2024年中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí)：動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑之瓜豆原理（解析版）

中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)練習(xí)：動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑之瓜豆原理

一、填空題

1.如圖，等邊三角形/回中，/廬4,高線/斤26,〃是線段/〃上一動(dòng)點(diǎn)，以切為邊向下作等邊三角形

BDE,當(dāng)點(diǎn)〃從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)〃的過程中，點(diǎn)￡所經(jīng)過的路徑為線段四則線段◎/的長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)〃此時(shí)線段碑的長(zhǎng)為.

【答案】2A/32

【分析】由““S”可得△力及匕△儂,推出A&EC,可得結(jié)論，再由勾股定理求解8”=2,當(dāng)2”重合時(shí),

BE=BH=2,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接

,:叢ABC,△應(yīng)后都是等邊三角形，

：.BA=BC,BABE,/ABC=/DB氏6Q°,

:"ABD=Z.CBE,

在和△儂中，

BA=BC

<NABD=ZCBE,

BD=BE

應(yīng)匡△儂（S4S）,

：.AD=EC,

:點(diǎn)。從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H,

.1.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為CM=AH=26,

當(dāng)￡）,〃重合，而（即一①花）為等邊三角形,

\BE=BH,

QAB=4,AH=2y/3,AHBC,

BH小平可=2,

BE=2,

故答案為：2瓜2.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確

尋找全等三角形解決問題.

2.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,E為BC上一點(diǎn),且BE=1,/為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接￡F,以EF

為邊向右側(cè)作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為.

【分析】由題意分析可知，點(diǎn)尸為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的

運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.

【詳解】由題意可知，點(diǎn)尸是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)

將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60。，使EF與EG重合，得到A￡FB=A￡HG,

從而可知AEB”為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于"E的直線上，

作則CM即為CG的最小值，

作EPLCN,可知四邊形HEPM為矩形，

135

貝I]CM=MP+CP=8石+—石。=1+—=一.

222

故答案為g.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了線段極值問題，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌

跡，是本題的關(guān)鍵.

3.如圖，等邊ABC中，AB=8,。是3C上一點(diǎn)，且2O—2C,點(diǎn)〃為A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM,將

4

線段O"繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。至ON,連接BN、CN,則讖四周長(zhǎng)的最小值為.

【答案】8+2炳/2M+8

【分析】過點(diǎn)及作NDLBC于點(diǎn)〃過點(diǎn)。作于點(diǎn)"則NOHM=NODN=90°,證明

HOM馬DNO,可得DN=OH,從而得到點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，且該直線與直線2C平行，在BC的左

側(cè)，與BC的距離是作點(diǎn)C關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)￡,連接BE交該直線于“即當(dāng)點(diǎn)6,N,￡三點(diǎn)共線

時(shí)，A5QV的周長(zhǎng)最小，連接CE交該直線于G,則CE=2CG=2DN=2百，CELBC,求出BE,即可求

解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)及作NO_L3C于點(diǎn)〃過點(diǎn)。作OALBW于點(diǎn)豆則NOHM=/ODN=90。,

c

?/ABC為等邊三角形，

/.ZABC=60°,BC=AB=8,

：.ZBMO+ZBOM=120°,

根據(jù)題意得：ZMON=GO°,OM=ON,

：.ZNOD+ZBOM=120°,

ZNOD=ZBMO,

.HOM^.DNO,

：.DN=OH,

?；BO=-BC,

4

BO=2,

,：ZABC=60°,

NBOH=30°,

BH=-OB=1,

2

：.DN=OH=生,

.?.點(diǎn)"的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，且該直線與直線BC平行，在BC的左側(cè)，與BC的距離是6，

作點(diǎn)C關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)E,連接8E交該直線于N,

即當(dāng)點(diǎn)6,從￡三點(diǎn)共線時(shí)，ABOV的周長(zhǎng)最小,連接CE交該直線于G,則CE=2CG=2DN=2也，CE1BC,

：.BE=yJCE2+BC2=J(2可+8。=2M,

...△/GV的周長(zhǎng)的最小值為8+2&?,

故答案為：8+2719.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添

加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

4.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2石，點(diǎn)P是CO邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接轉(zhuǎn)，將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方旋轉(zhuǎn)60。

后得到AQ,連接CQ,則點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段C。所掃過的圖形面積為.

