福建省仙游縣2024屆中考模擬考試聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

福建省仙游縣2024屆中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.如圖，46〃?！?gt;/￡，。6,垂足為6,Zl=50°,則N2的度數(shù)是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

2.如圖是一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課制作的一個(gè)轉(zhuǎn)盤，盤面被等分成四個(gè)扇形區(qū)域，并分別標(biāo)有數(shù)字-1,0,1,2.若轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩

次，每次轉(zhuǎn)盤停止后記錄指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字（當(dāng)指針恰好指在分界線上時(shí)，不記，重轉(zhuǎn)），則記錄的兩個(gè)數(shù)字都是正

數(shù)的概率為（）

B.1C.1

A.D.-

S64

3.下面運(yùn)算結(jié)果為小的是（）

A.+/B.a?C.D.（-『丫

4.若一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A（3,-6),B(m,-4）兩點(diǎn)，則m的值為（）

A.2B.8C.-2D.-8

5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（)

主視圖左視圖

俯視圖

A.直三棱柱B.長(zhǎng)方體C.圓錐D.立方體

6.函數(shù)y=mx2+（m+2）x+；m+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的值為（）

A.0B.0或2C.0或2或-2D.2或-2

7.已知拋物線y=ax2+%x+c（?<0）與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）,與y軸的交點(diǎn)在（0,2）,（0,3）之間（包含端點(diǎn)）,

2

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,"）,則下列結(jié)論：①4a+28<0；②TWaW----;③對(duì)于任意實(shí)數(shù)a+Z^aw?+加〃總成立；④關(guān)于

3

x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.在函數(shù)y=《+J：中，自變量x的取值范圍是（）

A.x>0B.x<0C.x=0D.任意實(shí)數(shù)

9.如圖，在矩形ABCD中，AB^la,AD^a,矩形邊上一動(dòng)點(diǎn)P沿A^B^C^D的路徑移動(dòng).設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路徑

10.下列圖形是中心對(duì)稱圖形的是（）

24

B

a-/y-X^X工

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11.如圖，點(diǎn)A在雙曲線y="的第一象限的那一支上，AB垂直于y軸與點(diǎn)B,

點(diǎn)C在X軸正半軸上，且OC=2AB,

X

點(diǎn)口E在線段AC上，且AE=3EC,點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若△ADE的面積為3,則k的值為_____.

12.如圖，在RtAABC中，AB=AC,D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且NDAE=45°,將4ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

后，得到AAFB,連接EF,下列結(jié)論：①NEAF=45。；(2)AAED^AAEF；③△ABES^ACD；④BE1+DC=DEL

其中正確的是_____.(填序號(hào))

REDC

13.如圖，在R3ABC中,ZA=90°,AB=AC,BC=0+1,點(diǎn)M,N分別是邊BC,AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的

直線折疊NB,使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，始終落在邊AC上，若^MBC為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為____.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為(0,2),(-1,0),將線段AB沿x軸的正方向平移,

若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為B，(2,0),則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，的坐標(biāo)為一.

15.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上.若△ABE的面積為8,CE=3,則線段BE的長(zhǎng)為

16.如圖，PC是。。的直徑，M切。。于點(diǎn)P,A。交。。于點(diǎn)3；連接3C,若NC=32°,則NA=.

17.如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3,4）,頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，函數(shù)y=8（x<0）

x

的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)B,則k的值為.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）已知：如圖.D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，CN//AB,DN交AC于點(diǎn)M,MA=MC.

（1）求證：CD=AN；

（2）若=試判斷四邊形ADCN的形狀，并說明理由.

19.（5分）定義：若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其它三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則這個(gè)四邊形叫做等距四邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫做這

個(gè)四邊形的等距點(diǎn).

