2024年全國(guó)普通高中九省聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題（二）（解析版）

2024年高考模擬數(shù)試題(二)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

I.從小到大排列的數(shù)據(jù)1，2,3,國(guó)4,5,6,7,8,乂9,1°的第三四分位數(shù)為()

【答案】D

【解析】

【分析】由百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解即可.

【詳解】?.T2x75%=9,該組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為

2

故選：D.

22

2.若橢圓C：土+匕=1(加＞0)上一點(diǎn)到C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2加，貝|加=()

m9

A1B.3C.6D.1或3

【答案】B

【解析】

【分析】討論焦點(diǎn)的位置利用橢圓定義可得答案.

【詳解】若/"〉9,貝U由=2加得加=1(舍去)；

若0＜加＜9,則由2加=6得陰=3.

故選：B.

3.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，若%+為=—1°，5=-42,貝!1品=()

A.12B.10C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)已知條件可得出關(guān)于外、d的方程組，解出這兩個(gè)量的值，在

利用等差數(shù)列的求和公式可求得So的值.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則的+生=(%+24)+(q+44)=2q+61=-10,①

6x5

S6=6al+2d=6ax+15d=-42,②

聯(lián)立①②可得q=-17,d=4,

10x9

因止匕，Sl0=10^+^—c/=10^+456?=10x（-17）+45x4=10.

故選：B.

4.同一個(gè)宿舍的8名同學(xué)被邀請(qǐng)去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其

他人根據(jù)個(gè)人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（）

A.32種B.128種C.64種D.256種

【答案】C

【解析】

【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去兩類(lèi)，利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】若甲、乙都去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有25種去法；

若甲、乙都不去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有25種去法.

故一共有25+25=64種去法.

故選：C.

5.在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明先將一副三角板按照?qǐng)D1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板45C折起,

使得二面角Z-8C-Z）為直二面角，得圖2所示四面體48CD.小明對(duì)四面體48CD中的直線、平面的

位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面45C；②481平面/CD；③平面48。，平面/CD；④平

面4a0,平面BCD.其中判斷正確的個(gè)數(shù)是（）

A

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于①中，因?yàn)槎娼荶-5C-￡>為直二面角，可得平面45C工平面BCD,

又因?yàn)槠矫?BCc平面BCD=5C,DCLBC,且。C<z平面BCD,

所以。C，平面45C,所以①正確；

對(duì)于②中，由。平面45。，且48u平面48C,可得48,CD,

又因?yàn)榍襔CnCD=C,NC,CDu平面/C。，

所以48/平面/CD,所以②正確；

對(duì)于③中，由481平面ZCD,且48u平面NAD,所以平面48。，平面/CD,所以③正確;

對(duì)于④，中，因?yàn)?。CJ_平面/BC,且。Cu平面BCD,可得平面NBC1平面BCD,

若平面48。，平面5cD,且平面NRDc平面48C=48,可得451平面5cD，

又因?yàn)锽Cu平面BCD,所以4815C,

因?yàn)?8與BC不垂直，所以矛盾，所以平面/AD和平面8c。不垂直，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

A

B

D

6.已知點(diǎn)尸在圓（x-lf+r=1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,、回）,。為原點(diǎn)，則N0.NA的取值范圍是（）

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)尸（X/），利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)尸（xj）,因點(diǎn)A的坐標(biāo)為（―1,8），所以而=（1,—W）,萬(wàn)=1+1/—6）,

則=x+1-一V3j=x-y/3y+4,

設(shè)/=x—+4,即>=^^x+[（4-7），

依題意，求才的范圍即求直線y=[x+'（4-/）與圓（x-l>+/=l有公共點(diǎn)時(shí)在y軸上截距的范圍，

即圓心（1,0）到y(tǒng)=[x+]（4T）的距離d="4<1，解得3<f<7,

所以芥?石的取值范圍為［3,7］,

故選：D.