【答案】373-3

【分析】根據(jù)題意畫出點(diǎn)尸在C3上移動(dòng)的過程，線段CQ所掃過的面積就是一C。。的面積，根據(jù)正方形的

性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，得出線段CQ所掃過的圖形面積

S=；(S.AC2-SA02)，再根據(jù)等邊三角形，等腰直角三角形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可?

【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)。落在點(diǎn)0,當(dāng)點(diǎn)尸移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)。在點(diǎn)Q,CQ

掃過的面積就是一COQ的面積，

由題意可知，△AOD、-AC。都是等邊三角形，

.-.AO=DO=AD=2^,AQ=CQ=AC=^AEr+CEr=25/6，

四邊形ABC。是正方形，△AOD是等邊三角形,

...NODC=90°—60°=30°,ZACD=45°,

OD=CD,

/DOC=ZDCO=180°-30°=75。

2

ZACO=75°-45°=30°,ZQCO=ZQCD-ZDCO=45°+60°-75°=30°,

ZACO=ZQCO,

AC=QC,CO=CO,

AOCs,,QOC(SAS),

AO=QO,ZCQO=ZCAO=60°-45°=15°,

ZAOQ=360。-(180。-15。-30。)x2=90。,

即△A。。是等腰直角三角形，

二線段所掃過的圖形面積S=AC。-SA。。）

=—x—x2^6x25/6x——x2y/3x2小

21222

=3\/3—3,

故答案為：3石-3.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形、等邊三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形、等

邊三角形，等腰直角三角形以及全等三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提.

5.如圖，點(diǎn)，是等邊邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)，繞點(diǎn)。引順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得點(diǎn)￡，

所得的8E邊上與BC交于點(diǎn)?則fl的最小值為，

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，CDE為等邊三角形，由⑦得到笠CF=三CF，即C三F=CDg,從而得到

CDACDEAC

當(dāng)CO最小時(shí)，比值最小，再由“垂線段最短”得到當(dāng)SLAB時(shí)，8值最小，作出對(duì)應(yīng)圖形，利用JACD

CD

是含3。。角的直角三角形"求出耘,從而得解.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD=CE,ZDCE=60°,

??.CDE為等邊三角形,

:.DE=CD=CE,ZA=ZDEC=60°

ZACD+ZDCB^60°

ZDCB+ZECF=60°

:.ZACD=NECF

?/ZA=ZDEC=60,ZACD=ZECF

CEFs、CAD

CFCEanCFCD

CDACDEAC

.AC為定值，

，當(dāng)CO最小時(shí)，比值最小.

根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)時(shí)，C。值最小,

過點(diǎn)。作于"并補(bǔ)全圖形如下：

ABC是等邊三角形，CD1AB,ZACB=60°

：.ZACD=-ZACB=30°

2

設(shè)AC=2a,則AD=—AC=a

2

?，.CD=4AC1-AD-=瓜，

此時(shí)空=生=魚

DEAC2a2

即三的最小值為也.

DE2

故答案為：B.

2

【點(diǎn)睛】此題考查圖形的旋轉(zhuǎn)變化與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，含30。角

的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，理解“垂線段最短”和利用相似三角形的性質(zhì)將與轉(zhuǎn)化為*是解題

的關(guān)鍵.

6.如圖，在△AC2中，ZACB=60°,/B4c=75。，AC=12,點(diǎn)，是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接A￡),將線

段AD繞點(diǎn)/按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)75。得到線段AE,連接CE,則線段CE長(zhǎng)度的最小值是.

A

【答案】6^-6V2/-6A/2+6A/3

【分析】過點(diǎn)/作AF/3c于點(diǎn)片在AB上取點(diǎn)兒使AN=AC=12,連接@V,過點(diǎn)及作點(diǎn)于

點(diǎn)弘證明..N4D絲」./ME(SAS),求出CE=OV,得出當(dāng)OV最小時(shí)，CE最小，根據(jù)垂線段最短，得出當(dāng)

點(diǎn)〃與點(diǎn)〃重合時(shí)，ON最小，則CE最小，求出最小結(jié)果即可.

