安徽省宣城市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷（教師版）

宣城市2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期末調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因?yàn)?，所以，即．故選：A．2.已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值所組成的集合是（）A. B. C.0， D.0，【答案】D【解析】【分析】等價(jià)于，分、兩種情況討論，從而可得答案.【詳解】.當(dāng)時(shí)，為空集，滿足條件.當(dāng)時(shí)，或，解得或.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值所組成的集合是2，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，空集的定義，以及并集與子集的定義，屬于基礎(chǔ)題.3.為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，某中學(xué)擬開設(shè)《數(shù)學(xué)史》?《數(shù)學(xué)建?！?《數(shù)學(xué)探究》?《微積分先修課程》四門校本選修課程，其中有5位同學(xué)打算在上述四門課程中每人選擇一門學(xué)習(xí)，則每門課程至少有一位同學(xué)選擇的不同方法數(shù)共有（）A.120種 B.180種 C.240種 D.300種【答案】C【解析】【分析】按照先分組，再分配的過程，結(jié)合排列，組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】將5名同學(xué)分為2，1，1，1的分組，有種分組方法，再分配學(xué)習(xí)4門課程，有種方法，所以共有種方法.故選：C4.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則x2﹣ax+3a＞0且f（2）＞0，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，我們可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范圍．【詳解】若函數(shù)f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，x2﹣ax+3a＞0且函數(shù)f（x）=x2﹣ax+3a為增函數(shù)即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其中根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．5.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則下列說法不正確的是（）A.橢圓的焦距是2B.橢圓的離心率是C.拋物線的準(zhǔn)線方程是D.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程，求得，再結(jié)合橢圓和拋物線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】，所以橢圓的焦距為，離心率，故AB正確；拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：D6.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知，則（）A.4 B.16 C.32 D.64【答案】D【解析】【分析】通過討論的取值情況，確定，利用等比數(shù)列的求和公式，建立方程組，求出和，進(jìn)而求得的值．【詳解】當(dāng)公比時(shí)可得，代入，與矛盾，所以.由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，兩式相除，得，可解得或（舍），當(dāng)時(shí)，代入原式可求得，則由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.故選：D7.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)向量平行求得，再根據(jù)二倍角公式求.【詳解】由，可得，即，解得：或（舍），.故選：C8.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，對求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可比較函數(shù)值大?。驹斀狻苛?，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，所以，故．故選：B二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.如圖，在正方體中，，分別是的中點(diǎn)，則（）A.四點(diǎn)，，，共面B.C.平面D.若，則正方體外接球的表面積為【答案】BD【解析】【分析】連接和，由此可知點(diǎn)，，在平面中，而點(diǎn)不在平面中，即可判斷選項(xiàng)；由已知得為△的中位線，利用中位線的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)；由已知得點(diǎn),,都在平面,與平面相交，即可判斷選項(xiàng)；由即可求得正方體的棱長為，則可以求出正方體外接球的半徑，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)，連接和，由此可知點(diǎn)，，在平面中，點(diǎn)平面，則四點(diǎn)，，，不共面，即選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)結(jié)合條件可知，分別是的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)?所以，即選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，點(diǎn),,都在平面,所以與平面相交，即選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)，因?yàn)闉椤鞯闹形痪€，且，所以正方體的棱長為，設(shè)正方體外接球的半徑為,則,即，則外接球的表面積為,即選項(xiàng)正確；故選：.10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在上僅有一個(gè)零點(diǎn)C.若關(guān)于方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則D.在上有最小值，無最大值【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)即可判斷AB，畫出函數(shù)的圖像，即可判斷CD.【詳解】因?yàn)?，則，由，可得，由，可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A正確；在處取得極小值，也是最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可以得到的圖像，如圖所示，由圖像可得，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則函數(shù)與，的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖像可得，故C錯(cuò)誤；在上有最小值，無最大值，故D正確；故選：ABD11.已知拋物線，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，垂足為，設(shè)，則（）A.過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線恰有2條B.已知曲線上的兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和為10，則線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4C.的最小值為D.的最小值為4【答案】BCD【解析】【分析】由點(diǎn)在拋物線外從而判斷A；由拋物線的定義結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷B；由拋物線的定義結(jié)合圖像判斷C；聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合基本不等式得出的最小值.【詳解】對于A，因?yàn)樵趻佄锞€外，顯然過與拋物線相切的直線有2條，當(dāng)此直線與x軸平行時(shí)，與拋物線也是僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以過點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，則，即，則線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故B正確；對于C，，（當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取等號），故C正確；對于D，設(shè)，設(shè)直線的方程為，由，得，易得，則，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），故D正確；故選：BCD.12.