7.若/(x)=2sinx(逝cosx-sinx),且/(再)/伍)=一3,則歸一引的最小值為()

7C?71

A.兀B.—C.27rD.——

24

【答案】B

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)AM解析式，得函數(shù)最大最小值與周期，利用/(再)/(9)=-3條件轉(zhuǎn)化為與最值的關(guān)系,

再由最值與周期的關(guān)系可得.

【詳解】,.■/(%)=2sinx^V3cosx-sinxj

=V3sin2x-2sin2x=V3sin2x+cos2x-1

=2sin12x+?！?,/(x)的周期為丁=兀，且

令f=sin12x+\,則

則/(x)=g(0=2t-l,由g(0的值域?yàn)椋邸?』，

故/(x)max=l，/(x)min=一3,

-3</(^)<1

,故_3W/(XJ/(69,

-3</(X2)<1

由//\O/\3知，Jf(x)-=17(^2)=1

即/(七)，/(》2)為函數(shù)的最大與最小值，或最小與最大值,

當(dāng)西,々對(duì)應(yīng)/1(X)圖象上相鄰兩最值點(diǎn)時(shí)，-馬|的值最小，

故歸一引?^=：=/

故選：B.

22

8.如圖，已知片，月是雙曲線C0—==1的左、右焦點(diǎn)，P,0為雙曲線。上兩點(diǎn)，滿(mǎn)足公尸〃耳0,且

因。|=|與P|=3陽(yáng)P|,則雙曲線C的離心率為()

V157

丁

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得f=。，進(jìn)而可得/片尸'。=/片尸￡=90°,結(jié)合勾股定理運(yùn)算

求解.

【詳解】延長(zhǎng)然與雙曲線交于點(diǎn)P，

因?yàn)楣玃//F2P',根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知陽(yáng)P|=\F2P'\,

設(shè)|工尸［=閨尸|="則內(nèi)尸|=||=3/,

可得優(yōu)尸|一閨尸|=2/=2a,即f=a,

所以尸Q|=4/=4a,則|Q周=上用+2a=5a,陽(yáng)尸［=］用P|=3a,

即尸?！?|甲邪=|。耳「，可知』公P'。=/為隼=90。,

在△尸有與中，由勾股定理得優(yōu)+怩p「=E閭2,

SPa2+（3a）2=4c2,解得e=/半.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,6,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把6

用a,c代換，求e=￡的值；

a

2.焦點(diǎn)三角形的作用

在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái).

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)復(fù)數(shù)z=——（。,6611且6/0）,則下列結(jié)論正確的是（）

a+bi7

A.z可能是實(shí)數(shù)B.目=同恒成立

C.若z2eR，則。=0D,若z+^eR,則目=1

Z

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的類(lèi)型的概念求解即可.

a-bia

【詳解】對(duì)于A：若z=」7T一Ur是實(shí)數(shù),

a+bia2+b2a

則方=0,與已知矛盾，故A錯(cuò)誤;

-CLbi

對(duì)于B：由A項(xiàng)知z=EH-----z--------r

a+b

2ab

則F"T+b入不），因?yàn)榉结?,所以。=0,故c正確;

11,.ab.

對(duì)于D：z+—=--------+a+PI==7+a+b——iGRo

za+bi[a2+b2)\a2+b2J

則b——-~-=0,因?yàn)閎wO,所以/+〃=],

a+b

故D正確

故選：BCD.

JIo

10.在&43。中，若tan-------=sinC,則下列結(jié)論正確的是（）

2

tanAr

A.------二]B.0<sin+sin5<V2

tan5

C.sin2+cos25=1D.cos2A+cos2B=sin2C

【答案】BD

【解析】

4+B

【分析】由tan-------=sinC化簡(jiǎn)得到。=90。，再逐項(xiàng)判斷.