【詳解】解：過點(diǎn)/作AF13C于點(diǎn)凡在上取點(diǎn)兒使AN=AC=12,連接。N,過點(diǎn)“作點(diǎn)

于點(diǎn)瓶如圖所示：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，AD=AE,/DAE=75。,

:ZBAC=ZDAE=75°,

ABAC-ZDAC=NDAE-ADAC,

即/NAD=NCAE,

?：AN=AC,AD=AE,

/..NAD^..CAE(SAS),

：.CE=DN,

...當(dāng)@V最小時(shí)，CE最小，

???垂線段最短，

，當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)〃重合時(shí)，DN最小,則CE最小,

VZAFC=90°,ZBCA=60°,

ZC4F=90°-60o=30°,

：.CF=-AC=6,

2

AF=yjAC2+CF2=6百，

ZBAF=ZBAC-ZCAF=45°,ZAFB=90°,

/.ZB=90°-45°=45°,

/.ZB=ZBAF,

BF=AF=6也，

AB=ylAF2+BF2=6A/6，

BN=AB-AN=6A/6-12,

VZBMN=90°,/B=45°,

ZBNM=90°-45°=45°,

ZB=ZBNM,

BM=NM,

■/BN2=NM2+BM2,

/.2NM2=（6y/6-12^,

解得：NM=6幣-66（負(fù)值舍去）,

CE的最小值為6g-60.

故答案為：65/3-6^2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的

性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明CE=OV.

7.如圖，點(diǎn)/的坐標(biāo)為3，點(diǎn)8是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)/按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得

7

到線段AC.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（左,4）,則"的值為.

【答案】手

【分析】連接BC,過/點(diǎn)作AFLx軸于凡C作8,無軸于點(diǎn)ACELAF于點(diǎn)￡,則四邊形DCEF是矩

形，根據(jù)將線段A5繞點(diǎn)/按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AC,可得.ABC是等邊三角形，AB^AC^BC,

由點(diǎn)力的坐標(biāo)為（組,3）,c（k,4）,有4c=JAE。+EC?=JF+（（-,而

BD=^BC--CD2=2-15，F(xiàn)B=y/AB2-AF2=J(k--8>^iOF+BF+BD=OD=k,可得

2-8=k，解方程可得答案.

【詳解】解：連接BC,過/點(diǎn)作A尸，x軸于凡C作8_Lx軸于點(diǎn)〃CELAF于點(diǎn)￡,則四邊形DC￡F是

1/將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC,

：.AB^AC,Zfi4c=60。，

ABC是等邊三角形，

AB^AC^BC,

???點(diǎn)月的坐標(biāo)為(g,3),C(A,4),,

ACE=k--=FD,CD=4,AF=3,

3

AE=EF-AF=CD-AF=1,

Jl2+(k-y-)2=BC=AB>

OF+BF+BD=OD=k,

弋++J—*-8=k，

設(shè)"曰二x,則Jx，—15+Jx」-8=x,

化簡(jiǎn)變形得：3/_46》2-49=0,

c4Q

解得/=_1（舍去）或?=了，

??.x=2叵或彳=-型（不符合題意，舍去），

33

.767石

..k------=------,

33

.,873

??K=-----,

3

故答案為：述.

3

【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含“的代數(shù)式表示相關(guān)

線段的長(zhǎng)度.

8.如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊，ABC中，直線AD1BC,E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接EC,將線段召。繞點(diǎn)C逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到FC,連接則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，OF的最小值是.

3

【答案】j

【分析】取線段AC的中點(diǎn)G,連接EG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出CD=CG以及？凡D?ECG,由旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出EC=FC,由此即可利用全等三角形的判定定理SAS證出FCDMECG,進(jìn)而即可得出

DF=GE,再根據(jù)點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，即可得出EG的最小值，此題得解.

【詳解】解：取線段AC的中點(diǎn)G,連接EG,如圖所示.

.ABC為等邊三角形，AC=BC=6,且AD為一ABC的對(duì)稱軸,

CD=CG=—AB=3,ZACD-60°,

2

ZECF=60°,

\?FCD?ECG.

FCD-ECG(SAS),

:.DF=GE.

當(dāng)EG〃3C時(shí)，EG最小，

點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，

113

,止匕時(shí)EG=。尸=_Cn=_x3=_.

222

3

故答案為：—■

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過全等三角形的性

質(zhì)找出=

9.如圖，在AASC中，NACB=90°,點(diǎn)。在3C邊上，BC=5,CD=2,點(diǎn)E是邊AC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，

連接DE,將DE繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DF,連接所，則班'的最小值為.