D

(1)判斷：一個(gè)內(nèi)角為120。的菱形—等距四邊形.(填“是”或“不是”)

(2)如圖2,在5x5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點(diǎn),，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個(gè)格點(diǎn)，使得以A、

B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為互不全等的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”，并寫出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非

等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng).端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為一端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線長(zhǎng)為—

(3)如圖1,已知△ABE與△CDE都是等腰直角三角形，ZAEB=ZDEC=90°,連結(jié)A，D,AC,BC,若四邊形ABCD

是以A為等距點(diǎn)的等距四邊形，求NBCD的度數(shù).

20.(8分)為響應(yīng)國(guó)家全民閱讀的號(hào)召，某社區(qū)鼓勵(lì)居民到社區(qū)閱覽室借閱讀書，并統(tǒng)計(jì)每年的借閱人數(shù)和圖書借閱

總量(單位：本)，該閱覽室在2014年圖書借閱總量是7500本，2016年圖書借閱總量是10800本.

(1)求該社區(qū)的圖書借閱總量從2014年至2016年的年平均增長(zhǎng)率；

(2)已知2016年該社區(qū)居民借閱圖書人數(shù)有1350人，預(yù)計(jì)2017年達(dá)到1440人，如果2016年至2017年圖書借閱總

量的增長(zhǎng)率不低于2014年至2016年的年平均增長(zhǎng)率，那么2017年的人均借閱量比2016年增長(zhǎng)a%,求a的值至少

是多少？

21.(10分)如圖，NBAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)F,NABC的平分線交AD于點(diǎn)E.

(2)若NBAC=90。，BD=4,求△ABC外接圓的半徑；

(3)若BD=6,DF=4,求AD的長(zhǎng)

22.(10分)已知RtAOAB,ZOAB=9Q°,ZABO=3Q°,斜邊。8=4,將RtAOAB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,

如圖1,連接

(1)填空：ZOBC=°；

(2)如圖1,連接AC,作OPLAC,垂足為P,求O尸的長(zhǎng)度；

（3）如圖2,點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，在AOCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿OfC-6路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿Of5fC

路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)〃的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為x秒，AOMN的面積為V,求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？

23.（12分）閱讀下列材料:

題目：如圖，在△ABC中，已知NA(ZA<45°),ZC=90°,AB=1,請(qǐng)用sinA、cosA表示sin2A.

24.（14分）如圖，矩形ABC。的兩邊A。、A3的長(zhǎng)分別為3、8,E是。。的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)

x

過點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)歹.

若點(diǎn)3坐標(biāo)為（-6,0）,求力？的值及圖象經(jīng)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)的表達(dá)式；若

AF-AE=2,求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、C

【解析】

試題分析：VFE±DB,VZDEF=90°,VZ1=5O°,/.ZD=90°-50°=40°,VAB/7CD,AZ2=ZD=40°.故選C.

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì).

2、C

【解析】

列表得，

120-1

1(1,1)(1,2)(1,0)(1,-1)

2(2,1)(2,2)(2,0)(2,-1)

0(0,1)(0,2)(0,0)(0,-1)

-1(-1,1)(-1,2)(-1,0)(-1,-1)

41

由表格可知'總共有16種結(jié)果’兩個(gè)數(shù)都為正數(shù)的結(jié)果有4種'所以兩個(gè)數(shù)都為正數(shù)的概率為n=%'故選C.

考點(diǎn)：用列表法(或樹形圖法)求概率.

3、B

【解析】

根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)塞的除法、同底數(shù)塞的乘法及塞的乘方逐一計(jì)算即可判斷.

【詳解】

A.a3+a3=2a3，此選項(xiàng)不符合題意；

B.^^a2=a6,此選項(xiàng)符合題意；

C.此選項(xiàng)不符合題意；

D.(-?2)3=-a6,此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)塞的除法、同底數(shù)塞的乘法及塞的乘方.

4、A

【解析】

試題分析：設(shè)正比例函數(shù)解析式為：y=kx,將點(diǎn)A(3,-6)代入可得：3k=-6,解得：k=-2,.?.函數(shù)解析式為：

y=-2x,將B(m,-4)代入可得：-2m=-4,解得m=2,故選A.