記A，B為隨機(jī)事件，下列說法正確的是（）A.若事件A，B互斥，，，則B.若事件A，B相互獨(dú)立，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】BC【解析】【分析】對于A，根據(jù)互斥事件和對立事件的性質(zhì)分析判斷即可，對于B，根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)分析判斷，對于CD，根據(jù)條件概率的公式和對立事件的性質(zhì)分析判斷.【詳解】，∴，A錯(cuò).，B對令，，，∴，，∴，，∴，C對.，D錯(cuò)，故選：BC三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量與的夾角為，且，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)向量的投影公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，則在方向上的投影為.故答案為：.14.已知橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的離心率是__________.【答案】##【解析】【分析】首先確定三個(gè)頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)幾何關(guān)系，建立方程，即可求離心率.【詳解】因?yàn)?，所以三個(gè)頂點(diǎn)應(yīng)是兩個(gè)短軸端點(diǎn)，一個(gè)長軸端點(diǎn)，即，即，則，得.故答案為：15.已知直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，且為鈍角三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】可得為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)C到直線的距離，要使為鈍角三角形，需滿足.【詳解】圓：化為，故圓心，半徑為2，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)C到直線的距離，解得，為鈍角三角形，，當(dāng)時(shí)，，則可得的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是判斷出要使為鈍角三角形，需滿足點(diǎn)C到直線的距離.16.已知函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求出的取值范圍，再由，得到，即可求出的取值集合，從而求出的最大值；【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，，，解得；因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以；?dāng)，解得，所以.故答案為：.四?解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若邊上中線長為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先利用正弦定理，邊角互化，再結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）設(shè)中點(diǎn)為,得,兩邊平方后，再代入，即可解決.【小問1詳解】，由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)椋?；【小?詳解】由（1）得因?yàn)檫吷现芯€長為，設(shè)中點(diǎn)為，所以，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所?18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用即可求出通項(xiàng)公式；（2）求出，利用錯(cuò)位相減法求和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)棰?，所以②，①－②得，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，①－②得，，，所以.當(dāng)時(shí)，也滿足.故數(shù)列的前項(xiàng)和.19.中國乒乓球隊(duì)號稱夢之隊(duì)，在過往的三屆奧運(yùn)會(huì)上，中國代表團(tuán)包攬了全部枚乒乓球金牌，在北京奧運(yùn)會(huì)上，甚至在男女子單打項(xiàng)目上包攬了金銀銅三枚獎(jiǎng)牌.為了推動(dòng)世界乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，增強(qiáng)比賽的觀賞性，年世界乒乓球錦標(biāo)賽在乒乓球雙打比賽中允許來自不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加，現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員名，其中種子選手名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員名，其中種子選手名，從這名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇人參加比賽（1）設(shè)為事件“選出的人中恰有名種子選手，且這名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出的人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列，并求.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得的值；（2）分析可知，隨機(jī)變量的所有可能取值為、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【小問1詳解】由已知，有，所以事件發(fā)生的概率為.【小問2詳解】隨機(jī)變量的所有可能取值為、、、，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以.20.如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）點(diǎn)在棱上，若平面與平面的夾角為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）在中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，在中，結(jié)合勾股定理可得，進(jìn)而得到，，在中，根據(jù)勾股定理得到，從而求證即可；（2）以為原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，進(jìn)而求出平面與平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而列出方程求解即可.【小問1詳解】證明：在中，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且.在中，因?yàn)?，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，連接，所以，且.在中，因?yàn)椋?因?yàn)?，平面，所以平?【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，，所以.取平面的一個(gè)法向量，又平面與平面的夾角為，所以，整理得，即或，因?yàn)?，所以，所?21.已知雙曲線的焦距為4，點(diǎn)在雙曲線上.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，以及焦距，即可求雙曲線方程；（2）方法一，首先舍直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，即可證明；方法二，分斜率不存在和斜率存在兩種情況，斜率不存在時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解，斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示斜率，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以①，由題意知，所以②由①②解得，故雙曲線的方程為.【小問2詳解】方法一：設(shè)直線的方程為，由消去得，設(shè)，則，因?yàn)闉?，所以，所以所?方法二：證明：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，關(guān)于軸對稱，結(jié)論顯然成立當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得，，顯然，設(shè)，則，因?yàn)樗?，所?所以.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：