江蘇省無錫市東湖塘中學(xué)2024屆十校聯(lián)考最后數(shù)學(xué)試題含解析

江蘇省無錫市東湖塘中學(xué)2024學(xué)年十校聯(lián)考最后數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.甲、乙兩人加工一批零件，甲完成240個(gè)零件與乙完成200個(gè)零件所用的時(shí)間相同，已知甲比乙每天多完成8個(gè)零

件.設(shè)乙每天完成x個(gè)零件，依題意下面所列方程正確的是（）

240200240200

A.---二B.—

Xx—8x+8X

240200240200

C.---二D.—

Xx+8x—8X

2.下列計(jì)算正確的是（）

422222

A.-ab4-ab=-abB.(aL-b)=a-b

C.a2*a3=a6D.-3a2+2a2=-a2

3.如圖是測量一物體體積的過程:

步驟一：將180mL的水裝進(jìn)一個(gè)容量為300mL的杯子中;

步驟二：將三個(gè)相同的玻璃球放入水中，結(jié)果水沒有滿；

步驟三：再將一個(gè)同樣的玻璃球放入水中，結(jié)果水滿溢出.

步驟一步驟二步驟三

根據(jù)以上過程，推測一個(gè)玻璃球的體積在下列哪一范圍內(nèi)？（1mL=lcm3）（）.

A.10cm3以上，20cm3以下B.20cm3以上，30cm3以下

C.30cm3以上，40cm3以下D.40cm3以上，50cm3以下

4.如果將拋物線向右平移1個(gè)單位，那么所得的拋物線的表達(dá)式是（）

A-V=X2+1B-v=x-1C-V=（x+I）2D-V=（x-1）2

5.如圖，△ABC在邊長為1個(gè)單位的方格紙中，它的頂點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)位置.如果△ABC的面積為10,且sinA

=好，那么點(diǎn)C的位置可以在（）

5

A.點(diǎn)Ci處B.點(diǎn)C2處C.點(diǎn)C3處D.點(diǎn)C4處

6.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)（1,n）與y軸的交點(diǎn)在（0,2）,（0,3）之間（包

含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①3a+b<0；②-iWaW，；③對于任意實(shí)數(shù)m,a+b>am2+bm總成立；④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-l

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.如圖，在AABC中，NC=90°,AC=4,=3,將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在線段A6上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B

落在點(diǎn)。處，則5。兩點(diǎn)間的距離為（）

A.V10B.2夜C.3D.75

8.關(guān)于x的方程x2+(k2-4)x+k+l=0的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則k值是()

A.-1B.±2C.2D.-2

9.下列各式中計(jì)算正確的是()

A.x3?x3=2x6B.(xy2)3=xy6C.(a3)2=a5D.t10-rt9=t

10.如果一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)m的取值為()

9898

A.m>—B.m—C.m=—D.m=—

8989

11.下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的是（）

A.x2+6x+9=0B.x2=xC.x2+3=2xD.(x-1)2+l=0

一x-6W1-x

12.對于不等式組3—3,下列說法正確的是()

3(x—1)<5x—1

A.此不等式組的正整數(shù)解為1,2,3

7

B.此不等式組的解集為

C.此不等式組有5個(gè)整數(shù)解

D.此不等式組無解

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13.若一個(gè)棱柱有7個(gè)面，則它是棱柱.

14.分解因式:a3-4a=.

15.正五邊形的內(nèi)角和等于___度.

16.與直線y=2x平行的直線可以是（寫出一個(gè)即可）.

17.二次函數(shù)y=ax?+bx+c（aw0）中的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表:

_2￡3_

X???-101???

~2~222

_5__9_57_

y???-2-20???

一1~4-44

則ax2+bx+c=0的解為

18.已知正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)M（_2/）、如果x/<X2，那么力y>2'（填“>"、"="、

“V”）

三、解答題：（本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）（1）計(jì)算：-sin61°+（y）-2-（n-布）L

x-3（x-l）<7?