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

5、A

【解析】

根據(jù)三視圖的形狀可判斷幾何體的形狀.

【詳解】

觀察三視圖可知，該幾何體是直三棱柱.

故選A.

本題考查了幾何體的三視圖和結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)三視圖的形狀可判斷幾何體的形狀是關(guān)鍵.

6、C

【解析】

根據(jù)函數(shù)丫=11?2+(m+2)x+；m+l的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，利用分類討論的方法可以求得m的值，本題得以解

決.

【詳解】

解：?.?函數(shù)y=mx2+(m+2)x+；m+l的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

二當(dāng)m=0時(shí)，y=2x+l,此時(shí)y=0時(shí)，x=-0.5,該函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)m，0時(shí)，函數(shù)y=mx2+(m+2)x+；m+1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

則4=(m+2)2-4m(—m+1)=0,解得，mi=2,m2=-2,

2

由上可得，m的值為0或2或-2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.

7、C

【解析】

①由拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)可得出b=-2a,進(jìn)而可得出4a+2b=0,結(jié)論①錯(cuò)誤；

②利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合b=-2a可得出a=-cj,再結(jié)合拋物線與y軸交點(diǎn)的位置即可得出-lWaW-彳2，結(jié)

論②正確；

③由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及a<0,可得出n=a+b+c,且nNax2+bx+c,進(jìn)而可得出對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,a+bNam2+bm總成

立，結(jié)論③正確；

④由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得出拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n只有一個(gè)交點(diǎn)，將直線下移可得出拋物線y=ax2+bx+c與

直線y=n-l有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而可得出關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合④正確.

【詳解】

：①I,拋物線y=ax?+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,n）,

.b

??-------=1,

2a

b=-2a,

/.4a+2b=0,結(jié)論①錯(cuò)誤；

②???拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）,

:.a-b+c=3a+c=0,

?c

??a=-—?

3

又??,拋物線y=ax?+bx+c與y軸的交點(diǎn)在（0,2）,（0,3）之間（包含端點(diǎn)）,

A2<c<3,

2

,結(jié)論②正確；

3

③???aV0,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,n）,

n=a+b+c,5.n>ax2+bx+c,

，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,a+bNam2+bm總成立，結(jié)論③正確；

④???拋物線y=ax?+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,n）,

工拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n只有一個(gè)交點(diǎn)，

又TaVO,

???拋物線開口向下，

拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-l有兩個(gè)交點(diǎn)，

二關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合④正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，觀察函數(shù)圖象，逐一分析四個(gè)結(jié)

論的正誤是解題的關(guān)鍵.

8、C

【解析】

當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).據(jù)此可得.

【詳解】

解：根據(jù)題意知｛c，

[-x>0

解得：x=0,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個(gè)方面考慮：(1)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量

可取全體實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0；(3)當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)

為非負(fù)數(shù).

9、D

【解析】

解：(1)當(dāng)0W於2a時(shí)，PD2=AD2+AP2?AP=x,：.y^x2+a2；

(2)當(dāng)2aV於3a時(shí)，CP-2a+a-x=3a-x,*.*PD2=CD2+CP2，y-(3a-x)2+(2a)2=x2-6ax+13a2;

(3)當(dāng)3aV於5a時(shí)，PD-2a+a+2a-x=5a-x,*.*pur=y,y—(5a—x)2=(x-5a)2；

x2+a2(0<x<2a)

綜上，可得>=</-6依+13/(2。<》43。)，.?.能大致反映7與丫的函數(shù)關(guān)系的圖象是選項(xiàng)口中的圖象.故選D.

(…。)2(3q<xV5a)

10、B

【解析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合，即可解題.

A、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

C、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形.

【詳解】

請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?/p>

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

16

11、--?

