2022-2023學年湖南省長沙市明達中學數(shù)學高三第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．函數(shù)圖像可能是（）A． B． C． D．3．是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知正項數(shù)列滿足：，設，當最小時，的值為()A． B． C． D．5．已知，，，是球的球面上四個不同的點，若，且平面平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．7．函數(shù)的部分圖象如圖所示，已知，函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到，則函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關于點（2，1）對稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．49．我國古代數(shù)學名著《九章算術》有一問題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺10．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．11．設函數(shù)若關于的方程有四個實數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，給出下列關于g(x)的結論：①它的圖象關于直線x=對稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關于點(，1)對稱；④它在[]上單調遞增.其中所有正確結論的編號是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，，三角形為等邊三角形，二面角的余弦值為，當三棱錐的體積最大值為時，三棱錐的外接球的表面積為______.14．已知向量，，若，則________.15．數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足，，且.若任意，成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.16．連續(xù)2次拋擲一顆質地均勻的骰子（六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點數(shù)，則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的最小正周期是，且當時，取得最大值．（1）求的解析式；（2）作出在上的圖象（要列表）．18．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若函數(shù)最小值為，且，求的最小值.19．（12分）記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當直線過點時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點，，求直線的斜率.20．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點，且，求的值.21．（12分）在三棱柱中，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）設二面角的大小為，求的值.22．（10分）如圖，在直棱柱中，底面為菱形，，，與相交于點，與相交于點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進行判斷.【詳解】如圖，“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【點睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.2、D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項A,C，當時，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項.【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù)，故排除選項A,C，當正數(shù)越來越小，趨近于0時，，所以函數(shù)，故排除選項B,故選：D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.3、D【解析】

求出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標，即可得出結論.【詳解】復數(shù)在復平面上對應的點的坐標為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)對應的點的位置的判斷，屬于基礎題.4、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當且僅當時取得最小值，此時.故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應用，基本不等式求最值，考查了學生的運算求解能力.5、A【解析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案．【詳解】如圖，取BC中點G，連接AG，DG，則，，分別取與的外心E，F(xiàn)，分別過E，F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，得正方形OEGF的邊長為，則，四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．故選A．【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．6、C【解析】

利用的前項和求出數(shù)列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時，；當時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.7、A【解析】

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得，利用周期公式可得，再根據(jù)圖像過，即可求出，再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因為函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到，所以.故選：A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬于基礎題.8、C【解析】

根據(jù)對稱性即可求出答案．【詳解】解：∵點（5，f（5））與點（﹣1，f（﹣1））滿足（5﹣1）÷2＝2，故它們關于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應用，屬于中檔題．9、A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐，將三棱錐補充成一個長方體，此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球，所以為的中點，設球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積，關鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.10、A【解析】

設切點為，對求導，得到，從而得到切線的斜率，結合直線方程的點斜式化簡得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結果.【詳解】設切點為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點睛】該題考查的是有關直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單題目.11、B【解析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力，畫出圖像是解題的關鍵.12、B【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的對稱性、單調區(qū)間等相關性質求解即可.【詳解】因為f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由圖象的平移變換公式知，函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為，故②正確；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是對稱軸，故①錯誤；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函數(shù)g(x)的圖象關于點(，1)對稱，故③正確；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④錯誤；故選：B【點睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對稱性、單調性和最小正周期等性質；考查運算求解能力和整體代換思想；熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性、單調性和最小正周期等相關性質是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設出的長,即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長度,最后根據(jù)球的幾何性質,利用球心距,半徑,底面半徑之間的關系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示：過點作面,垂足為,過點作交于點,連接.則為二面角的平面角的補角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點.設,.∴.故三棱錐的體積為當且僅當時,,即.∴三點共線.設三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過點作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：．【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運用,基本不等式的應用,以及球的幾何性質的應用,意在考查學生的直觀想象能力,數(shù)學運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.14、10【解析】

根據(jù)垂直得到，代入計算得到答案.【詳解】，則，解得，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，向量模，意在考查學生的計算能力.15、【解析】

當時，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根據(jù)定義求出，再借助單調性求解．【詳解】解：當時，，則，，當時，，，，，，（當且僅當時等號成立），，故答案為：．【點睛】本題主要考查已知求，累乘法，主要考查計算能力，屬于中檔題．16、【解析】總事件數(shù)為，目標事件：當?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標事件共20中，所以。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期可求出的值，由該函數(shù)的最大值可得出的值，再由，結合的取值范圍可求得的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）由計算出的取值范圍，據(jù)此列表、描點、連線可得出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【詳解】（1）因為函數(shù)的最小正周期是，所以．又因為當時，函數(shù)取得最大值，所以，同時，得，因為，所以，所以；（2）因為，所以，列表如下：描點、連線得圖象：【點睛】本題考查正弦函數(shù)解析式的求解，同時也考查了利用五點作圖法作圖，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.18、（1）（2）【解析】

（1）利用零點分段法，求得不等式的解集.（2）先求得，即，再根據(jù)“的代換”的方法，結合基本不等式，求得的最小值.【詳解】（1）當時，，即，無解；當時，，即，得；當時，，即，得.故所求不等式的解集為.（2）因為，所以，則，.當且僅當即時取等號.故的最小值為.【點睛】本小題主要考查零點分段法解絕對值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.19、（1）（2）0【解析】

（1）根據(jù)題意，設直線，與聯(lián)立，得，再由弦長公式，求解.（2）設，根據(jù)直線的斜率為1，則，得到，再由，所以線段中點的縱坐標為，然后直線的方程與直線的方程聯(lián)立解得交點H的縱坐標，說明直線軸，直線的斜率為0.【詳解】（1）依題意，，則直線，聯(lián)立得；設，則，解得，故拋物線的方程為.（2），因為直線的斜率為1，則，所以，因為，所以線段中點的縱坐標為.直線的方程為，即①直線的方程為，即②聯(lián)立①②解得即點的縱坐標為，即直線軸，故直線的斜率為0.如果直線的斜率不存在，結論也顯然成立，綜上所述，直線的斜率為0.【點睛】本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關系，還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.20、（1），（2）0【解析】

（1）分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到普通方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入的普通方程，化為關于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關系及此時的幾何意義求解．【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得；由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得，即．（2）把為參數(shù)）代入，得．，．．解得：，即，滿足△．．【點睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應用，是中檔題．21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；（2）取的中點D，連接BD，以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面的法向量為與平面的法向量為，利用夾角公式計算即可.【詳解】（1）在中，，所以，即.因為，，，所以.所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由題意知，四邊形為菱形，且，則為正三角形，取的中點D，連接BD，則.以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，.設平面的法向量為，且，.由得取.由四邊形為菱形，得；又平面，所以；又，所以平面，所以平面的法向量為.所以.故.【點睛】本題考查面面垂直的判定定理以及利用