西藏林芝市第二高級中學(xué)高三二診模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷及答案解析_第1頁
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文檔簡介

西藏林芝市第二高級中學(xué)高三二診模擬考試新高考數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.2.曲線在點處的切線方程為,則()A. B. C.4 D.83.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品,其圓心角為120°,并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個,導(dǎo)線接頭忽略不計),已知扇形的半徑為30厘米,則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米4.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.5.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說法錯誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等6.在平面直角坐標系中,銳角頂點在坐標原點,始邊為x軸正半軸,終邊與單位圓交于點,則()A. B. C. D.7.為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. D.8.如圖,內(nèi)接于圓,是圓的直徑,,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度10.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點成中心對稱,且與點相鄰的一個最低點為,則對于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;②點是函數(shù)的一個對稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③11.已知為圓的一條直徑,點的坐標滿足不等式組則的取值范圍為()A. B.C. D.12.已知雙曲線,點是直線上任意一點,若圓與雙曲線的右支沒有公共點,則雙曲線的離心率取值范圍是().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),則除以的余數(shù)是______.14.給出下列等式:,,,…請從中歸納出第個等式:______.15.如圖,在中,,,,點在邊上,且,將射線繞著逆時針方向旋轉(zhuǎn),并在所得射線上取一點,使得,連接,則的面積為__________.16.如圖,已知扇形的半徑為1,面積為,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,,,.求邊上的高.①,②,③,這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.18.(12分)在中,角的對邊分別為.已知,.(1)若,求;(2)求的面積的最大值.19.(12分)如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,,,是的三等分點,是的中點.分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點,得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,,分別為,的中點.(1)證明:平面.(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;(2)若,對,恒有成立,求實數(shù)的最小值.21.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)若,求曲線與的交點坐標;(2)過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線,交于點,且的最大值為,求的值.22.(10分)已知橢圓:過點,過坐標原點作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點.(1)證明:當(dāng)取得最小值時,橢圓的離心率為.(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

分別取、的中點、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,在中計算出,再利用勾股定理計算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點,,,且、分別為、的中點,所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點,同理可知,的外心為點,分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,則點在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時考查了計算能力,屬于中等題.2、B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù),利用切線斜率求出,根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為,所以,故,解得,又切線過點,所以,解得,所以,故選:B【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于中檔題.3、B【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小,可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長,利用弧長公式計算即可.【詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分,所以每部分的弦長和弧長相差很小,可以用弧長近似代替弦長,故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選:B.【點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算,屬于容易題.4、D【解析】

依次將選項中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時,在上不單調(diào),故A不正確;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,故B不正確;當(dāng)時,在上不單調(diào),故C不正確;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是一道容易題.5、B【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對于甲,;對于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯誤;對于甲,方差.5,對于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計算能力,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍,可得,然后根據(jù)三角函數(shù)定義,可得,最后根據(jù)兩角和的正弦公式,二倍角公式,簡單計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,又為銳角所以,根據(jù)三角函數(shù)的定義:所以由所以故選:A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式,還考查二倍角的正弦、余弦公式,難點在于公式的計算,識記公式,簡單計算,屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則計算即可.【詳解】,故虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算以及復(fù)數(shù)的概念,注意復(fù)數(shù)的虛部為,不是,本題為基礎(chǔ)題,也是易錯題.8、B【解析】

根據(jù)已知證明平面,只要設(shè),則,從而可得體積,利用基本不等式可得最大值.【詳解】因為,所以四邊形為平行四邊形.又因為平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,,設(shè),則,所以,所以.又因為,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以.故選:B.【點睛】本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設(shè)出底面三角形一邊長為,用建立體積與邊長的函數(shù)關(guān)系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.9、A【解析】

由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象.故選A.考點:函數(shù)的圖象與性質(zhì).【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法:10、C【解析】分析:根據(jù)最低點,判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T,再代入最低點可求得解析式為,依次判斷各選項的正確與否.詳解:因為為對稱中心,且最低點為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯誤,②正確,③當(dāng)時,,所以與有6個交點,設(shè)各個交點坐標依次為,則,所以③正確所以選C點睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.11、D【解析】