3

【解析】

由AE=3EC,△ADE的面積為3,可知AADC的面積為4,再根據(jù)點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，得到△ADC的面積為梯形

k

BOCA面積的一半，即梯形BOCA的面積為8,設(shè)A(x,—),從而

x

表示出梯形BOCA的面積關(guān)于k的等式，求解即可.

【詳解】

VAE=3EC,AADE的面積為3,的面積為1.

/.△ADC的面積為4.

?.?點(diǎn)A在雙曲線y=-的第一象限的那一支上，

X

，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,￡).

x

VOC=2AB,AOC=2x.

???點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，???△ADC的面積為梯形BOCA面積的一半，，梯形BOCA的面積為8.

1k\k]6

梯形BOCA的面積=■—(JV+2x)—=—3x—=8,解得k=—.

2x2x3

【點(diǎn)睛】

反比例函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，同底三角形面積的計(jì)算，梯形中位線

的性質(zhì).

12、①②④

【解析】

①根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，對(duì)應(yīng)角NCAD=NBAF,由NEAF=NBAF+NBAE=NCAD+NBAE即可判斷

②由旋轉(zhuǎn)得出AD=AF,/DAE=NEAF,及公共邊即可證明

③在△ABEs/XACZ)中，只有AB=AC、NA5E=NACZ>=45。兩個(gè)條件，無法證明

④先由AACD義Z\ABF,得出NAC0=NAB歹=45。，進(jìn)而得出NEBF=90。，然后在RtABEF中，運(yùn)用勾股定理得出

BEi+BFI=EFi,等量代換后判定④正確

【詳解】

由旋轉(zhuǎn)，可知：ZCAD=ZBAF.

；/BAC=90。，NDAE=45。，

/.ZCAD+ZBAE=45°,

.?.NBAF+NBAE=NEAF=45。，結(jié)論①正確；

②由旋轉(zhuǎn)，可知：AO=AF

AD=AF

在4AED和小AE尸中，<ZDAE=ZEAF=45°

AE=AE

：./\AED^/\AEF(SAS),結(jié)論②正確；

③在△ABEs/iAa)中，只有AB=AC,、NABE=NACZ>=45。兩個(gè)條件，

無法證出AABEs△AC。，結(jié)論③錯(cuò)誤；

④由旋轉(zhuǎn)，可知：CD=BF,ZACD=ZABF^45°,

:.NEBF=ZABE+ZABF^9Q0,

；.BF1+BE1=EP.

'：/\AED^/\AEF,

EF=DE,

又,：CD=BF,

：.BE1+DC1=DE1,結(jié)論④正確.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵

13、1+J■或1

22

【解析】

圖1,ZB'MC=9(io,正與點(diǎn)A重合，”是8C的中點(diǎn)，所以3公,5。=正+工，

222

圖2,當(dāng)NMB，C=90。，ZA=90°,AB=AC,

ZC=45°,

所以RtCMS’是等腰直角三角形，所以8M=0+L所以CM+3M=0BM+3M=0+1,

所以BM=1.

EEi

圖2

【詳解】

請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?/p>

14、(3,2)

【解析】

根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

???將線段AB沿x軸的正方向平移，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，的坐標(biāo)為(2,0),

V-l+3=2,

0+3=3

，A'(3,2),

故答案為：(3,2)

【點(diǎn)睛】

本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移.解決本題的關(guān)鍵是正確理解題目，按題目的敘述一定要把各點(diǎn)的大致位置確定，正

確地作出圖形.

15、5.

【解析】

試題解析：過E作EMLAB于M,

；.AD=BC=CD=AB,

；.EM=AD,BM=CE,

VAABE的面積為8,

1

:.—xABxEM=8,

2

解得：EM=4,

即AD=DC=BC=AB=4,

VCE=3,

由勾股定理得：BE=VBC2+CE2=A/42+32=5-

考點(diǎn)：1.正方形的性質(zhì)；2.三角形的面積；3.勾股定理.

16、26°

【解析】

根據(jù)圓周角定理得到NAOP=2ZC=64。，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到ZAPO=90°,根據(jù)直角三角形兩銳角互余計(jì)算即可.