2

C

4+B(7cC、]coscc

【詳解】解：由tan-------=sinC=>tan--------=--------=——4=2sin—cos—,

2I22JC.C22

'7ttan——sin——

22

C71C

因?yàn)?v—<上，所以cos2wO,

222

rC

所以l=2sin2—nl—Zsin?—=0ncosC=0nC=90。，

22

所以tanS=tan(工一4]二---,1alM=tan?/不一定為1,A錯(cuò)；

12)taib4taaS

因?yàn)閟iih4+siaS=sinA+cosA=msin(4+45°),0°<A<90°n45°<A+45°<135°，

芋<sin(4+45°)V1n1<0sin(4+45°)<41，

從而有0<siib4+sia5<yjl，所以B正確,

又cosB-cos1_4卜siiL4,所以5由24+8$23=25m24也不一定等于1,C錯(cuò);

而cos2y4+COS25=cos?/+sin2A=1=sin2C，D正確；

故選：BD

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),且/(1)=—1,則()

A./(0)=1

B./(X)為奇函數(shù)

C./(1)+/(2)+-+/(2024)=0

【答案】ACD

【解析】

【分析】采用賦值法為突破口，分析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

【詳解】對(duì)A：令x=l,y=0,則2/(l)=2/(l)/(O),

因?yàn)?。)=一1，所以/(。)=1，故A正確；

對(duì)B：令x=0得：/(力+/(-力=2/(0)/(力,結(jié)合/(。)=1可得/(刃=/(一力,

所以/(X)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：令y=l可得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l),因?yàn)?(1)=T,

所以/(x+l)+/(x—1)=—2/(x)n/(x+l)+/(x)=-[/(x)+/(x-l)],

進(jìn)一步可得：/(x+2)+/(x+l)=-[/(x+l)+/(x)],

又/(0)=1,/⑴=—1,故/(0)+/⑴=0,

故/。)+/(2)=0,依次有

/(2)+/(3)=/(3)+/(4)=---=/(2022)+/(2023)=/(2023)+/(2024)=0,

所以/(1)+/(2)+/(3)+-??+/(2023)+/(2024)=0x1012=0,故C正確；

對(duì)D：令x=y可得:/(2X)+/(O)=2[/(X)Tn[/⑴了=/(2；)+1；

用x+；代替x,歹得：〃2x+l)+/(O)=2/卜+￡|n+/(27)+1,

結(jié)合C的結(jié)果，可得：[/⑴丫+]小+^J(2X)+/'+1)+2J⑼+”+2=],故口

正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：如何賦值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.AB相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)C,令＞=1得到

/(x+l)+/(x)=-[/(x)+/(x-3后進(jìn)一步可得到數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可求結(jié)果，對(duì)D,用x=V

和用x+工代替尤，V是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若關(guān)于x的不等式0Wax2+bx+cV2（a〉0）的解集為{x|—l＜x?3},貝!13a+6+2c的取值范圍是

【答案】1,4J

【解析】

【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得到對(duì)稱(chēng)軸，然后根據(jù)端點(diǎn)得到兩個(gè)等式和一個(gè)不等式，求出。的取

值范圍，最后3a+6+2c都表示成。的形式即可.

【詳解】因?yàn)椴坏仁?＜狽2+桁+042（4〉0）的解集為{x|—lW3},

所以二次函數(shù)/（x）=ox2+Zzx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=1,

/（-1）=2a-b+c=2

且需滿(mǎn)足（）,即＜b=-2a

|/3=29a+3b+c=2,解得<

c——3。+2

/。”0a+b+c>Q

所以aw］。,：

月f以6/+Z?+c—6/—2a—3cl+220=>aW—,

2

所以3a+b+2。=3。-2a-6。+4=4—5。￡

故答案為：I，4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：一元二次不等式的解決關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，求出對(duì)稱(chēng)軸和端點(diǎn)的值，繼而用

同一個(gè)變量來(lái)表示求解.