首先將轉(zhuǎn)化為,只需求出的取值范圍即可,而表示可行域內(nèi)的點與圓心距離,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為,則,過作直線的垂線,垂足為B,顯然,又易得,所以,,故.故選:D.【點睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題,涉及到向量的線性運算、數(shù)量積、點到直線的距離等知識,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,是一道中檔題.12、B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程,可得則直線與直線的距離,根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點,可得,解得即可.【詳解】由題意,雙曲線的一條漸近線方程為,即,∵是直線上任意一點,則直線與直線的距離,∵圓與雙曲線的右支沒有公共點,則,∴,即,又故的取值范圍為,故選:B.【點睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系,以及兩平行線間的距離公式,其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點得出是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

利用二項式定理得到,將89寫成1+88,然后再利用二項式定理展開即可.【詳解】,因展開式中后面10項均有88這個因式,所以除以的余數(shù)為1.故答案為:1【點睛】本題考查二項式定理的綜合應(yīng)用,涉及余數(shù)的問題,解決此類問題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項式,并將它展開分析,本題是一道基礎(chǔ)題.14、【解析】

通過已知的三個等式,找出規(guī)律,歸納出第個等式即可.【詳解】解:因為:,,,等式的右邊系數(shù)是2,且角是等比數(shù)列,公比為,則角滿足:第個等式中的角,所以;故答案為:.【點睛】本題主要考查歸納推理,注意已知表達式的特征是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15、【解析】

由余弦定理求得,再結(jié)合正弦定理得,進而得,得,則面積可求【詳解】由,得,解得.因為,所以,,所以.又因為,所以.因為,所以.故答案為【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查運算求解能力,是中檔題16、【解析】

根據(jù)題意,利用扇形面積公式求出圓心角,再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出,利用向量的數(shù)量積公式求出.【詳解】設(shè)角,則,,所以在等腰三角形中,,則.故答案為:.【點睛】本題考查扇形的面積公式和向量的數(shù)量積公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、詳見解析【解析】

選擇①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再計算邊上的高.選擇②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求邊上的高.選擇③,利用余弦定理列方程求出,再計算邊上的高.【詳解】選擇①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇②,在中,由正弦定理得,又因為,所以,即;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.【點睛】本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形,屬于中檔題.18、(1);(2)4【解析】

(1)根據(jù)已知用二倍角余弦求出,進而求出,利用正弦定理,即可求解;(2)由邊角,利用余弦定理結(jié)合基本不等式,求出的最大值,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)∵,∴,由正弦定理得.(2)由(1)知,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)時,的面積有最大值4.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換解三角形,應(yīng)用基本不等式求最值,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)先證,再證,由可得平面,從而推出平面;(2)建立空間直角坐標系,求出平面的法向量與,坐標代入線面角的正弦值公式即可得解.【詳解】(1)證明:連接,,由圖1知,四邊形為菱形,且,所以是正三角形,從而.同理可證,,所以平面.又,所以平面,因為平面,所以平面平面.易知,且為的中點,所以,所以平面.(2)解:由(1)可知,,且四邊形為正方形.設(shè)的中點為,以為原點,以,,所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,由得取.設(shè)直線與平面所成的角為,所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明,直線與平面所成的角,要求一定的空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)(2)【解析】

(1)求得,根據(jù)已知條件得到在恒成立,由此得到在恒成立,利用分離常數(shù)法求得的取值范圍.(2)構(gòu)造函數(shù)設(shè),利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法,結(jié)合恒成立,求得的取值范圍,由此求得的最小值.【詳解】(1)因為在上單調(diào)遞增,所以在恒成立,即在恒成立,當(dāng)時,上式成立,當(dāng),有,需,而,,,,故綜上,實數(shù)的取值范圍是(2)設(shè),,則,令,,在單調(diào)遞增,也就是在單調(diào)遞增,所以.當(dāng)即時,,不符合;當(dāng)即時,,符合當(dāng)即時,根據(jù)零點存在定理,,使,有時,,在單調(diào)遞減,時,,在單調(diào)遞增,成立,故只需即可,有,得,符合綜上得,,實數(shù)的最小值為【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.21、(1),;(2)或【解析】

(1)將曲線的極坐標方程和直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程,聯(lián)立方程,即可求得曲線與的交點坐標;(2)由直線的普通方程為,故上任意一點,根據(jù)點到直線距離公式求得到直線的距離,根據(jù)三角函數(shù)的有界性,即可求

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