【詳解】

由圓周角定理得：NAOP=2NC=64。.

是。。的直徑，E1切。。于點(diǎn)P,/.ZAPO=90°,/.ZA=90°-ZAOP=90°-64°=26°.

故答案為：26°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

17、-1

【解析】

根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)以及菱形的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出k的值即可.

【詳解】

解：(-3,4),

???OC=732+42=5,

/.CB=OC=5,

則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-3-5=-8,

故B的坐標(biāo)為：(-8,4),

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y='得，4=占，

x-8

解得：k=-1.

故答案為：-1.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)證明見解析；(2)四邊形ADCN是矩形，理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)平行得出/DAM=NNCM,根據(jù)ASA推出AAMD之△CMN,得出AD=CN,推出四邊形ADCN是平行

四邊形即可；

(2)根據(jù)/AMD=2NMCD,NAMD=/MCD+NMDC求出NMCD=NMDC,推出MD=MC,求出MD=MN

=MA=MC,推出AC=DN,根據(jù)矩形的判定得出即可.

【詳解】

證明：(1)；CN〃AB,

.\ZDAM=ZNCM,

,在△AMD和ACMN中，

ZDAM=ZNCM

MA=MC

ZDMA=ZNMC,

/.△AMD^ACMN(ASA),

?\AD=CN,

又；AD〃CN,

二四邊形ADCN是平行四邊形，

/.CD=AN；

(2)解：四邊形ADCN是矩形，

理由如下：；NAMD=2NMCD,ZAMD=ZMCD+ZMDC,

/.ZMCD=ZMDC,

，MD=MC,

由(1)知四邊形ADCN是平行四邊形，

；.MD=MN=MA=MC,

/.AC=DN,

二四邊形ADCN是矩形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解

此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度適中.

19、(1)是；(2)見解析；(3)150°.

【解析】

(1)由菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意畫出圖形，由勾股定理即可得出答案；

(3)由SAS證明△AEC絲ZkBED,得出AC=BD,由等距四邊形的定義得出AD=AB=AC,證出AD=AB=BD,AABD

是等邊三角形，得出NDAB=60。，由SSS證明△AEDgZ\AEC,得出NCAE=NDAE=15。，求出

ZDAC=ZCAE+ZDAE=30°,ZBAC=ZBAE-ZCAE=30°,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出NACB

和NACD的度數(shù)，即可得出答案.

【詳解】

解：(1)一個(gè)內(nèi)角為120。的菱形是等距四邊形；

故答案為是；

(2)如圖2,圖3所示：

在圖2中，由勾股定理得：C￡>=A/12+32=710,

在圖3中，由勾股定理得：CD=V32+32=3A/2,

故答案為3JI

(3)解：連接BD.如圖1所示:

,/△ABE與4CDE都是等腰直角三角形,

，DE=EC,AE=EB,

ZDEC+ZBEC=ZAEB+ZBEC,

即NAEC=NDEB,

DE=CE

在AAEC和小BED中，＜ZAEC=ABED,

AE=BE,

/.△AECABED(SAS),

/.AC=BD,

???四邊形ABCD是以A為等距點(diǎn)的等距四邊形，

AD=AB=AC,

；.AD=AB=BD,

/.△ABD是等邊三角形，

，NDAB=60°,

二ZDAE=ZDAB-ZEAB=60°-45°=15°,

AD=AC

在AAED和AAEC中，\DE=CE

AE=AE,

/.△AED^AAEC(SSS),

.\ZCAE=ZDAE=15O,

AZDAC=ZCAE+ZDAE=30°,ZBAC=ZBAE-ZCAE=30°,

VAB=AC,AC=AD,

180—30180-30

ZACB==75ZACD==75,

22

:.ZBCD=ZACB+ZACD=75o+75°=150°.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題目，考查了等距四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、全等

三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等

是解決問題的關(guān)鍵.