13.已知直三棱柱ABC-A^C^AB±BC,AC=2AB,A,C=2,則三棱柱ABC-A^C,的體積的最大值

為；此時(shí)棱柱的高為.

【答案】①.|②.宜1##2百

333

【解析】

【分析】利用直三棱柱的特征、體積公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性及最值計(jì)算即可.

Bi

如圖所示，不妨設(shè)|48|=x,由題意則2。=2羽8。=屈,44]="=？(％?0,1),

則％=,4-4x?X；XX#)X=6[(]一32卜4,

令/=—7)*/(/=必6(0,1))=>/，?)=2t—3t2,

22

則i〉/〉3時(shí)，/'(/)<o,]〉/〉o時(shí)，/'(/)>o,

即/?)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則/(7)=/E]=^n%max=^xg=M

max

J\/max，I3127A/273

故答案為：半

14.已知正實(shí)數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)足a2-ab-^l=0,c2+/=1,則當(dāng)()2+(z)-(z)2取得最小值時(shí)，

ab=

【答案】立+1

2

【解析】

【分析】設(shè)出點(diǎn)之間的距離，由基本不等式求出最值，利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系確定自變量取值，代入求解

即可.

【詳解】設(shè)點(diǎn)(。*)與點(diǎn)(c/)之間的距離為/,則/=("°『+伍—[)2,

易知("C『+(b-1)2的幾何意義是點(diǎn)(。/)與點(diǎn)(c,d)之間的距離的平方，

點(diǎn)(c,d)在以(0,0)為圓心，半徑為1的圓上，又/-仍+1=0,則b=—,

a

設(shè)點(diǎn)S/)與點(diǎn)(0,0)之間的距離為m,則優(yōu)2=。2+/=/+伍+J_)2=2/+4+2,

aa

故加2=2/+4+222^2/.)+2=2夜+2,當(dāng)且僅當(dāng)4=七時(shí)取等，

此時(shí)加取得最小值，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得加min—1此時(shí)/=+3=。,+1，

a

代入a=：口得，ab=a2+\=-^-+1.

V22

故答案為：正+i

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是利用基本不等式找到關(guān)于。的取值.再利用點(diǎn)與圓的

位置關(guān)系確定此時(shí)(a-+0-1)2也取得最小值，然后將。代入目標(biāo)式，得到所要求的結(jié)果即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(%)=211]%+34%2一(21+1)%.

(1)若曲線y=/(x)在處切線與X軸平行，求a；

(2)若/(x)在x=2處取得極大值，求。的取值范圍.

【答案】(1)1(2)1一0°,g]

【解析】

【分析】(1)先對(duì)/(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)分類(lèi)討論。的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)分析/(x)的單調(diào)情況，從而得到其極值情況，由此得解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?(x)=21nx+—ax1一(2。+l)x(x>0),

，/、2/、ax?-(2a+l)x+2

所以=—+a、_(2a+1)=---------------』——二-----——L，

因?yàn)榍€y=/(x)在(1,/。))處切線與x軸平行，

所以芻=0,解得4=1,

又/(l)=g_3=—所以a=L

【小問(wèn)2詳解】

/(x)的定義域?yàn)?0,+"),/，⑴J"-1)"),

X

①當(dāng)a=0時(shí)，令#(x)>0,得0<x<2,令/。)<0,得x>2,

\/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+⑹上單調(diào)遞減.

\/(x)在x=2處取得極大值，滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)a<0時(shí)，令/%)〉0,得0<x<2,令/'(x)<0,得x>2,

\/(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減.

\/(x)在x=2處取得極大值，滿(mǎn)足題意；

③當(dāng)Q>0時(shí)，

(i)當(dāng)時(shí)，l=2,7,(x)>0

所以/(x)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，/(x)無(wú)極值，不滿(mǎn)足題意；

(ii)當(dāng)a〉一時(shí)，一<2,

2a

令八力<0,得!<x<2,令#(x)>0,得0<x<2或x>2

aa-

\/(X)在上單調(diào)遞增，在［;二］上單調(diào)遞減，在(2,+⑹上單調(diào)遞增.