（2）解不等式組2-5x_，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

1------------追

L3

20.（6分）如圖1,定義：在直角三角形ABC中，銳角a的鄰邊與對邊的比叫做角a的余切，記作ctana,即ctana

=鬻酷卷根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題：

（1）如圖1,若BC=3,AB=5,貝！JctanB=；

(2)ctan60°-；

(3)如圖2,已知：△ABC中，NB是銳角，ctanC=2,AB=10,BC=20,試求NB的余弦cosB的值.

21.(6分)定義：對于給定的二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(ar0),其伴生一次函數(shù)為y=a(x-h)+k,例如：二次函

數(shù)y=2(x+1)2-3的伴生一次函數(shù)為y=2(x+1)-3,即y=2x-1.

(1)已知二次函數(shù)y=(x-1)2-4,則其伴生一次函數(shù)的表達(dá)式為；

(2)試說明二次函數(shù)丫=(x-1)2-4的頂點(diǎn)在其伴生一次函數(shù)的圖象上；

(3)如圖，二次函數(shù)y=m(x-1)2-4m(m/0)的伴生一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A,且兩函數(shù)圖

象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和2,在NAOB內(nèi)部的二次函數(shù)y=m(x-1)2-4m的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸

3

的平行線與其伴生一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n,直接寫出線段PQ的長為5時(shí)n的值.

22.(8分)如圖，拋物線y=ax?—2ax+c(a/0)交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,

4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G.

PM的長；在(2)的條件下，連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的

三角形和AAEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由.

23.（8分）如圖，AB、CD是。O的直徑，DF、BE是弦，且DF=BE,求證：ND=NB.

24.（10分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上，BE=DF,求證：AE=CF.

25.（10分）如圖，安徽江淮集團(tuán)某部門研制了繪圖智能機(jī)器人，該機(jī)器人由機(jī)座、手臂和末端操作器三部分組成,

底座短，直線L且AE=25a〃，手臂AB=5。=60?！ǎ┒瞬僮髌鰿D=35m,AF直線乙當(dāng)機(jī)器人運(yùn)作時(shí)，

ZZMF=45°,ZABC=75°,ZBCD=60°,求末端操作器節(jié)點(diǎn)。到地面直線L的距離.（結(jié)果保留根號）

26.（12分）如圖，在AABC中，AB^AC,AE是邊上的高線，平分NABC交AE于點(diǎn)M,經(jīng)過3,M

兩點(diǎn)的）。交8C于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,EB為）。的直徑.

（1）求證：是。的切線；

2

（2）當(dāng)BE=3,cosC=1時(shí)，求。。的半徑.

27.（12分）天水某公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴(yán)重的公交車，計(jì)劃購買A型和8型兩行環(huán)保節(jié)能公交

車共10輛，若購買A型公交車1輛，8型公交車2輛，共需400萬元；若購買A型公交車2輛，3型公交車1輛，

共需350萬元，求購買A型和5型公交車每輛各需多少萬元？預(yù)計(jì)在該條線路上A型和3型公交車每輛年均載客量

分別為60萬人次和100萬人次.若該公司購買A型和3型公交車的總費(fèi)用不超過1220萬元，且確保這10輛公交車

在該線路的年均載客量總和不少于650萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？哪種購車方案總費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用

是多少？

參考答案

一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

1、B

【解題分析】

根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)甲所用的時(shí)間=乙所用的時(shí)間，用時(shí)間列出分式方程即可.

【題目詳解】

設(shè)乙每天完成x個(gè)零件，則甲每天完成(x+8)個(gè).

2402003止

即得，-----=——，故選B.

x+8x

【題目點(diǎn)撥】

找出甲所用的時(shí)間=乙所用的時(shí)間這個(gè)關(guān)系式是本題解題的關(guān)鍵.

2、D

【解題分析】

根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子可以計(jì)算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題.

【題目詳解】

-a4b+ab=-a2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

(a-b)2=a2-2ab+b2,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

1,/=/,故選項(xiàng)c錯(cuò)誤，

-3a+2a=-a,故選項(xiàng)D正確，

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

考查整式的除法，完全平方公式，同底數(shù)塞相乘以及合并同類項(xiàng)，比較基礎(chǔ)，難度不大.