20、(1)20%；(2)12.1.

【解析】

試題分析：(1)經(jīng)過兩次增長(zhǎng)，求年平均增長(zhǎng)率的問題，應(yīng)該明確原來的基數(shù)，增長(zhǎng)后的結(jié)果.設(shè)這兩年的年平均增

長(zhǎng)率為x,則經(jīng)過兩次增長(zhǎng)以后圖書館有書7100(1+x)2本，即可列方程求解；

(2)先求出2017年圖書借閱總量的最小值，再求出2016年的人均借閱量，2017年的人均借閱量，進(jìn)一步求得a的

值至少是多少.

試題解析：(1)設(shè)該社區(qū)的圖書借閱總量從2014年至2016年的年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意得

7100(1+x)2=10800,即(1+x)2=1.44,解得：xi=0.2,x2=-2.2(舍去).

答:該社區(qū)的圖書借閱總量從2014年至2016年的年平均增長(zhǎng)率為20%；

(2)10800(1+0.2)=12960(本)

108004-1310=8(本)

12960+1440=9(本)

(9-8)4-8xl00%=12.1%.

故a的值至少是12.1.

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用；最值問題；增長(zhǎng)率問題.

21、(1)見解析；(2)272(3)1

【解析】

(1)通過證明NBED=NDBE得到DB=DE；

(2)連接CD,如圖，證明ADBC為等腰直角三角形得到BC=0BD=40,從而得到△ABC外接圓的半徑；

(3)證明△DBFsaADB,然后利用相似比求AD的長(zhǎng).

【詳解】

(1)證明：；AD平分NBAC,BE平分NABD,

/.Z1=Z2,Z3=Z4,

:.ZBED=Z1+Z3=Z2+Z4=Z5+Z4=ZDBE,

.\DB=DE；

(2)解：連接CD,如圖，

,.,ZBAC=10°,

ABC為直徑，

.,.ZBDC=10°,

VZ1=Z2,

/.DB=BC,

/.△DBC為等腰直角三角形，

；.BC=&BD=4&,

/.△ABC外接圓的半徑為2亞；

(3)解：VZ5=Z2=Z1,ZFDB=ZBDA,

.,.△DBF^AADB,

.?.毀=嗎即g=2,

DADBAD6

.\AD=1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.也

考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì).

22、(1)1；(2)冥H；(3)時(shí)，y有最大值，最大值=迪.

733

【解析】

(1)只要證明AOBC是等邊三角形即可；

(2)求出AAOC的面積，利用三角形的面積公式計(jì)算即可；

Q

(3)分三種情形討論求解即可解決問題：①當(dāng)OVxV—時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在03上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NELOC

3

Q

且交OC于點(diǎn)E.②當(dāng)—〈爛4時(shí)，M在上運(yùn)動(dòng)，N在08上運(yùn)動(dòng).③當(dāng)4〈爛4.8時(shí)，M、N都在8c上運(yùn)動(dòng)，作

3

OGLBC^G.

【詳解】

(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OB=OC,ZBOC=1°,

...△03C是等邊三角形，

:.ZOBC=I0.

故答案為L(zhǎng)

(2)如圖1中.

VOB=4,ZABO=30°,

：.OA=^OB=29AB=y/3OA=2y/3

*e?SAAOC=_9OA9AB=—x2x2^/3=2y/3?

???△50C是等邊三角形，

：.ZOBC=109ZABC=ZABO+ZOBC=90°,

7AB2+BC2=2幣，

QAOC4出_2721

AC2s—7,

Q

(3)①當(dāng)0<x<,時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在08上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NEL0C且交OC于點(diǎn)E.

圖2

則N￡=ON?sinl°=走％,

2

SAOMN=—?0M?NE=—x1.5xx-凡--------Ji9

222

.力=述總

8

??.x=|時(shí)，y有最大值，最大值=手.

則BM=8-1.5x,MH=3M?sinlo=3(8-1.5x),

2