宜春市重點中學(xué)高三沖刺模擬新高考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

宜春市重點中學(xué)高三沖刺模擬新高考數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是第二象限的角，，則()A． B． C． D．2．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)滿足，設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．6．點為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知△ABC中，．點P為BC邊上的動點，則的最小值為（）A．2 B． C． D．8．已知集合A，則集合（）A． B． C． D．9．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．10．下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（）A． B． C． D．11．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．12．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，，則____.14．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.15．在平面直角坐標系中，點P在直線上，過點P作圓C：的一條切線，切點為T.若，則的長是______.16．某校高三年級共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測驗（滿分分），已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績均不低于分，將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是________（填序號）．①；②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為；③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)約為；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，需引進一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇，生產(chǎn)線①：有A，B兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為15萬元；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②：有a，b兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04，0.01.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為14萬元；若a工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加8萬元；若b工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元；若a，b兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加13萬元.（1）若選擇生產(chǎn)線①，求生產(chǎn)成本恰好為18萬元的概率；（2）為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本，你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線？請說明理由.18．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，且.（Ｉ）求角的大?。唬á颍┤?，求面積的取值范圍.19．（12分）已知關(guān)于的不等式解集為（）.（1）求正數(shù)的值；（2）設(shè)，且，求證：.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）已知是的一個極值點，求曲線在處的切線方程（Ⅱ）討論關(guān)于的方程根的個數(shù).21．（12分）已知橢圓的右頂點為，為上頂點，點為橢圓上一動點．（1）若，求直線與軸的交點坐標；（2）設(shè)為橢圓的右焦點，過點與軸垂直的直線為，的中點為，過點作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點在橢圓上．22．（10分）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一：每滿100元減20元；方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽?。媒Y(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個數(shù)3210實際付款7折8折9折原價（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.2、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查對數(shù)式比較大小，屬于中檔題.3、D【解析】

設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：若，則，即成立，若，則由，得，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當(dāng)直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，最大值為3；當(dāng)直線過點時，目標函數(shù)取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規(guī)劃.6、B【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，利用的幾何意義即可得到結(jié)論．【詳解】不等式組作出可行域如圖：，，，的幾何意義是動點到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，，．故選：．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵．7、D【解析】

以BC的中點為坐標原點，建立直角坐標系，可得，設(shè)，運用向量的坐標表示，求得點A的軌跡，進而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值．【詳解】以BC的中點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，可得，設(shè)，由，可得，即，則，當(dāng)時，的最小值為．故選D．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運算能力，屬于中檔題．8、A【解析】

化簡集合,，按交集定義，即可求解.【詳解】集合，，則.故選:A.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，從而求得，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.10、C【解析】

分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性，然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，在上為減函數(shù).A選項，的定義域為，在上為增函數(shù)，不符合.B選項，的定義域為，不符合.C選項，的定義域為，在上為減函數(shù)，符合.D選項，的定義域為，不符合.故選：C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)模的計算，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應(yīng)用，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由，根據(jù)正弦定理“邊化角”，可得，根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知聯(lián)立方程組，即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理：可得根據(jù)余弦定理：由已知可得：故可聯(lián)立方程：解得：.由故答案為：.【點睛】本題主要考查了求三角形的一個內(nèi)角，解題關(guān)鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.14、8.【解析】

利用轉(zhuǎn)化得到加以計算，得到.【詳解】向量則.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.15、【解析】

作出圖像，設(shè)點，根據(jù)已知可得，，且，可解出，計算即得.【詳解】如圖，設(shè)，圓心坐標為，可得，，，，，解得，，即的長是.故答案為：【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及求平面兩點間的距離，運用了數(shù)形結(jié)合的思想.16、②③【解析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在分以下的人數(shù)為，故②正確；設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為，則，解得，故③正確；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為，故④不正確．綜上，說法正確的序號是②③．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0.0294.（2）應(yīng)選生產(chǎn)線②.見解析【解析】

（1）由題意轉(zhuǎn)化條件得A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障，利用相互獨立事件的概率公式即可得解；（2）分別算出兩個生產(chǎn)線增加的生產(chǎn)成本的期望，進而求出兩個生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值，比較期望值即可得解.【詳解】（1）若選擇生產(chǎn)線①，生產(chǎn)成本恰好為18萬元，即A工序不出現(xiàn)故障B工序出現(xiàn)故障，故所求的概率為.（2）若選擇生產(chǎn)線①，設(shè)增加的生產(chǎn)成本為(萬元)，則的可能取值為0，2，3，5.，，,,所以萬元；故選生產(chǎn)線①的生產(chǎn)成本期望值為(萬元).若選生產(chǎn)線②，設(shè)增加的生產(chǎn)成本為（萬元），則的可能取值為0，8，5，13.，，，，所以，故選生產(chǎn)線②的生產(chǎn)成本期望值為(萬元)，故應(yīng)選生產(chǎn)線②.【點睛】本題考查了相互獨立事件的概率，考查了離散型隨機變量期望的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ｉ）根據(jù)，利用二倍角公式得到，再由輔助角公式得到，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（Ⅱ）根據(jù)（Ｉ）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.【詳解】（Ｉ）因為，所以，，，或，或，因為，所以所以；（Ⅱ）由余弦定理得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，又因為，所以，所以【點睛】本題主要考查二倍角公式，輔助角公式以及余弦定理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）1；（2）證明見解析.【解析】

（1）將不等式化為，求解得出，根據(jù)解集確定正數(shù)的值；（2）利用基本不等式以及不等式的性質(zhì)，得出，，，三式相加，即可得證.【詳解】（1）解：不等式，即不等式∴，而，于是依題意得（2）證明：由（1）知，原不等式可化為∵，∴，同理，三式相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號綜上.【點睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用x=2是f(x)的一個極值點，得f'(2)=0建立方程求出a的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解即可；（Ⅱ）利用參數(shù)法分離法得到，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖象交點個數(shù)進行求解即可.【詳解】（Ⅰ）因為，則，因為是的一個極值點，所以，即，所以，因為，，則直線方程為，即；（Ⅱ）因為，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，所以，所以，設(shè)，則，所以在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，函數(shù)在是減函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在是增函數(shù)，因為時，，，，所以當(dāng)時，方程無實數(shù)根，當(dāng)時，方程有兩個不相等實數(shù)根，當(dāng)或時，方程有1個實根.【點睛】本題考查函數(shù)中由極值點求參，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的個數(shù)問題，屬于難題.21、（1）（2）見解析【解析】

（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點坐標，從而可得直線方程，得其與軸交點坐標；（2）設(shè)，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點坐標，證明此交點在橢圓上，即此點坐標適合橢圓方程．代入驗證即可．注意分和說明．【詳解】解：本題考查直線與