【答案】|7

【分析】當(dāng)￡與點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)尸與等邊三角形切G的點(diǎn)G重合，當(dāng)點(diǎn)尸開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，△閱?！鞯肚校?/p>

點(diǎn)尸在線段切上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短原理，當(dāng)配時(shí)，如有最小值，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即

可.

【詳解】當(dāng)￡與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)少與等邊三角形儀巖的點(diǎn)G重合，

,/DE繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DF,

△龍廣是等邊三角形，

:./GDC=/FD皆6G,ED=FD,

：.ZGDC-ZGDE=AFDE-AGDE,

：.AED(=AFDG,

..?△龍尸是等邊三角形，

CD^GD,

：./\ECD^/\FGD,

：.E(=GF,』ECD=/FG氏9G,

點(diǎn)尸在線段夕'上運(yùn)動(dòng),根據(jù)垂線段最短原理,當(dāng)BFL小時(shí),即有最小值,如圖，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到BF〃DG時(shí),BFLGF,

垂足為內(nèi)，過點(diǎn)、D作DHLBF,垂足為〃

■:/FGD=90°,

四邊形A加是矩形，

：.ZGDH=9Qa,G2F+2,

VZfi9C=60°，

：.ZBD/^30°,

9：BD=B(^CD=5-2=3,

13

:,BRBD=9

22

37

:?BF^F殺B卞2+—=—,

22

7

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，熟

練掌握等邊三角形的判定，靈活運(yùn)用直角的判定和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為3C上一點(diǎn)，且5石=1,F為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接石尸，將石尸

燒點(diǎn)E順時(shí)什旋轉(zhuǎn)60°得到￡G,連接CG,則CG的最小值為.

【答案】I

【分析】由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的

運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值.

【詳解】解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上

運(yùn)動(dòng)，

將4EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°,使EF與EG重合，得到AEBH為等邊三角形，4EBF也

???NEHG=NABC=90°,HE=BE二1,ZBEH=60°,

???點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上.

作CMLHN,則CM即為CG的最小值，作EPLCM,可知四邊形HEPM為矩形,

.?.ZCEP=180°-60°-90°=30°,

.,.CP=1CE=1X(4-1)=|,

35

則CM=MP+CP=HE+PC=l+-=~,

22

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段最值問題，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，

含30。角的直角三角形的性質(zhì)，以及垂線段最短等知識(shí)，分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而

判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，是本題的關(guān)鍵，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是極值問題中比較典型的

類型.

11.如圖，AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是AB上異于A,B的一動(dòng)點(diǎn)，將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°得ABCE,則旋轉(zhuǎn)過程中4BDE周長(zhǎng)的最小值

【答案】273+4.

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BE=AD,于是得到CADBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD,

由垂線段最短得到當(dāng)CD,AB時(shí)，4BDE的周長(zhǎng)最小，于是得到結(jié)論.

【詳解】：將4ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到aBCE,

/.ZDCE=60°,DC=EC,

/.△CDE是等邊三角形，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BE=AD,

CADBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,

VACDE是等邊三角形，

???DE=CD,

**?CADBE-CD+4>

由垂線段最短可知，當(dāng)CD_LAB時(shí)，ABDE的周長(zhǎng)最小,

此時(shí)，CD=2出，

ABDE的最小周長(zhǎng)=CD+4=2g+4,

故答案為26+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在oABC中，AC=BC=8,ZBCA=6Q,直線AD_LBC,￡是42上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接￡4將

線段或繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得到/匕連接外則點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)過程中，如'的最小值是.

【答案】2

【分析】根據(jù)題意取線段AC的中點(diǎn)G,連接EG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及角的計(jì)算即可得出CD=CG以及

ZFCD=ZECG,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出EC=FC,由此即可利用全等三角形的判定定理SAS證出△FCDgZXECG,

進(jìn)而即可得出DF=GE,再根據(jù)點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，即可得出EG的最小值.

【詳解】取線段4C的中點(diǎn)G,連接比,如圖所示.

AC=BC=8fZBCA=60,

二.ABC為等邊三角形，且獨(dú)為」ABC的對(duì)稱軸，

:.CD=CG=-AB=4,ZACD=60,

2

NEC尸=60,

:"FCD=/ECG.