3、C

【解題分析】

分析：本題可設(shè)玻璃球的體積為X,再根據(jù)題意列出不等式組求得解集得出答案即可.

"3%<300-180

詳解：設(shè)玻璃球的體積為X,則有

4%>300-180

解得30<x<l.

故一顆玻璃球的體積在30cm3以上，1cm3以下.

故選C.

點(diǎn)睛：此題考查一元一次不等式組的運(yùn)用，解此類題目常常要根據(jù)題意列出不等式組，再化簡計(jì)算得出x的取值范圍.

4、D

【解題分析】

本題主要考查二次函數(shù)的解析式

【題目詳解】

解：根據(jù)二次函數(shù)的解析式形式可得，設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),則二次函數(shù)的解析式為丫=2僅-11產(chǎn)+匕由原拋物線解析式

Y=*2可得a=L且原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，向右平移1個(gè)單位后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，故平移后的解析式為丫=僅」產(chǎn)

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)的平移可得到二次函數(shù)平移后的解析式.

5、D

【解題分析】

如圖：

???AB=5,S&ABC=10,.IDC4=4,YsinA=，，如=匹=3,，AC=4下,

55ACAC

22

在RTAAD。4中，D=4,AD=8,:.AC4=78+4=4逐，故答案為D.

6、D

【解題分析】

利用拋物線開口方向得到a<0,再由拋物線的對稱軸方程得到b=-2a,貝！|3a+b=a,于是可對①進(jìn)行判斷；利用把處3

和c=-3a可對②進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-l有兩個(gè)交點(diǎn)可

對④進(jìn)行判斷.

【題目詳解】

???拋物線開口向下，

/.a<0,

而拋物線的對稱軸為直線x=-5=l,即b=-2a,

/.3a+b=3a-2a=a<0,所以①正確；

V2<c<3,

而c=-3a,

.\2<-3a<3,

?,.-l<a<-p所以②正確；

\?拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1,n）,

，x=l時(shí)，二次函數(shù)值有最大值n,

a+b+c>am2+bm+c,

即a+b>am2+bm,所以③正確；

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1,n）,

拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-l有兩個(gè)交點(diǎn)，

二關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確.

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;

當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時(shí)，對稱軸在y

軸左；當(dāng)a與b異號時(shí)，對稱軸在y軸右.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0,c）.拋物線與

x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式確定：△=b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；A=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);

△=b2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

7、A

【解題分析】

先利用勾股定理計(jì)算出AB,再在RtABDE中，求出BD即可；

【題目詳解】

解：,.,ZC=90°,AC=4,BC=3,

；.AB=5,

「△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)E處，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，

AAE=AC=4,DE=BC=3,

.\BE=AB-AE=5-4=1,

在RSDBE中，BD=.32+]2=回,

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后

的圖形全等.

8、D

【解題分析】

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出方程求解即可.

【題目詳解】

設(shè)方程的兩根分別為XI,XI,

???一+(k!-4)x+k-l=O的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，

xi+xi,=-(kx-4)=0,解得k=±l,

當(dāng)k=L方程變?yōu)椋簒i+l=0,△=-4<0,方程沒有實(shí)數(shù)根，所以k=l舍去；

當(dāng)k=-L方程變?yōu)椋撼?3=0,A=U>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

k=-l.

故選D.

【題目點(diǎn)撥】

hr

本題考查的是根與系數(shù)的關(guān)系.XI,XI是一元二次方程axi+bx+c=0(a/0)的兩根時(shí)，xi+x尸-一，x1x尸一，反過來

aa

也成立.

9、D

【解題分析】

試題解析：A、丁.%3=%6,原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、(盯2)3=13,6,原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、(/)2=。6,原式計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、嚴(yán)+/=/,原式計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；

故選D.

點(diǎn)睛：同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

10、c

【解題分析】

試題解析：???一元二次方程2x2+3x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

△=32-4x2m=9-8m=0,

9

解得：m=-.

8

故選C.

11、B

【解題分析】

分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可.

詳解：A、X2+6X+9=0.

△=62-4x9=36-36=0,

方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；

B、x2=x.

x2-x=0.