\/(x)在x=2處取得極小值，不滿(mǎn)足題意；

(iii)當(dāng)0<。<一時(shí)，一>2,

2a

令/'(x)<0,得2<X<L,令/小)〉0,得0<X<2或X〉L

aa

\/(X)在(0,2)上單調(diào)遞增，在12,J上單調(diào)遞減，在g+s］上單調(diào)遞增.

\/(x)在x=2處取得極大值，滿(mǎn)足題意；

綜上所述，〃的取值范圍為8,；).

16.盒子中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現(xiàn)從盒子中一次摸一個(gè)球.不放回.

（1）若盒子中有8個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，從中任意摸兩次.記摸出的紅球個(gè)數(shù)為X.求隨機(jī)變量X的

分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）若A盒中有4個(gè)紅球和4個(gè)白球，3盒中在2個(gè)紅球和2個(gè)白球.現(xiàn)甲、乙、丙三人依次從A號(hào)盒中

摸出一個(gè)球并放入3號(hào)盒，然后丁從3號(hào)盒中任取一球.已知丁取到紅球，求甲、乙、丙三人中至少有一人

取出白球的概率.

3

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；期望為一

4

、44

(2)——

49

【解析】

【分析】（1）列出X的所有可能的值，求出對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列，并求期望.

（2）用條件概率公式求解.

【小問(wèn)1詳解】

A2is3

X可取0,1,2.且：尸(、=0)=^^=一，尸(￡=1)=352=一尸(x=2)=^^=

')CC14')CC28')CC'28

O/O/O/

所以X的分布列為:

X012

5153

P

142828

1533

貝|］：EX=lx—+2x—=-

28284

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)事件。="丁取到紅球“，事件E="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球

3C；C?4

當(dāng)甲、乙、丙三人取得1個(gè)白球,則丁取到紅球的概率為X—?

C?C：7'

3cle93

當(dāng)甲、乙、丙三人取得2個(gè)白球,則丁取到紅球的概率為1卻"行;

C8c7c6/

C1^^12

當(dāng)甲、乙、丙三人取得3個(gè)白球,則丁取到紅球的概率為x-；

c?吃7

5

當(dāng)甲、乙、丙三人取得3個(gè)紅球，則丁取到紅球的概率為士!法x三;

則所求概率為:

3c；C；C：*4?3C；C；C；x31C；C；C；2

X——

P(DE)744

P'E"卜P⑼=3C：C；C；5y5L36C；C/；C；43C；C/；C；37y3C；C；C；2

49

c8c7c6/7y/u8c7c6/c8c7c6/

jr

17.在梯形/BCD中，ABHCD,NBAD=—,AB=2AD=2CD=4,P為AB的中點(diǎn)，線段ZC與。P

3

交于O點(diǎn)（如圖1）.將AZCD沿ZC折起到△/CD位置，使得平面力ZC，平面A4c（如圖2）.

D'

圖1圖2

（1）求二面角/—5。'—C的余弦值;

（2）線段PD'上是否存在點(diǎn)。，使得CQ與平面BCD'所成角的正弦值為彳？若存在，求出券的值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）一立

7

PQ__1

（2）存在,

PD'~3

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解；

（2）設(shè)&=x訪（owxwi）,表示出西，利用向量的夾角公式代入列式，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

7T

因?yàn)樵谔菪蝂5CO中，AB//CD,AB=2AD=2CD=4,NBAD=—,P為AB的中點(diǎn)，所以，CD11PB,

3

CD=PB,

所以△4DP是正三角形，四邊形。必。為菱形,

可得ZCIBC,ACLDP,

而平面。'ZC,平面A4C，平面。'ZCc平面氏4C=ZC,

￡>'Ou平面"ZC，D'OLAC^

.?.?！?，平面氏4。，所以CM,OP,0。'兩兩互相垂直,

如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OP,0。'分別為x,了，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則/（G,o,o）,C（-V3,o,o）,5（-V3,2,0）,力（0,0,1）,P（0,l,0）,