在.FCD和ECG中,

FC=EC

<ZFCD=/ECG,

DC=GC

FCDGO^ECG(SAS),

:.DF=GE.

當(dāng)EG/ABC時(shí)，最小，

「點(diǎn)G為/C的中點(diǎn)，

:.止匕時(shí)EG=DF=-CD=-BC=1.

24

故答案為2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過全等三角形的性

質(zhì)找出上=GE本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊是

關(guān)鍵.

13.如圖，等邊AAOB的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，沿0A以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P

到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒.將線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得點(diǎn)C,

點(diǎn)C隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接CP、CA.在點(diǎn)P從。向A運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)4PCA為直角三角形時(shí)t的值

為.

O

Q

【答案】2或3

【詳解】如圖(1)過點(diǎn)P作PD_LOB于點(diǎn)D,過C作CE_LOA于E,.?./PD0=/PEC=90°,

線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)C,

ZBPC=60°,BP=2PC,VZ0PD=30°,

ZBPD+ZCPE=90°,?,?NDBP=NCPE,

△PCE^ABPD,

CEPEPC

BD~PB9

CEPET

22

CE=—t,PE=2--t,0E=2+-t,

如圖(2)當(dāng)NPCA=90度時(shí)，作CF_LPA,AAPCF^AACF,AAPCF^AACF,——=——，.-.CF2=PF.AF,

(^^-t)J(2—t)(=2-3t),

444

；.t=2,這時(shí)P是0A的中點(diǎn)；

如圖(3)當(dāng)NCAP=90°時(shí)，此時(shí)OA=OE,

38

.*.2+—t=4,t=—，

43

Q

故答案為2或g.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，正確地添加輔助線，求出0E的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

14.在平面直角坐標(biāo)系中，A(a,0)、B(Z),0),且a,6滿足1-6a+9+|b+3|=0,C、，兩點(diǎn)分別是y軸

正半軸、x軸負(fù)半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn);

(1)如圖1,若。(0,4),求△/回的面積；

(2)如圖1,若C(0,4),BC=5,BD=AE,A/CBA=/CDE,求〃點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若4物=60°,以切為邊，在切的右側(cè)作等邊△儂，連接陽當(dāng)您最短時(shí)，求4E兩

點(diǎn)之間的距離.

3

【答案】(1)的面積為12；(2)〃點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0)；(3)A,￡兩點(diǎn)之間的距離為彳

2

【分析】(1)利用完全平方式和絕對(duì)值的性質(zhì)求出a,b,然后確定力、6兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用三角形面積公

式求解即可；

(2)根據(jù)題意判斷出△C3D/△以￡,從而得到CB=AT>,然后利用勾股定理求出CB,及可求出結(jié)論；

(3)首先根據(jù)“雙等邊”模型推出DCBgECA,得至!]NDBC=N￡AC=120。，進(jìn)一步推出4E〃3C,從

而確定隨著〃點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)￡在過點(diǎn)/且平行于理的直線制上運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的最短距離為垂線

段的長(zhǎng)度，確定數(shù)最短時(shí)，各點(diǎn)的位置關(guān)系，最后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：(1)Va2-6a+9+|Z.+3|=0,

/.(a-3)2+|fe+3|=0,

a—3=04=3

由非負(fù)性可知,"3=。,解得:

b=-3f

.?.4(3,0),8(-3,0),AB=3-(-3)=6,

vC(0,4),

/.OC=4,

/.S,?=-AB.OC=-x6x4=12；

ABrC22

(2)由(1)知4(3,0),8(-3,0),

OA=OB,

OC.LAB,

：.ZAOC=ZBOC=90°,

在AOC和H9C中，

OA=OB

</AOC=NBOC

oc=oc

：.△AOC^ABOC（5AS）,

???ZCBO=ZCAO,

■:NCDA=/CDE+ZADE=NBCD+NCBA,/CBA=/CDE,

：.ZADE=ZBCDf

在△3CD和VADE中，

/BCD=/ADE

<ZCBD=ZDAE

BD=AE

.,?一BCD^^ADE（AAS）,

：.CB=AD,

■：B（-3,0）,C（0,4）,

.?.03=3,OC=4,

BC=yJOB2+OC2=5>

AD=BC=5,

VA（3,0）,

r>（-2,0）；

（3）由（2）可知CB=CA,

ZCBA=60°,

...△/8C為等邊三角形，ZBCA=6Q°,ZDB（=12.0°,

。應(yīng)為等邊三角形，

/.CD^CE,ZDCE=60°,

,：ZDCE=ZDC^ZBCE,ZBCA=ZBCE+ZECA,

:./DC氏/ECA,

在△〃力和△￡（為中，

CD=CE

<ZDCB=ZECA

CB=CA

：.DCB^ECA（SAS）f

：.ZDBC=ZEAC=120°,

ZEAC+ZACB=120。+60°=180。，

:.AE//BC,

即：隨著〃點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)￡在過點(diǎn)/且平行于死的直線網(wǎng)上運(yùn)動(dòng),

「要使得小最短，

???如圖所示，當(dāng)血尸0時(shí)，滿足儂最短，此時(shí)N第（=90°,

ZDBC=ZEAC=120°,ZC4B=60°,

/.ZOAE=ZEAC-ZCAB=60°,ZAO￡=30。，

???A（3,0）,

OA=3,

13

???AE=-OA=-

22f

一3

???當(dāng)龍最短時(shí)，4￡兩點(diǎn)之間的距禺為

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)等，理

解平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的特征，掌握等腰或等邊三角形的性質(zhì)，熟練使用全等三角形的判定與性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

15.在口相①中，ZABC=60°,48=4,比1=6.點(diǎn)石在歐邊上且BE=4,將方石'繞點(diǎn)方逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)石°

得到回（0。<a<180°）.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)/酗=90。時(shí)，求.S&BCE；

(2)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，連接抽取CF中點(diǎn)“作射線物1交直線/。于點(diǎn)G.

①求線段即的取值范圍;

②當(dāng)/酶'=120°時(shí)，求證：BC-DG=2BF；

⑶如圖3.當(dāng)/眄=90°時(shí)，點(diǎn)S為線段篦上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)￡作切吐射線/S于點(diǎn)弘”為川中點(diǎn)，直

接寫出外的最大值與最小值.

【答案】（1）心加廬6；

（2）①1<哥'<5；②證明見解答;

（3）廨的最小值為何-應(yīng)，腳的最大值為2應(yīng).

【分析】（1）如圖1,過點(diǎn)少作及U6c交）的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡根據(jù)題意求得

NEB丹180°-ZBBA-ZAB（=180°-90°-60°=30°,再根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)進(jìn)而求得氏7上的高上2,

代入面積公式算出結(jié)果；

（2）①如圖，在線段能上截取冊(cè)班連接甌CK,可證得四邊形"減'是平行四邊形，得出：BB=CkBE'

=4,除6,再運(yùn)用三角形三邊關(guān)系即可求得答案；

②可證△歐圖2X8（源（AAS）,得出此/G,由/年即可推出結(jié)論；

（3）連接/反取加的中點(diǎn)P,用的中點(diǎn)&連接即NP、NQ、BQ,可證△力龍是等腰直角三角形，得出：

A*亞楞4血,再由點(diǎn)尸是四的中點(diǎn)，可得：BPLAE,且於/尸給2夜，利用勾股定理得80如，當(dāng)

B、Q、及三點(diǎn)共線時(shí)，腳的最小值=6。的屈-行，當(dāng)點(diǎn)S與點(diǎn)￡重合時(shí)，EM^O,小0,止匕時(shí)，廨的最大

值=於20.

【詳解】（1）解：如圖1,過點(diǎn)￡作9回交〃的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，