△=(-1)2-4xlx0=l>0.

方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；

C、x2+3=2x.

X2-2X+3=0.

△=(-2)2-4xlx3=-8<0,

方程無實(shí)根；

D、(x-1)2+l=0.

(x-1)2=-1,

則方程無實(shí)根；

故選B.

點(diǎn)睛:本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a,0)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)

△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)AV0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

12、A

【解題分析】

—x-6<1--77

解：33解①得爛不，解②得%>-1,所以不等式組的解集為-1〈亡一，所以不等式組的整數(shù)解

3(x-l)<5x-l(D

為1,2,1.故選A.

點(diǎn)睛：本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解：利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）.解決此類問題的關(guān)鍵在于正確

解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而

求得不等式組的整數(shù)解.

二、填空題：（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.）

13、5

【解題分析】

分析：根據(jù)n棱柱的特點(diǎn)，由n個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面構(gòu)成，可判斷.

詳解：由題意可知：7-2=5.

故答案為5.

點(diǎn)睛：此題主要考查了棱柱的概念，根據(jù)棱柱的底面和側(cè)面的關(guān)系求解是解題關(guān)鍵.

14、a（a+2）（a-2）

【解題分析】

o'-4-a

—a^ci~-4）

=a（a+2）（a-2）

15、540

【解題分析】

過正五邊形五個(gè)頂點(diǎn)，可以畫三條對角線，把五邊形分成3個(gè)三角形

二正五邊形的內(nèi)角和=3x180=540°

16、y=-2x+5（答案不唯一）

【解題分析】

根據(jù)兩條直線平行的條件：k相等，b不相等解答即可.

【題目詳解】

解：如y=2x+l（只要k=2,b和即可,答案不唯一）.

故答案為y=2x+l.（提示：滿足y=2x+b的形式，且b/0）

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了兩條直線相交或平行問題.直線y=kx+b,（k/0,且k,b為常數(shù)），當(dāng)k相同，且b不相等，圖象平行；

當(dāng)k不同，且b相等，圖象相交；當(dāng)k,b都相同時(shí)，兩條直線重合.

17、x=—2或1

【解題分析】

由二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a/0)過點(diǎn)(-1,-2),(0,-2),可求得此拋物線的對稱軸，又由此拋物線過點(diǎn)(1,0),即

可求得此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn).繼而求得答案.

【題目詳解】

解：?二次函數(shù)y=ax'+bx+c(a#0)過點(diǎn)(-1,-2),(0,-2),

...此拋物線的對稱軸為：直線x=-4，

2

?.?此拋物線過點(diǎn)(1,0),

,此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為：(-2,0),

?*.ax2+bx+c=0的解為：x=-2或1.

故答案為x=-2或1.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題.此題難度適中，注意掌握二次函數(shù)的對稱性是解此題的關(guān)鍵.

18、>

【解題分析】

分析：根據(jù)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(-1,1)可以求得該函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)即可解答本

題.

詳解：設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為片質(zhì)，則1=-1左，得：仁-0.5,.R=-0.5%.?.?正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(xi,

71)、B(xi,ji),xi<xi,

故答案為〉.

點(diǎn)睛：本題考查了正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用正比例函數(shù)的性質(zhì)解答.

三、解答題：(本大題共9個(gè)小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)5；(2)-2<x<-

2

【解題分析】

(1)原式第一項(xiàng)利用乘方的意義計(jì)算，第二項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值以及二次根式的乘法計(jì)算，第三項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)

指數(shù)塞法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用零指數(shù)塞法則計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得到結(jié)果；

(2)先求出兩個(gè)不等式的解集，再找出解集的公共部分即可.

【題目詳解】

(1)原式=-l+2gx@+4-1,

2

=—1+3+4—1,

（2）解不等式①得，x>-2,

解不等式②得，x<-1，

2

所以不等式組的解集是-2Vx<-4.

2

用數(shù)軸表示為：

-^51iT^OTO12*

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，零指數(shù)幕，不等式組的解法，是綜合題，但難度

不大，計(jì)算時(shí)要注意運(yùn)算符號的處理以及解集公共部分的確定.