.-.AD7=（-73,0,1）,A8=（-273,2,0）,Bb=（V3,-2,1）,CD'=（V3,0,l）

設(shè)平面48。'的一個(gè)法向量為加二（』,％,2j,則

m-AD'=0—\3x.+Zj=01—

_，即4l，令X]=1,則％=4=J3,

m-AB=0_2%+2%=0

設(shè)平面CBD’的一個(gè)法向量為〃=（々J2/2），則

n-BD'=0V3X2-2J2+Z2=0人_[而W

—.，即《

，令％—1，則%—0，z2——A/3

n-CD'=0V3X2+Z2=0

/.cos（m.n

哂Vl+3+3xVl+37

所以二面角A-BD-C的余弦值為-立

【小問(wèn)2詳解】

線段PD上存在點(diǎn)Q，使得CQ與平面BCD所成角的正弦值為—.

8

設(shè)&=2訪因?yàn)辂?（百,1,0）,PD7=（O,-I,I）,所以

CQ=CP+TQ=CP+XPD'

設(shè)CQ與平面BCD'所成角為氏則5也8=卜05(質(zhì),弱=『4=/(―'==E

?'A儂忖2V222-22+48

即322—74+2=0，??-0<2<1,解得2=g,

所以線段產(chǎn)?！洗嬖邳c(diǎn)。，且絲=工，使得。。與平面BCD'所成角的正弦值為逅.

PD38

18.已知拋物線J?=4x,頂點(diǎn)為。，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A,3兩點(diǎn).

圖1圖2

⑴如圖1所示，已知以a=8|,求線段中點(diǎn)到了軸的距離；

(2)設(shè)點(diǎn)尸是線段N3上的動(dòng)點(diǎn)，頂點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)尸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,求四邊形O/C3面積的最小值；

(3)如圖2所示，設(shè)。為拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)D作直線ZW,QN交拋物線于N兩點(diǎn),過(guò)。作直線

DP,。。交拋物線于尸，。兩點(diǎn)，且D/LDN,DPLDQ,設(shè)線段與線段尸。的交點(diǎn)為T(mén),求

直線。7斜率的取值范圍.

【答案】(1)3(2)4

-1r

(3)一一

L22」

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)求解即可；

(2)由題意可知四邊形048。的面積等于2sMOB，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和

2SVAOB=2叫OF|%-旬求解即可；

(3)設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(片,2a),將拋物線方程與直線。河，DN聯(lián)立,利用韋達(dá)定理將點(diǎn)M和點(diǎn)N坐標(biāo)用

。表示,進(jìn)而可得到直線跖V的方程，證明直線跖V過(guò)定點(diǎn)即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn)，且|/@=8,

設(shè)/（國(guó),凹）,B（x2,y2）,

由拋物線的性質(zhì)可得為+%+2=|28|=8,

所以西+x2=6,

所以線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為線段中點(diǎn)到了軸的距離為幺士三=3.

2

【小問(wèn)2詳解】

由點(diǎn)。與原點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)尸對(duì)稱(chēng)，可知P是線段0C的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)。與點(diǎn)。到直線/的距離相等，所以四邊形OABC的面積等于2S^AOB，

x=my+1.

設(shè)直線/的方程為X=W+1,聯(lián)立＜2'，消去X可得y2—4加V—4=0,

y=4x

設(shè)/（%%），8（》4，%），由韋達(dá)定理可得%+”=4加，y3y4=-4,

+

所以2S,“=2醋|阿|卜-外卜^3yJ-4y3y4=4而可T,

當(dāng)a=0時(shí)，四邊形。45c的面積取最小值為4.

