若\/荀，^2e[0,4],不等式|F(M—廣(加|<1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【典例3】設(shè)f{x)=xex,g(x)=^x+x.

⑴令尸(x)=f(x)+g(x),求尸(x)的最小值；

⑵若任意xi,^2—L+8),且矛1>如有力"(xi)—f(x2)]>g(xj—gG)恒成立，求實(shí)

數(shù)力的取值范圍.

【題型五】洛必達(dá)法則

【典例1】已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+l).若對任意x〉0都有F(x)>ax成立，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

【典例2】已知函數(shù)f(x)=x(e“-1)-ax(aeR).

(1)若f(x)在x=-1處有極值，求a的值.

(2)當(dāng)x>0時，f(x)》O,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】已知x=*3為函數(shù)f(x)=x"lnx的極值點(diǎn).

(1)求a的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)二，若對VxP(O'+8),皿GR,使得廣⑸-久加川，求發(fā)的取值范

圍.

【訓(xùn)練二】已知函數(shù)f(x)=e"一工

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,H0))處切線的斜率為1,求『(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若不等式/1(x)》e"lnx—ax"對xG(0,e］恒成立，求a的取值范圍.

1——O

【訓(xùn)練三】設(shè)函數(shù)F(x)=—LV+ax—lnx(a￡R).

⑴當(dāng)a=l時，求函數(shù)Ax)的極值；

(2)若對任意(4,5)及任意為，［1,2］,恒有‘/力+ln2>|f(若—f(xj|成立,求實(shí)

數(shù)R的取值范圍.

1p

【訓(xùn)練四】設(shè)函數(shù)F(x)=-一-7,g(x)=a(x?—D—Inx(aGR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

xe

(1)證明:當(dāng)x〉l時,廣(入)>0；

⑵討論g(x)的單調(diào)性；

(3)若不等式_f(x)〈g(x)對(1,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【訓(xùn)練五】f{x)=xe",g(x)=^x+x.

(1)令尸(x)=f(x)+g(x),求尸(x)的最小值；

⑵若任意X1,苞￡[-1,+8),且荀>如有力"(X1)—F(x2)]>g(xi)—g(x2)恒成立，求實(shí)

數(shù)力的取值范圍.

【訓(xùn)練六】F(x)=xe",g(x)+x.

⑴令b(x)=f(x)+g(x),求F{x}的最小值；

(2)若任意xi,—+°°),且為〉xz,有血f(xi)—f(x2)]>g(xi)一雇范)恒成立，求實(shí)

數(shù)0的取值范圍.

四、【強(qiáng)化測試】

【解答題】

1,已知函數(shù)/1(x)=(x+l)ln(x+l).若對任意x>0都有f(x)>ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

2.設(shè)函數(shù)_f(x)xlnx—(2a—l)x+a—l(a￡R).若對任意的[1,+°°),F(x)20

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

3.已知aER,f(x)=alnx+x—4x,g(x)=(a—2)x,若存在照￡e，使得f(x。Wg(Ab)

成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4.已知函數(shù)廣(x)=萬一E+l)x+血nx+如f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴討論Ax)的單調(diào)性;

(2)若xf(x)—f(x)》O恒成立，求加的取值范圍.

5.已知函數(shù)/'(x)=x(底"一1).

(1)當(dāng)0=1時，求函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(l))處的切線方程;

(2)當(dāng)x〉0時，Z(jr)^x-2x,求實(shí)數(shù)勿的取值范圍.

6.設(shè)函數(shù)/1(x)=x°—(a+2)x+alnx(aeR).

(1)若x=3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)21恒成立，求a的取值范圍.

7.設(shè)函數(shù)_f(x)=lnx+-(a為常數(shù)).

x

(1)討論函數(shù)/'(x)的單調(diào)性；

(2)不等式f(x)21在xd(0,1］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

8.已知函數(shù)F(x)=xlnx(x〉0).

(1)求函數(shù)『(x)的極值;

(2)若存在xe(0,+8),使得f(x)W?成立，求實(shí)數(shù)0的最小值.

2

9.已知函數(shù)_f(x)=￡+(a+l)x—Inx,g{x)=x+x+2a+l.

⑴若F(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵當(dāng)x￡[l,e]時，『(><g(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

10.已知函數(shù)F(x)=lnx,g(x)=x—1.

(1)求函數(shù)y=f^的圖象在x=l處的切線方程；

⑵若不等式Ax)Wag(x)對任意的x￡(l,+8)均成立，求實(shí)數(shù)乃的取值范圍.

Inx

11.已知函數(shù)廣(x)=ax—e”(a￡R),g(x)=--.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)3^e(0,+8),使不等式f(x)Wg(x)—e'成立，求a的取值范圍.

12.設(shè)函數(shù)F(x)=lnx—ax(a〉O).

(1)判斷/"(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)f(x)〈O在(0,+8)