【解題分析】

試題分析：（1）先利用勾股定理計(jì)算出AC=4,然后根據(jù)余切的定義求解;

（2）根據(jù)余切的定義得到ctan60*—/,然后把tan6（r=?代入計(jì)算即可;

tan60

LTf

（3）作AH1BC于H,如圖2,先在RtAACH中利用余切的定義得到ctanC=—=2,則可設(shè)AH=x,CH=2x,BH=BC

222

-CH=20-2x,接著再在RtAABH中利用勾股定理得到（20-2x）+x=10,解得xi=6,x2=10（舍去），所以BH=8,

然后根據(jù)余弦的定義求解.

解：⑴VBC=3,AB=5,

AC=\/52-3，

.?.c,tanRB=——BC=—3；

AC4_

(2)ctan60°=-

tan60V33

(3)作AHJ_BC于H,如圖2,

ur

在RtAACH中，ctanC=—=2,

AH

設(shè)AH=x,則CH=2x,

；.BH=BC-CH=20-2x,

在RtAABH中，VBH2+AH2=AB2,

**.(20-2x)2+x2=102,解得xi=6,X2=10(舍去),

.\BH=20-2x6=8,

圖2

考點(diǎn)：解直角三角形.

21、y=x-5

【解題分析】

分析：(1)根據(jù)定義，直接變形得到伴生一次函數(shù)的解析式；

(2)求出頂點(diǎn)，代入伴生函數(shù)解析式即可求解；

(3)根據(jù)題意得到伴生函數(shù)解析式，根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)表示出縱坐標(biāo)，然后通過PQ與x軸的平行關(guān)系，求得Q

點(diǎn)的坐標(biāo)，由PQ的長列方程求解即可.

詳解：(1)?.?二次函數(shù)y=(x-1)2-4,

,其伴生一次函數(shù)的表達(dá)式為y=(x-1)-4=x-5,

故答案為y=x-5；

(2)?.?二次函數(shù)y=(x-1)2-4,

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4),

?.,二次函數(shù)y=(x-1)2-4,

,其伴生一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x-5,

當(dāng)x=l時(shí)，y=l-5=-4,

二(1,-4)在直線y=x-5上，

即：二次函數(shù)丫=(x-1)2-4的頂點(diǎn)在其伴生一次函數(shù)的圖象上；

(3),二次函數(shù)y=m(x-1)2-4m,

???其伴生一次函數(shù)為y=m(x-1)-4m=mx-5m,

???P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n,(n>2),

.*.P的縱坐標(biāo)為m(n-1)2-4m,

即：P(n,m(n-1)2-4m),

；PQ〃x軸,

/.Q((n-1)2+l,m(n-1)2-4m),

PQ=(n-1)2+l-n,

3

???線段PQ的長為5,

3

(n-1)2+1-n=—,

2

點(diǎn)睛：此題主要考查了新定義下的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是理解新定義的特點(diǎn)構(gòu)造伴生函數(shù)解析式.

484

22、(1)拋物線的解析式為y=—§x-9+§x+4；(2)PM=--m9-+4m(0<m<3)；(3)存在這樣的點(diǎn)P使APFC

23

與AAEM相似.此時(shí)m的值為一或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形.

16

【解題分析】

(1)將A(3,0),C(0,4)代入y=ax?-2ax+c,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.

(2)先根據(jù)A、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點(diǎn)

P、點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得到PM的長.

(3)由于NPFC和NAEM都是直角，F(xiàn)和E對應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似時(shí)，分兩種情況

進(jìn)行討論：①△PFCsaAEM,②△CFPs^AEM；可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據(jù)

相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式，求出m的值，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定判

斷出△PCM的形狀.

【題目詳解】

解：(1)\?拋物線丫=即2一2ax+c(a邦)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,4),

.4

/產(chǎn)解得「二一7

c=4

48

???拋物線的解析式為y=--x29+jx+4.

(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

VA(3,0),點(diǎn)C(0,4),

,解得卜=-i

3k+b=0

b=4

b=4

4

二直線AC的解析式為y=--x+4.