【小問(wèn)3詳解】

由題意可知直線。M的斜率左存在，且不為0,

則直線￡）河的方程為y-2a=kQ_/）,

與拋物線V=4x聯(lián)立，消去X得/—士y+區(qū)—4/=0,

kk

44

由韋達(dá)定理可得2。+=—,解得為"—2a,

kk

直線ON的方程為y-2o=--(t-a2),

k

與拋物線F=4X聯(lián)立，消去x得/+4ky-Ska-4a2=0,

由韋達(dá)定理可得2。+}^,=-4左，解得力?=一4左一2。，

顯然直線跖V斜率不為零,

當(dāng)直線"N斜率存在時(shí)，直線跖V的方程為

VN~加X(jué)N~XM

整理得：y=4x+N加,

yN+yM

4

將加=7—2。，yN--4k-2a代入lMN得：

k

_?+[：-2"](一伙一2")_丘一4左一2a+2成2+力左.k(x-a2-A)

i-2a-4k-2a1-碗-左-\-ak-k-

k

2(7

所以直線。過(guò)定點(diǎn)(4+邕—2二),即T點(diǎn)坐標(biāo)為(4+a2,-2a),直線。丁的斜率為自/二------7

4+。

1

?！狄粦?hù)-4

當(dāng)Q〉0時(shí),2,當(dāng)且僅當(dāng)一二a,即Q=2時(shí)，等號(hào)成立,

—+aa

a

1

一4

2,當(dāng)且僅當(dāng)—=—ci,即。=—2時(shí)，等號(hào)成立,

a

當(dāng)Q=0時(shí)，kOT=0,

當(dāng)直線"N的斜率不存在時(shí)，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為“2,2。，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(r,-2。，

則加=(——/2—2a),DN=(t2-a2,-2t-2a),且根據(jù)題意。一力彳。,

所以加.麗=(〃—*2一4(J—*=°,解得r=4+/,

所以直線跖V的方程為》=4+/過(guò)點(diǎn)(4+/,—2a),

綜上所述，直線07斜率的取值范圍為-.

L22J

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交(過(guò)定點(diǎn)、定值)問(wèn)題的常用步驟：

⑴得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為/(國(guó),%),8(%,%)；

(2)聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x或V的一元二次方程；

(3)寫(xiě)出韋達(dá)定理；

(4)將所求問(wèn)題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為X1+x2,X1x2形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

19.已知無(wú)窮數(shù)列{。"}滿(mǎn)足an=max{a—,a“+2}-min[an+x,an+1}(〃=1,2,3,…)，其中max{x,y}表示x,

y中最大的數(shù)，min{x,y}表示x,y中最小的數(shù).

(1)當(dāng)%=1,?=2時(shí)，寫(xiě)出％的所有可能值；

(2)若數(shù)列{4}中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列{4}中的項(xiàng)；

(3)若%〉0(〃=1,2,3,…)，是否存在正實(shí)數(shù)使得對(duì)任意的正整數(shù)“，都有見(jiàn)(”?如果存在，寫(xiě)

出一個(gè)滿(mǎn)足條件的M；如果不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴{1,3,5)

(2)證明見(jiàn)解析(3)不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)定義知見(jiàn)20,討論生〉2、生<2及。3，為大小求所有應(yīng)可能值；

(2)由%20,假設(shè)存在4eN*使4〈%。，進(jìn)而有%。<max{6Z?o+1,6Z?o+2)<6Z?o,可得

min{%。+”4+2}=0,即可證結(jié)論；

(3)由題設(shè)%w?！?1("=2,3,…)，令5={〃”,〉氏+”〃21},討論5=0、5/0求證%>M即可

判斷存在性.

【小問(wèn)1詳解】

由4=max{all+l,an+2)-min{tz;I+1,an+2}>0,aA=max{2,a3}-min{2,tz3}=1,