圖1

:?/EHC=9G°,

???//除60°,ZEBA=90°,

???N破電180°-ZEBA-ZABC=180°-90°-60°=30°,

???點(diǎn)￡在歐邊上且3￡二4,將夕￡繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到明

：.BE^BE=4,

:?E小三B序三乂生2,

又???除6,

:?S叢BC拄X6X2=6；

(2)解：①如圖，在線段共G上截取冊(cè)即連接必CK,

???四邊形6G傷是平行四邊形，

:?BE=CaBE'=4,除6,

在△8%中，BJCK〈BK<BC+CK,

???6-4〈歐<6+4,

即2<2^<10,

???1〈即V5；

②證明：???四邊形彼必是平行四邊形，且N/吐60°,/廬4,

AZ^=180°-ZABC=180°-60°=120°,AD//BC,AD=BC,BE=AB,

VZW^=120°,即NJE^120°,

1/EBa/A,

,:EK〃BC,

：.EK//AD,

:./EKF/BGA,

ZEKB=ZBGA

在△刖和例中，(ZEBK=ZA,

BE=AB

:NKB^XBGA(AAS),

：.BJ^AG,

由①知：B0BF,

又'：AG^AD-DG,

：.2BF=BC-DG；

(3)解：連接力￡,取/￡的中點(diǎn)戶，陽的中點(diǎn)。連接廖NP、NQ、BQ,

吐90°,AB=BB=4,

；.△/跖是等腰直角三角形，

:.A氏及AB=4及，

:點(diǎn)戶是熊的中點(diǎn)，

C.BPLAE,且研=/尸上20,

是4〃的中點(diǎn)，戶是的中點(diǎn)，

.../W是△A股的中位線，

：.PN//EM,

//仍/助注90°,

?點(diǎn)。是4P的中點(diǎn)，

/.Q回卜三Ak叵,

在Rt/\BPQ中，BQ-^BP^+PQ1=7(272)2+(>/2)2=M，

當(dāng)反。、”三點(diǎn)共線時(shí)，廨的最小值=60除質(zhì)-0,

當(dāng)點(diǎn)S與點(diǎn)￡重合時(shí)，屣0,PM0,

此時(shí)，外的最大值=於20.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問

題.

16.如圖，線段46=10M,C是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與48重合)，在上方分別以4C、及7為邊作

正和正△比七連接"反交CD于M,連接BD,交CE于N,AE、BD交于H,連接6H

DD

(1)求sin/AHC；

(2)連接應(yīng)；設(shè)4>=x,DE=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)把正△陽繞。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)小于60°的角，在旋轉(zhuǎn)過程中〃到△，方的三個(gè)頂點(diǎn)距離和最小，即

?概做的值最小，?班磔的值總等于線段初的長(zhǎng).若然=2甘，旋轉(zhuǎn)過程中某一時(shí)刻24〃=3〃〃，此

刻△加燈內(nèi)有一點(diǎn)產(chǎn)，求以+99的最小值.

【答案】(1)也；

2

(2)y=73x2-30^+100(0<x<10)；

⑶2M.

【分析】(1)過點(diǎn)C作夕」/￡于點(diǎn)7,CRLBD于點(diǎn)R,光誣叢AC厘叢DCB得/CAM=/HDM,由直角三角函

數(shù)可得CT=C4.sin/CW=CD.sin/HDM=C7?,從而得⑦平分//曲，進(jìn)而求得/4%=/乃%=60°即

可求解；

(2)如圖2中，如圖，過點(diǎn)，作》<1龍于點(diǎn)只先由三角函數(shù)求得DP=6X,又由

222

=10cm,得CE=CB=(10-x)cm,進(jìn)而得此'=110-x-=110-jx|,最后由勾股定理即可求得y與

X之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖3中，以加為邊向外作等邊連接物由題意如是用+9/W.過點(diǎn)〃作。于〃，過

點(diǎn)/作彷，助于點(diǎn)G,過點(diǎn)〃作胸，助于反過點(diǎn)/作陶，外于點(diǎn)0.假設(shè)4〃=34,DH=2k,由勾股定

理得/〃=6,DH=4,DS=2j3,進(jìn)而利用面積公式求得小鼠巨，利用勾股定理得以‘=3自，于是可得

77

ffQ=KG=,GW=KW=V21.從而有放=胃紅，利用勾股定理即可求得婚的長(zhǎng)即刃+9勿的最小值.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)T,CR1BD千點(diǎn)、R.

D

圖1

■:AADC,△以劈都是等邊三角形，

：.CA=CD,CE=CB,/ACD=/ECB=60°,

???AACE=/DCB,

在石和△板中，

CA=CD

<NACE=NDCB,

CE=CB

:.XACE^MDCB(SAS),

：.ZCAM=ZHDM,

VCTLAE,CRLBD,

：.CT=CA.sinZCAM=CD.sinZHDM=CR,

???CH平分/AHB,

???AAMC=/DMH,

；?NAHM=NACM=60°,

:./AHC=/BHC=6G°,

J3

.\sinNWR

2

(2)解：如圖2中，如圖，過點(diǎn)〃作》LB于點(diǎn)尸.