:點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)M在AC上,

一4

?，?M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,—m+4).

3

48

:點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)P在拋物線y=—§x29+：x+4上，

_4O8

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,----m~H—m+4).

33

4,844,

,*.PM=PE—ME=(——n:+—m+4)—(——m+4)=——m+4m.

3333

4,

，PM=——m2+4m(0<m<3).

3

(3)在(2)的條件下，連接PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM

相似.理由如下：

-4428428

由題意，可得AE=3-m,EM=一一m+4,CF=m,PF=一一m2+-m+4-4=——m2+-m,

33333

若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似，分兩種情況：

①若APFCsaAEM,貝!|PF：AE=FC：EM,即(--m2+-m)：(3-m)=m：(--m+4),

333

口23

m邦且m彳3,..m=—.

16

VAPFC^AAEM,/.ZPCF=ZAME.

,/ZAME=ZCMF,.*.ZPCF=ZCMF.

在直角ACMF中，?.?NCMF+NMCF=90°,/.ZPCF+ZMCF=90°,即NPCM=90。.

.,.△PCM為直角三角形.

②若ACFPs/\AEM,貝!|CF：AE=PF：EM,即m：(3-m)=(--m2+-m)：(--m+4),

333

m/0且m彳3,m=1.

,/△CFP^AAEM,.\ZCPF=ZAME.

VZAME=ZCMF,AZCPF=ZCMF./.CP=CM.

.,.△PCM為等腰三角形.

23

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使APFC與△AEM相似.此時(shí)m的值為一或1,APCM為直角三角形或等腰三角形.

16

23、證明見解析.

【解題分析】

根據(jù)在同圓中等弦對的弧相等，AB、CD是。。的直徑，則cn)=AEB，由FD=EB,得，F(xiàn)D=EB，由等量減去

等量仍是等量得：CFD—FD=AEB—EB，即PC=AE，由等弧對的圓周角相等，得/D=NB.

【題目詳解】

解：方法（一）

證明：TAB、CD是。O的直徑,

???CFD=AEB.

VFD=EB,

??FD-EB,

???CFD-FD=AEB-EB-

即FC=AE-

/.ZD=ZB.

方法（二）

證明：如圖，連接CF,AE.

；AB、CD是。O的直徑，

，NF=NE=90。（直徑所對的圓周角是直角）.

VAB=CD,DF=BE,

/.RtADFC^RtABEA（HL）.

；.ND=NB.

【題目點(diǎn)撥】

本題利用了在同圓中等弦對的弧相等，等弧對的弦，圓周角相等，等量減去等量仍是等量求解.

24、見解析

【解題分析】

根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD〃BC,且AD=BC,推出AF〃EC,AF=EC,根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形AECF

是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【題目詳解】

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,且AD=BC,

...AF〃EC,

；BE=DF,

.,.AF=EC,

二四邊形AECF是平行四邊形，

/.AE=CF.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：平行四邊形的對邊平行且相等，有一組對邊平行且相等的四邊形

是平行四邊形.

25、(30A/2+20)cm.

【解題分析】

作BGLCD,垂足為G,BH±AF,垂足為H,解RtACBG和RtAABH,分別求出CG和BH的長，根據(jù)D到L的

距離=+AE-(CD-CG)求解即可.

【題目詳解】

如圖，作BGLCD,垂足為G,BH±AF,垂足為H,

在RtACBG中,ZBCD=60°,BC=60cm,

CG=BCcos60°=30,

在RfAABH中，ZBAF=45°,AB=60cm,

,BW=AB-sin45°=3O>/2,

/.D至?。㎜的距離=BH+AE-（CD-CG）=30夜+25-5=（30亞+20）cm.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出適當(dāng)輔助線，從而利用銳角三角函數(shù)的定義求出相關(guān)線段.

26、(1)見解析；(2),。的半徑是

【解題分析】

(1)連結(jié)易證由于AE是邊上的高線，從而可知所以AM是二。的切線.

(2)由于/歸=4。，從而可知石。=5石=3,由cosC=—=—，可知：AC=-EC=—,易證AAOM:AABE,

5AC22

所以"=42,再證明