圖2

9：AC=CD=x(cm),/DCE=60°,

：.CP=\cD=\x,DP=^-x,

222

V^=10cm,

：.BC=AB-AC=(10-x)cm,

CE=CB=(10-x)cm,

.,.抬=|10-廠；x|=|10-,

'-y=DE=^DP-+PE2=^(^x)2+(10-1.x)2=>/3X2-30X+100(0<x<10)；

(3)解：如圖3中，以融為邊向外作等邊連接WH,由題意WH是PA+PAPH.過點(diǎn)〃作DS1AH千H,

過點(diǎn)/作彷，助于點(diǎn)G,過點(diǎn)〃作HK1AD于K,過點(diǎn)/作附，物于點(diǎn)Q.

可以假設(shè)/〃=34,DH=2k,

■:NDHS=6Q°,DSLAH,

:.SH=jDH=k,DS=班k,AM=2k,

,:Mf=A6+De,

：.(277)2=(2k)2+(64)2,

：.k=2(負(fù)根已經(jīng)舍棄)，

：.A//=6,DH=4,DS=2退,

'：^'AH'DS=\'AD'HK,

.“6A/21??i——；-----rI“2,6屈、22幣

DK=dDH?_KH?=小不=丁~-,

,：4G=DG=不，四邊形WQKG是矩形,

：.WQ=KG=不-m=辿,GW=KW=V21,

77

：.HQ=KHvKQ=13a^~,

7

WH=yjwQ2+HQ2=浮產(chǎn)+（當(dāng)藥=2M.

.?.川+小用的最小值為2M.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，添加常用輔助

線，構(gòu)造直角三角形解決問題是解本題的關(guān)鍵.

17.在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)教材中有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的問題進(jìn)行了進(jìn)一步探究.

圖1圖3

(1)問題梳理，問題呈現(xiàn):如圖1,點(diǎn)。在等邊ABC的邊BC上，過點(diǎn)C畫4B的平行線/，在/上取CE=3E),

連接AE,則在圖1中會(huì)產(chǎn)生一對(duì)旋轉(zhuǎn)圖形.請(qǐng)結(jié)合問題中的條件，證明：汪△ACE；

(2)初步嘗試：如圖2,在ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在BC邊上，且皮><OC,將△ABD沿某條直線翻

折，使得與AC重合，點(diǎn)。與2C邊上點(diǎn)尸重合，再將△ACT沿AC所在直線翻折，得到&CE,則在

圖2中會(huì)產(chǎn)生一對(duì)旋轉(zhuǎn)圖形.若N&4c=30。，AD=6,連接OE,求VADE的面積；

(3)深入探究：如圖3,在ASC中，/ACB=60。，ZBAC=75°,AC=6,點(diǎn)。是邊3c上的任意一點(diǎn)，

連接4),將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)75°,得到線段AE,連接CE,求線段CE長(zhǎng)度的最小值.

【答案】(1)見解析；(2)9；(3)373-372

【分析】(1)根據(jù)△A6C是等邊三角形，可得恕=陽/掰(7=/6=60°,進(jìn)而利用弘S可證明△血屋

(2)如圖2,過點(diǎn)￡作見_絲于〃，由翻折可得與△/及/可得/￡="=6,EH=3,再運(yùn)用

SAADE==乂ADXEH,即可求得答案.

(3)如圖3中，在26上截取AN=AC,連接DN,作NH1BC于H,作ML8c于M.利用弘S證明△品電△的用

推出當(dāng)〃V的值最小時(shí)，歐的值最小，求出的的值即可解決問題.

【詳解】(1)如圖1,

E

B

DC

圖1

???△28。是等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=ZB=60°,

CE〃AB,

：.ZACE=ZBAC=60°,

ZB=/ACE,

在△/必和中，

AB=AC

<ZB=ZACE,

BD=CE

：./\ABD^/\ACE(SAS)；

(2)如圖2,過點(diǎn)與作必，弱于〃,

圖2

???由翻折可得：XAC衿XABD,XAC恒XACF,

：.XACE^△/區(qū)度AACF,

：.AE=AD=6,/CAE=/BAD,

：.ZD